CHUYÊN ĐỀ 1_TOÁN 12

2024 - 2025

CHUYÊN ĐỀ 1.

ỨNG DỤNG TOÁN HỌC GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU
BÀI 1. BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
1. Bài toán quy hoạch tuyến tính.
Định nghĩa:
- Bài toán quy hoạch tuyến tính (hai biến) là bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của biêu thức dạng F = F ( x, y ) = ax + by (a và b là các số thực không đồng thời bằng 0)
trên miền nghiệm Ω của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ần (x và y).
Biểu thức F(x, y) gọi là hàm mục tiêu, hệ bất phương trình bậc nhất gọi là ràng buộc,
miền nghiệm Ω gọi là tập phương án của bài toán quy hoạch tuyến tính đó.
- Để giải bài toán quy hoạch tuyến tính trong trường hợp tập phương án là miền đa
giác, ta thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Biểu diễn tập phương án của bài toán trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Bước 2: Tính giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của Ω.
Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị này là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của F trên Ω.
Chú ý:
a) Trong bài toán quy hoạch tuyến tính, ta viết
F = ax + by → max (hoặc min)
để thể hiện tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của F. Nếu tìm cả giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của F thì ta viết
F = ax + by → max, min.
b) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của F trên Ω được kí hiệu lần lượt là max F và min F .




Với hai số thực x0 , y0 cho trước, ta viết F ( x0 , y0 ) để chỉ giá trị của hàm mục tiêu F = ax + by
khi x = x0 , y = y0
Ví dụ 1: Giải bài toán quy hoạch tuyến tính: F = 2 x − 5 y → max, min với ràng buộc
2 x + y − 4  0
2 x − y  0


2 x + 3 y − 12  0
 y  0

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 1_TOÁN 12

2024 - 2025

Chú ý: Nhiều bài toán quy hoạch tuyến tính xuất phát từ tình huống thực tế có tập phương
án Ω (không là miền đa giác) nằm trong góc phần tư thứ nhất (của mặt phẳng toạ độ Oxy)
và hàm mục tiêu F = ax + by có các hệ số a, b không âm. Khi đó, người ta chứng minh được
rằng F luôn đạt giá trị nhỏ nhất trên tại đỉnh nào đó của Ω.
Từ đó, đối với bài toán quy hoạch tuyến tính F = ax + by → min với tập phương án không là
miền đa giác nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số a và b không âm, ta có thể giải
bằng cách thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Biểu diễn tập phương án Ω của bài toán trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Bước 2: Tính giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của Ω.
Giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất của F trên Q.
Ví dụ 2. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính: F = 3x + 5 y → min với ràng buộc
x + 2 y  5
x − y  2


x  1
 y  0

Trang 2

CHUYÊN ĐỀ 1_TOÁN 12

2024 - 2025

Thực hành:
1/ Giải bài toán quy hoạch tuyến tính: F = 4 x + 3 y → max, min với ràng buộc
x + 2 y − 8  0
2 x − y − 6  0


x  0
 y  1

2/ Giải bài toán quy hoạch tuyến tính: F = 25 x + 10 y → min với ràng buộc
2 x − 3 y  6

x + y  4
x  2


Trang 3

CHUYÊN ĐỀ 1_TOÁN 12

2024 - 2025

Vận dụng: Cho bài toán quy hoạch tuyển tính F = 3x + 3y
→ max, min có tập phương án Ω là miền tứ giác ABCD
(được tