CHỦ ĐỀ 1. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
a.
HÌNH HỌC PHẲNG
1.
Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Cho tam giác
vuông tại ,
là đường cao,






2.

là đường trung tuyến. Ta có:

B
A

B

C

M

H

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông:

Chọn
Chọn góc
góc nhọn
nhọn là



Cạnh huyền
Cạnh
đối






Cạnh kề




3.
Các hệ thức lượng trong tam giác thường:
a. Định lý cosin:
A
b

c
a

B

C

b. Định lý sin:
A
c

b

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC)

R
B

a

C
Trang
1/35

c. Công thức tính diện tích tam giác:
A

c

1
1
1
 SD ABC = a.ha = bh
. b = ch
.c
2
2
2

1
1
1
SDABC = absinC = bc sin A = ac sin B
2
2
2
abc
 SD ABC =
, SD ABC = pr
.
4R


b

B

C

a

p - nửa chu vi
r - bán kính đường tròn nội tiếp

d. Công thức tính độ dài đường trung tuyến:
A
K

N

B

4.

C

M

Định lý Thales:
A
M
B

AM
AN
MN
=
=
=k
AB
AC
BC
2
æ
AM ö
÷
ç
÷
=ç
= k2
÷
÷
ç
èAB ø

* MN / / BC Þ
N

*
C

SDAMN
SDABC

(Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng)

Trang
2/35

5.

Diện tích đa giác:
B

a.Diện tích tam giác vuông:
 Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích
2 cạnh góc vuông.
b.Diện tích tam giác đều:
 Diện tích tam giác đều:

(cạnh)

B

ha

đều

 Chiều cao tam giác đều:
đều

(cạnh)

c. Diện tích hình vuông và hình chữ
nhật:
 Diện tích hình vuông bằng cạnh bình
phương.
 Đường chéo hình vuông bằng cạnh
nhân
.
 Diện tích hình chữ nhật bằng dài
nhân rộng.

A

B

a

O

D

C

A

ïìï SHV = a2
Þ ïí
ïï AC = BD = a 2
ïî

Þ S=
B

e.Diện tích tứ giác có hai đường chéo
vuông góc:
 Diện tích tứ giác có hai đường chéo
vuông góc nhau bằng ½ tích hai
đường chéo.
 Hình thoi có hai đường chéo vuông
góc nhau tại trung điểm của mỗi
đường.

2
ìï
ïï SDABC = a 3
ï
4
Þ ïí
ïï
a 3
ïï h =
2
ïî

D

.(đáy lớn + đáy bé) x

chiều cao

b.

C

A

d.Diện tích hình thang:
 SHình Thang

C

A

2

1
Þ SDABC = AB .AC
2

(AD + BC ).AH
2

C

H

B
CÞ

A

1
SH .Thoi = AC .BD
2

D

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC
1. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng :

Trang
3/35



(Định lý 1, trang 61, SKG HH11)



(Hệ quả 1, trang 66, SKG HH11)



(Tính chất 3b, trang 101, SKG HH11)

2. Chứng minh hai mặt phẳng song song:


(Định lý 1, trang 64, SKG HH11)



(Hệ quả 2, trang 66, SKG HH11)



. (Tính chất 2b, trang 101, SKG HH11)

3. Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí
sau
 Hai mặt phẳng
có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song
song

thì giao tuyến của chúng đi qua điểm S cùng song song với a,B.
(Hệ quả trang 57, SKG HH11)

 Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng
. Nếu mặt phẳng
và cắt
theo giao tuyến b thì b song song với a.

chứa a

(Định lý 2, trang 61, SKG HH11)
 Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của
chúng song song với đường thẳng đó.
. (Định lý 3, trang 67, SKG HH11)
 Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song
với nhau.

Trang
4/35

(Tính chất 1b, trang 101, SKG HH11)
 Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo,
…
4. Chứng minh đường thẳngvuông góc với mặt phẳng:
 Định lý (Trang 99 SGK HH11). Nếu một đường thẳng vuông góc với hai
đường thẳng cắt nhau nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt
phẳng ấy.
.
 Tính chất 1a (Trang 101 SGK HH11). Cho hai đường thẳng song song. Mặt
phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì vuông góc với đường thẳng
kia.
.
 Tính chất 2a (Trang 101 SGK HH11). Cho hai mặt phẳng song song. Đường
thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng
kia.
.
 Định lý 2 (Trang 109 SGK HH11). Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng
vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với
mặt phẳng thứ ba đó.
.
 Định lý 1 (Trang 108 SGK HH11). Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì bất cứ
đường thẳng nào nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao
tuyến đều vuông góc với mặt phẳng kiA.

5. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
 Cách 1: Dùng định nghĩa:
Hay
 Cách 2: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng
song song thì phải vuông góc với đường kia.
.
 Cách 3: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông
Trang
5/35

góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

 Cách 4: (Sử dụng Định lý Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng b nằm
trong mặt phẳng
và a là đường thẳng không thuộc
đồng thời không
vuông góc với
. Gọi a' là hình chiếu vuông góc của a trên
vuông góc với a khi và chỉ khi b vuông góc với a'.

. Khi đó b

 Cách khác: Sử dụng hình học phẳng (nếu được).
6. Chứng minh
:
 Cách 1: Theo định nghĩa:

Chứng tỏ góc giữa hai

mặt phẳng bằng
.
 Cách 2: Theo định lý 1 (Trang 108 SGK HH11):
c.

HÌNH CHÓP ĐỀU
1.Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa
giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
Nhận xét:
S
 Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân
bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng
nhau.
 Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các
góc bằng nhau.
2.Hai hình chóp đều thường gặp:
A
O

a.Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác
đều
. Khi đó:





Đáy
là tam giác đều.
Các mặt bên là các tam giác cân tại
Chiều cao:
.
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:

 Góc giữa mặt bên và mặt đáy:

C

B

.
.

.

 Tính chất:

.

S

Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện
đều.
 Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều.
 Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có
cạnh bên bằng cạnh đáy.
b.Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác
đều
.
 Đáy
là hình vuông.
 Các mặt bên là các tam giác cân tại
 Chiều cao:
.

A

I

D

O
B

C

.

Trang
6/35

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:

.

 Góc giữa mặt bên và mặt đáy:

d.

.

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
S
1.Thể tích khối chóp:
D

Diện tích mặt đáy.
Chiều cao của khối chóp.

O
C

A

C
B

2.Thể tích khối lăng trụ:
Diện tích mặt đáy.
Chiều cao của khối chóp.

A
B

A'

C'

A'

B'

Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao
cũng là cạnh bên.
3.Thể tích hình hộp chữ nhật:

C

C'
B'

c

a

a

a

b

a

Thể tích khối lập phương:

4. Tỉ số thể tích:

S

B
'

A
'

5.Hình chóp cụt

Với
là diện tích hai đáy và
chiều cao.

A

C
'

B

C

Trang
7/35

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hình chóp
có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2
lần và độ dài đường cao không đổi thì thể tích
tăng lên bao nhiêu
lần?
A.

.

B.

.

Câu 2. Có bao nhiêu khối đa diện đều?
A. .
B. .
Câu 3. Cho khối đa diện đều

, chỉ số

, chỉ số

.

C.

.

D.

.

là
B. Số mặt của đa diện.
D. Số các mặt ở mỗi đỉnh.
.

B.

Câu 6. Cho

D.

B. Số mặt của đa diện.
D. Số đỉnh của đa diện.

A. Số đỉnh của đa diện.
C. Số cạnh của đa diện.
Câu 5. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh
A.

.

là

A. Số các cạnh của mỗi mặt.
C. Số cạnh của đa diện.
Câu 4. Cho khối đa diện đều

C.

C.

.

D.

là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp

biết

,

.
A.

B.

Câu 7. Cho hình chóp
khối chóp
A.

có

.

,

B.

tích
.

.

,

A.

.

.

Góc giữa
A.
Câu 12. Hình chóp

B.

B.

D.
có

và đáy bằng

là
D.

vuông góc mặt đáy, tam giác
. Tính thể tích khối chóp.
C.

đáy hình chữ nhật,

.

D.

.
vuông tại
.

vuông góc đáy,

.

. Thể tích khối chóp là

B.

C.

đáy hình vuông,
B.

.

vuông tại

.

Khi đó thể tích khối chóp
A.

là hình chữ nhật. Tính thể

C.
có

Câu 11. Cho hình chóp

D.

.

B.

Câu 10. Cho hình chóp
,

.

, đáy

Câu 9. Thể tích khối tam diện vuông
A.

là tam giác đều. Tính thể tích

C.

,
B.

D.

.

có

biết

.

, đáy

biết

Câu 8. Cho hình chóp
A.

C.

D.

vuông góc với đáy,

.

là
C.

D.
Trang
8/35

Câu 13. Cho hình chóp

có đáy

là tam giác vuông tại

. Biết

giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
khối chóp

biết

A.

,

vuông cân tại

C.

có đáy

.

là hình thoi. Mặt bên
biết

,

B.

Câu 15. Cho hình chóp

,

mặt phẳng
biết

của

. Hình chiếu của

. Tính thể tích khối chóp

.

B.

Câu 16. Cho hình chóp

.

D.

là tam giác vuông tại

là trung điểm
,

A.

là tam giác

.

C.

có đáy

lên mặt phẳng
biết

D.

và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

Tính thể tích khối chóp
A.

. Tính thể tích

.

B.

Câu 14. Cho hình chóp

là tam

C.

có đáy

D.

hình vuông cạnh

là trung điểm

của

. Hình chiếu của

. Tính thể tích khối chóp

.

A.

B.

Câu 17. Hình chóp

A.

.

C.

của

vuông góc của

C.

đáy hình thoi,
lên

là

Khi đó thể tích khối chóp
A.

.
, góc

D.
bằng

. Hình chiếu

giao điểm của 2 đường chéo, biết

C.

, gọi

,

D.

lần lượt là trung điểm của

. Tính tỉ số

.
A. .

B.

Câu 20. Cho khối chop

C.

.

D.

. Trên ba cạnh

sao cho
.

lần lượt lấy ba điểm
. Tính tỉ số

B.

.

là

B.

Câu 19. Cho hình chóp

. Hình chiếu của S lên

. Thể tích khối chóp là

B.

Câu 18. Hình chóp

D.

đáy là hình vuông cạnh

là trung điểm

A.

lên

.

C.

.

D.

.
Trang
9/35

Câu 21. Cho hình chóp S.ABC. Gọi
cắt

,

là mặt phẳng qua

lần lượt tại

. Tính tỉ số

và song song với

biết

.

chia khối chóp thành 2

phần có thể tích bằng nhau.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 22. Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng
A.

B.

C.

Câu 23. Cho lăng trụ

có

.

biết

B.

Câu 24. Cho lăng trụ
lên

.
có

,

.

,

.

D.

là tam giác vuông tại

.

. Hình chiếu của

. Tính thể tích khối lăng trụ

biết

.

A.

B.

C.

Câu 25. Cho lăng trụ

có

.

biết

,

.

C.

B.

C.

D.

.

có tất cả các cạnh đều bằng . Thể

B.

Câu 28. Lăng trụ tam giác

D.
.

Câu 27. Cho khối lăng trụ tam giác đều
tích khối tứ diện
là
A.

lên

.

. Tính tỉ số

A.

.

. Tính thể tích khối lăng trụ

,

B.

Câu 26. Cho lăng trụ

D.

là hình thoi. Hình chiếu của

là trọng tâm của tam giác

A.

. Tính

,

C.

là trung điểm của
,

D.

là hình chữ nhật,

thể tích khối lăng trụ
A.

là:

C.

D.

có đáy tam giác đều cạnh , góc giữa cạnh bên

và mặt đáy bằng 300. Hình chiếu

lên

là trung điểm

của

. Thể

tích khối lăng trụ là
A.

B.

Câu 29. Lăng trụ đứng
Mặt bên
A.

C.
có đáy

D.

là tam giác vuông tại

.

là hình vuông. Khi đó thể tích lăng trụ là
.

B.

Câu 30. Cho lăng trụ
Tính tỉ số

.
. Gọi

C.
,

.

D.

lần lượt là trung điểm của

.
và

.

Trang
10/35

.

A.

.

B.

.

Câu 31. Cho khối lăng trụ
trụ đó là
A.

C.

B.

.

C.

Câu 32. Cho khối lập phương
phương là:
.

.

.

.

C.

Câu 33. Cho hình chóp tứ giác đều
phẳng
và
bằng
và .

và khối lăng
D.

.

Câu 34. Cho hình chóp

.

và khối lập
D.

.

có chiều cao bằng , góc giữa hai mặt
. Tính thể tích của khối chóp
theo

B.

.

C.

có đáy

.

D.

là hình vuông cạnh

góc với đáy và mặt phẳng
chóp

.

. Tỉ số thể tích giữa khối
B.

A.

D.

. Tỉ số thể tích giữa khối chóp

.

A.

.

tạo với đáy một góc

.

, cạnh

vuông

. Tính thể tích khối

.

A.

.

B.

.

Câu 35. Cho hình lăng trụ đứng

C.

.

có đáy

, mặt phẳng

tạo với đáy một góc
. Tính thể tích khối lăng trụ

A.

B.

.

Câu 36. Cho hình lăng trụ

C.

có đáy

chiếu vuông góc của

.

là tam giác vuông tại

diện tích bằng
.

D.

và tam giác

,
có

.
.

D.

.

là tam giác đều cạnh bằng . Hình

trên

là trung điểm của

tạo với đáy một góc bằng

. Mặt phẳng

. Tính thể tích V của khối lăng trụ

.
A.

.

B.

.

Câu 37. Cho hình chóp đều

C.

A.

theo

.

D.

.

, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy

, khoảng cách giữa hai đường thẳng
khối chóp

.

và

bằng

bằng

. Thể tích của

bằng

B.

Câu 38. Cho hình chóp đều
, hai mặt phẳng

.

C.
có đáy
và

.

D.

là hình thoi tâm

.
,

,

cùng vuông góc với mặt phẳng

Trang
11/35

. Biết khoảng cách từ điểm
thể tích của khối chóp
A.

.

đến mặt phẳng

theo

B.

bằng

. Tính

.

.

C.

.

D.

.

Câu 39. Cho hình chóp tứ giác đều
,
là giao điểm của
và
. Biết mặt
bên của hình chóp là tam giác đều và khoảng từ
đến mặt bên là . Tính
thể tích khối chóp
theo .
A.

.

B.

.

Câu 40. Cho hình chóp tứ giác
và

.

biết góc giữa

và

A.

B.

biết

.

bằng
.

.

có

C.

của khối tứ diện

theo
B.

C.

của tam giác

B.

chóp
A.

.
có

. Tính tỉ số

,

.

là điểm trên cạnh

B.

.

là tam giác đều cạnh

.

.

bằng

D.

là trung điểm của

.

.
,

là điểm trên

lần lượt là thể tích của các khối
.
C.

là thể tích của các khối tứ diện
A.

C.

B.

Câu 45. ho

D.

đến mặt phẳng

. Kí hiệu

và

. Thể tích

.

Câu 44. Cho hình chóp tam giác
sao cho

. Hình chiếu

.

, biết đáy

.Tính thể tích khối lăng trụ

cạnh

và góc

và

bằng

.

Khoảng cách từ tâm

,

.

trùng với trọng tâm của

Câu 43. Cho hình lăng trụ đứng

.

D.

, góc giữa đường thẳng

vuông tại

lên

theo

.

.

có

vuông góc của điểm

A.

.

là hình thang vuông tại

bằng

.

, tam giác

.

D.

,

Câu 42. Cho lăng trụ tam giác

A.

theo

. Tính thể tích khối chóp

B.

bằng

là hình thang vuông tại

C.

.

.

.

.

biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng
A.

D.

. Tính thể tích khối chóp

Câu 41. Cho hình chóp tứ giác
và

.

có

biết
.

C.

D.

sao cho
và
C.

. Kí hiệu
. Tính tỉ số
.

lần lượt

.
D.

.
Trang
12/35

Câu 46. Cho hình chóp tứ giác đều
phẳng
và
bằng
và

,

. Tính thể tích

A.

có cạnh đáy bằng
, góc giữa hai mặt
và
lần lượt là trung điểm các cạnh

của khối tứ diện

B.

Câu 47. Cho lăng trụ
cạnh bên
trung điểm cạnh
A.

C.

B.

.

C.

có các cạnh

và

D.

có đáy
là tam giác vuông cân tại
,
. Hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng
. Tính thể tích của khối lăng trụ
.

.

Câu 48. Cho tứ diện

.

và

.

D.

.

đôi một vuông góc với nhau. Gọi

lần lượt là trọng tâm các mặt
,

và

. Tính theo a thể tích khối tứ diện

A.
Câu 49. Cho tứ diện
tích khối tứ diện
A.

B.
có

;
là

C.

. Biết
.

D.

,

,

. Tính thể

.
B.

C.

D.

Câu 50. Cho hình chóp tứ giác
có đáy là vuông; mặt bên
là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
A.

.

B.

Câu 51. Cho tứ diện
,
và
phẳng

bằng

,

. Tính thể tích

.

C.

của khối chóp

.

D.

.

và
là các điểm thuộc các cạnh
và
,
là mặt phẳng qua
và song song với

là các khối đa diện có được khi chia khối tứ diện
, trong đó,

là thể tích của

và

A.

B.

chứa điểm
. Tính tỉ số

,

chứa điểm

;

.

sao cho
. Kí hiệu
bởi mặt

và

lần lượt

.
C.

D.

Câu 52. Cho hình chóp
có chân đường cao nằm trong tam giác
; các mặt
phẳng
,
và
cùng tạo với mặt phẳng
các góc bằng
nhau. Biết
,
,
; đường thẳng
tạo với mặt đáy một
góc bằng
. Tính thể tích của khối chóp
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 7.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B A D A C A C A A B D A C C A A D A B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A

Trang
13/35

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B D D C A A C A A D A B
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 1. Cho hình chóp
có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2
lần và độ dài đường cao không đổi thì thể tích
tăng lên bao nhiêu
lần?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải:
Khi độ dài cạnh đáy tăng lên lần thì diện tích đáy tăng lên 4 lần.
Thể tích khối chóp tăng lên 4 lần.
Câu 2. Có bao nhiêu khối đa diện đều?
A. .
B. .
C. .
D. .
Hướng dẫn giải:
Có 5 khối đa diện đều là: tứ diện đều, hình lập phương, khối mặt đều, khối
mặt đều, khối
mặt đều.
Câu 3. Cho khối đa diện đều

, chỉ số

là

A. Số các cạnh của mỗi mặt.
C. Số cạnh của đa diện.
Câu 4. Cho khối đa diện đều

B. Số mặt của đa diện.
D. Số đỉnh của đa diện.

, chỉ số

A. Số đỉnh của đa diện.
C. Số cạnh của đa diện.
Câu 5. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh
A.

B.

là
B. Số mặt của đa diện.
D. Số các mặt ở mỗi đỉnh.
.
C.

.

D.

Hướng dẫn giải:
Gọi tứ diện
đều cạnh .
Gọi
là hình chiếu của
lên

S

.
Ta có:
C

A
O

.
Câu 6. Cho

B

là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp

biết

.
A.

B.

C.

.

D.

Hướng dẫn giải:

Trang
14/35

,

Gọi

là hình chiếu của

lên

S

Ta có:
A

D
H

B

Câu 7. Cho hình chóp
khối chóp
A.

có

, đáy

biết

.

,

B.

C

là tam giác đều. Tính thể tích

.

.

C.

.

D.

Hướng dẫn giải:
S

.
C

A
B

Câu 8. Cho hình chóp
tích
A.

có

biết
.

, đáy

,
B.

,
.

là hình chữ nhật. Tính thể

.
B.

.

Hướng dẫn giải:

D.
S

D

A

Câu 9. Thể tích khối tam diện vuông
A.

B.

B
vuông tại
có

C.

C

là
D.

.

Hướng dẫn giải:

Trang
15/35

A

C

O

Câu 10. Cho hình chóp
,
A.

.

B
vuông góc mặt đáy, tam giác
. Tính thể tích khối chóp.

có
B.

.

C.

.

vuông tại

D.

.

Hướng dẫn giải:

S

C

A
B
Câu 11. Cho hình chóp
Góc giữa
A.

đáy hình chữ nhật,

và đáy bằng

vuông góc đáy,

.

. Thể tích khối chóp là

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải:

S

450

D

A

B
Câu 12. Hình chóp

đáy hình vuông,

Khi đó thể tích khối chóp
A.

B.

C

vuông góc với đáy,

.

là
C.

D.

Hướng dẫn giải:
S

D

A
B

C

Trang
16/35

Câu 13. Cho hình chóp

có đáy

là tam giác vuông tại

. Biết

giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
khối chóp

biết

A.

,

là tam
. Tính thể tích

.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải:
vuông tại

.
S

Gọi

là trung điểm

Ta có:

đều

A

(vì

).

C
H
B

Câu 14. Cho hình chóp
vuông cân tại

có đáy

là hình thoi. Mặt bên

và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

Tính thể tích khối chóp
A.

là tam giác

.

biết

,

B.

.

.

C.

D.

Hướng dẫn giải:
Gọi

là giao điểm của

và

S

.
là hình thoi
là trung điểm của
vuông tại

,
.

,

A

.

H

.
Gọi

là trung điểm

Ta có:

D

B
.

vuông cân tại

cân

C
cạnh

(vì

.
).

.
Câu 15. Cho hình chóp

có đáy

lên mặt phẳng
biết
A.

là tam giác vuông tại

là trung điểm
,

,
B.

của

. Hình chiếu của

. Tính thể tích khối chóp

.
C.

D.

Hướng dẫn giải:
Trang
17/35

vuông tại

S

.
.
B

.

H

.
Câu 16. Cho hình chóp

biết

C

có đáy

mặt phẳng

A

hình vuông cạnh

là trung điểm

của

. Hình chiếu của

lên

. Tính thể tích khối chóp

.

A.

B.

.

C.

D.

Hướng dẫn giải:
vuông tại

S
.
.

A

.

H
.

Câu 17. Hình chóp

D

C

đáy là hình vuông cạnh

là trung điểm
A.

B

của

. Hình chiếu của S lên

. Thể tích khối chóp là

B.

C.

.

Hướng dẫn giải:

D.

S

A
H

.
Câu 18. Hình chóp
vuông góc của

Khi đó thể tích khối chóp
A.

B

đáy hình thoi,
lên

B.

D

là

, góc

C
bằng

. Hình chiếu

giao điểm của 2 đường chéo, biết
là
C.

D.

Hướng dẫn giải:
Trang
18/35

.

S

A

D
I

Câu 19. Cho hình chóp

, gọi

,

B
C
lần lượt là trung điểm của

. Tính tỉ số

.
A. .

B.

C.

.

D.

Hướng dẫn giải:

S

M
N
A

Câu 20. Cho khối chop

A.

.

B
lần lượt lấy ba điểm

. Trên ba cạnh

sao cho

C

. Tính tỉ số
B.

.

C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải:
O

B

Ta có:

A

C

A

C

B

Câu 21. Cho hình chóp S.ABC. Gọi
cắt

,

là mặt phẳng qua

lần lượt tại

. Tính tỉ số

biết

và song song với

.

chia khối chóp thành 2

phần có thể tích bằng nhau.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.
Trang
19/35

Hướng dẫn giải:

S
Ta có:

M

Ta có:

N
A

C

Ta có:

B
Câu 22. Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng
A.

B.

C.

là:

D.

Hướng dẫn giải:

C'

A'
B'

A
Câu 23. Cho lăng trụ

có

thể tích khối lăng trụ
A.

.

Gọi

(vì

.

C.

,

. Tính
,

.

.

D.

.

Hướng dẫn giải:
và
.

là giao điểm của
là hình chữ nhật

Mà

B
là hình chữ nhật,
biết

B.

C

nên
là trực tâm giác
vuông tại

)

B

O

vuông tại

D

C

.
Câu 24. Cho lăng trụ
lên

là trung điểm của
,

A.

có
,

là tam giác vuông tại

. Hình chiếu của

. Tính thể tích khối lăng trụ

biết

.
B.

C.

.

D.

.

Trang
20/35

Hướng dẫn giải:
Gọi

là trung điểm của
.
là tam giác vuông tại

vuông tại

.
Câu 25. Cho lăng trụ

có

là hình thoi. Hình chiếu của

là trọng tâm của tam giác
biết
A.
Gọi

,

.

. Tính thể tích khối lăng trụ

,

B.

.
C.

D.

Hướng dẫn giải:
là trọng tâm của tam giác

A'

B'

.
Ta có:

C'

D'

.

Tam giác

lên

cân có

nên tam giác
đều.
là tam giác đều cạnh

A

B
H

C

D

vuông tại
;
Câu 26. Cho lăng trụ
A.

. Tính tỉ số
B.

.
C.

D.

.

Hướng dẫn giải:
Ta có:

là hình bình hành

A'

C'
B'

Ta có:

A

C
B
Trang
21/35

Câu 27. Cho khối lăng trụ tam giác đều
tích khối tứ diện
là
A.

có tất cả các cạnh đều bằng . Thể

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải:

A'

C'

B'

A

C

B
Câu 28. Lăng trụ tam giác

có đáy tam giác đều cạnh , góc giữa cạnh bên

và mặt đáy bằng 30 . Hình chiếu
0

lên

là trung điểm

của

. Thể

tích khối lăng trụ là
A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải:

Câu 29. Lăng trụ đứng
Mặt bên
A.

có đáy

là tam giác vuông tại

.

là hình vuông. Khi đó thể tích lăng trụ là
.

B.

.

C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải:

C'

A'
B'

A
Câu 30. Cho lăng trụ
Tính tỉ số

. Gọi

,

C

B

lần lượt là trung điểm của

và

.
Trang
22/35

.

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải:
Ta có:

là hình bình hành

A'

B'

C'

M

Ta có:
N

A

B

C

Câu 31. Cho khối lăng trụ
trụ đó là
A.

.

. Tỉ số thể tích giữa khối chóp
B.

.

C.

.

và khối lăng
D.

Hướng dẫn giải:

A'

.

C'

B'

A
B

Câu 32. Cho khối lập phương
phương là:
A.

.

C

. Tỉ số thể tích giữa khối
B.

.

C.

.

và khối lập
D.

.

Hướng dẫn giải:
A'
C'

B'

D

A
B

D'

C

VẬN DỤNG THẤP
Câu 33. Cho hình chóp tứ giác đều
có chiều cao bằng , góc giữa hai mặt
phẳng
và
bằng . Tính thể tích của khối chóp
theo
và .
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.
Trang
23/35

Hướng dẫn giải:
Gọi O là tâm của mặt đáy thì
. Từ đó,

là

đường cao của hình chóp.Gọi M là
trung điểm đoạn CD.
Ta có:
.

V =

.SABCD.SO; B = SABCD = AB2; Tìm AB: AB = 2OM

Tam giác SOM vuông tại tại O, ta có: tan
AB =

=

. Suy ra: B = SABCD =

Vậy VS.ABCD =

.

.h =

Câu 34. Cho hình chóp

OM =

.

. SO = h.

.

có đáy

là hình vuông cạnh

góc với đáy và mặt phẳng
chóp

=

tạo với đáy một góc

, cạnh

vuông

. Tính thể tích khối

.

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải:
Ta có:
AD

AD

(SAB)

S

SA.
.

SABCD = 4a .
Xét tam giác SAB tại vuông tại
B, ta có:
2

A


.
Vậy V =

.4a2. 2a

=

.

Câu 35. Cho hình lăng trụ đứng
, mặt phẳng

có đáy

A.

B.

Hướng dẫn giải:
V= Bh = SABC.A'B'C'.AA'.

.

C.

A'

C

là tam giác vuông tại

tạo với đáy một góc
. Tính thể tích khối lăng trụ

.

2a

B

diện tích bằng

D

và tam giác

có

.
.

D.

,

.

C'
Trang
24/35

Do

.

A

C

30o

a

Và

B

Ta có:
.

.
Câu 36. Cho hình lăng trụ

có đáy

chiếu vuông góc của

là tam giác đều cạnh bằng . Hình

trên

là trung điểm của

tạo với đáy một góc bằng

. Mặt phẳng

. Tính thể tích V của khối lăng trụ

.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải:
A'

Gọi H, M, I lần lượt là trung điểm
của các đoạn thẳng AB, AC, AM.

B
'

.

C
'

.
Ta có IH là đường trung bình của tam
giác
, MB là trung tuyến của
tam giác đều ABC.
Do đó:

Mà:

H

A
I

B
a

M
C

là góc gữa hai mặt phẳng

và
Trong tam giác

vuông tại H, ta có:

.
Trang
25/35

. Vậy
Câu 37. Cho hình chóp đều

, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy

, khoảng cách giữa hai đường thẳng
khối chóp
A.

theo

.

và

. Thể tích của

bằng

B.

.

C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải:
.
.

Gọi
là trung điểm của
Trong mp(SAM), Kẻ
Ta có:

.

Do đó

là đường vuông góc chung của

Suy ra

bằng

bằng

và

.

. Ta có:

.

Đặt

.
và

S

.
Trong

ta có:

H

.

C

A

Khi đó:

O

.

N

B
Câu 38. Cho hình chóp đều

có đáy

, hai mặt phẳng

và

. Biết khoảng cách từ điểm
thể tích của khối chóp
A.

.

B.

là hình thoi tâm

theo
.

,

,

cùng vuông góc với mặt phẳng
đến mặt phẳng

bằng

. Tính

.
C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải

Trang
26/35

Ta có tam giác ABO vuông tại
O và

S

,
. Do đó

I

.
Suy ra

D

đều.

Ta có:

A

2a 3

O

B

C

.
Trong tam giác đều
H là trung điểm AB,
K là trung điểm BH,
suy ra

, gọi

và

;

Suy ra

và

.

.

Gọi I là hình chiếu của O lên SK, ta có:

.

.
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao:

.

Câu 39. Cho hình chóp tứ giác đều
,
là giao điểm của
và
. Biết mặt
bên của hình chóp là tam giác đều và khoảng từ
đến mặt bên là . Tính
thể tích khối chóp
theo .
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải:
Gọi
là trung điểm của
,
trong
kẻ đường cao
.

S

.
Đặt

. Khi đó

,

,

a

.

H
D

Ta có:

B

O

x

C

Trang
27/35

.
Câu 40. Cho hình chóp tứ giác
và

có

biết

.

biết góc giữa

và

A.

B.

.

.

là hình thang vuông tại

. Tính thể tích khối chóp
bằng
.

theo

.
C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải:
Dựng

tại

Ta có:

.

.

S

A

D
M
C

B
Ta có:

.

Câu 41. Cho hình chóp tứ giác
và

biết

.

có

.

,

. Tính thể tích khối chóp

biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng
A.

.

B.

là hình thang vuông tại

.

bằng
C.

.

theo

.
D.

.

Hướng dẫn giải:
Dựng
Dựng
Ta có:

tại
tại
.

.
.

S

H

A

D
M

B

C

Ta có:

Trang
28/35

,

Câu 42. Cho lăng trụ tam giác
bằng

có

, tam giác

vuông góc của điểm

lên

của khối tứ diện

theo

A.

.

B.

, góc giữa đường thẳng

vuông tại

và góc

và

. Hình chiếu

trùng với trọng tâm của

. Thể tích

bằng

.

C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải:
B'

Gọi
là trung điểm của
và là trọng tâm của
.

C'
A'

.

Xét

vuông tại

B

, có

C
M

. (nửa tam giác đều)
Đặt

. Trong

tam giác
Do

vuông tại

có

là nữa tam giác đều
.

vuông tại

:

Vậy,

.

Câu 43. Cho hình lăng trụ đứng
Khoảng cách từ tâm

, biết đáy
của tam giác

.Tính thể tích khối lăng trụ
A.

N

A

là trọng tâm

Trong

G

.

B.

là tam giác đều cạnh

đến mặt phẳng

bằng

.
.

C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải:
Gọi

là trung điểm của

ta có
tuyến
Trong

,

theo giao
.
kẻ

.

Trang
29/35

.

Suy ra:

.
.

Xét hai tam giác vuông
và
có góc
chung nên chúng
đồng dạng.

Suy ra:

.

. Thể tích:

.
VẬN DỤNG CAO
có
là trung điểm của

Câu 44. Cho hình chóp tam giác
cạnh

sao cho

chóp

. Kí hiệu

và

. Tính tỉ số

A.

B.

,

là điểm trên

lần lượt là thể tích của các khối
.
C.

D.

Hướng dẫn giải
S

;
.
Suy ra,

N

M

.
C

A

B

Câu 45. Cho hình chóp tam giác
cạnh
sao cho

có
là trung điểm của
,
là điểm trên cạnh
sao cho

,

lần lượt là thể tích của các khối tứ diện
A.

.

B.

.

C.

và
.

là điểm trên
. Kí hiệu

. Tính tỉ số
D.

.

Hướng dẫn giải

;

Trang
30/35

.

,

Suy ra,

.

Câu 46. Cho hình chóp tứ giác đều
phẳng
và
bằng
và

,

. Tính thể tích

A.

có cạnh đáy bằng
, góc giữa hai mặt
và
lần lượt là trung điểm các cạnh

của khối tứ diện

B.

.

C.

D.

Hướng dẫn giải
Ta có:

.
S

Tương tự,

.

Suy ra

M

(có thể khẳng
N

định

nhờ hai tam giác

A

MNP và BAS là hai tam giác đồng
dạng với tỉ số
Do đó

).

P

D

45°
O

B

C

(1)
. (2)
(3). Từ (1), (2) và (3):
.

Câu 47. Cho lăng trụ
cạnh bên
trung điểm cạnh
A.

.

có đáy
là tam giác vuông cân tại
,
. Hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng
. Tính thể tích của khối lăng trụ
.
B.

.

C.

.

D.

;
là
.

Hướng dẫn giải

Trang
31/35

B'

A'

Vì ABC là tam giác vuông cân tại B
nên trung tuyến BH cũng là đường cao
của nó, và

C'
a 2

.
.

B

A
a

a

H

a

C

Câu 48. Cho tứ diện

có các cạnh

và

và

đôi một vuông góc với nhau. Gọi

lần lượt là trọng tâm các mặt
,

A.

và

. Tính theo a thể tích khối tứ diện
B.

C.
Hướng dẫn giải

. Biết
.

D.

Trong trường hợp tổng quát,
ta chứng
minh được

D

.

Thật vậy,
ta có

và

G3

(tỉ số đồng
dạng

G2

) . Từ đó:

G4

A

C

G1

và

M

B

Suy ra

Câu 49. Cho tứ diện
tích khối tứ diện
A.

có

,

,

. Tính thể

.
B.

C.
Hướng dẫn giải

D.

Dựng tam giác MNP sao
cho C, B, D lần lượt là
trung điểm các cạnh MN,
MP, NP.
Do BD là đường trung bình
tam
giác
MNP
nên
hay

.
Trang
32/35

Tam giác AMN vuông tại A
(do có trung tuyến bằng
một nửa cạnh tương ứng),
hay
. Tương tự,
và
.
Ta có

,

,

Từ đó,

.Suy ra

. Đặt

.

. Ta có

,

suy ra

(AM, AN, AP đôi một vuông góc nên

)

Câu 50. Cho hình chóp tứ giác
có đáy là vuông; mặt bên
là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
A.

bằng

.

B.

. Tính thể tích

.

C.

của khối chóp

.

D.

.
.

Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm AB, suy ra
SH là chiều cao khối chóp đã
S
cho.
Kí hiệu là độ dài cạnh đáy.
Ta có

và

.

Kẻ

L

;

Kẻ

.

Suy ra

và

A
H
B

Theo gt,
Câu 51. Cho tứ diện
,
và

D
K
X

C

. Suy ra
,

và
là các điểm thuộc các cạnh
và
,
là mặt phẳng qua
và song song với

là các khối đa diện có được khi chia khối tứ diện

sao cho
. Kí hiệu
bởi mặt
Trang
33/35

phẳng

, trong đó,

là thể tích của

và

A.

B.

Kí hiệu
Gọi ,

chứa điểm

,

. Tính tỉ số

chứa điểm

;

và

.
C.

D.

Hướng dẫn giải
là thể tích khối tứ diện
.
lần lượt là giao điểm của
với các đường thẳng

Ta có

. Khi chia khối

khối chóp

và

lần lượt

,

bởi mặt phẳng

.

, ta được hai

.

Ta có:

;

S

;
M

.
N

Suy ra
A

C

Q
P

B

Câu 52. Cho hình chóp
có chân đường cao nằm trong tam giác
; các mặt
phẳng
,
và
cùng tạo với mặt phẳng
các góc bằng
nhau. Biết
,
,
; đường thẳng
tạo với mặt đáy một
góc bằng
. Tính thể tích của khối chóp
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Gọi J là chân đường cao của hình
S
chóp S.ABC; H, K và L lần lượt là
hình chiếu của J trên các cạnh AB,
BC và

. Suy ra,

,

và

lần lượt là góc tạo bởi mặt phẳng
với các mặt phẳng
,
và
có

. Theo giả thiết, ta
, suy ra các tam

giác vuông
và
bằng
nhau. Từ đó,
. Mà J nằm
trong tam giác ABC nên J là tâm
đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Áp dụng công thức Hê-rông, ta tính

z=17

A

y=9

K

J

z=17

C
y=9

H
L

x=8

x=8

B

Trang
34/35

được diện tích S của tam giác ABC
là
.
Kí hiệu
là nửa chu vi tam giác
ABC, là bán kính đường tròn nội
tiếp của ABC. Ta có
Đặt

,

z

A

K

y

C

.

y
J

z

,

L

.
H

Ta có hệ phương trình

.

x

x
B

Giải ra được
.
Ta có

, suy ra SJB là tam giác vuông cân tại J.
.

Thể tích V của khối chóp S.ABC là

Trang
35/35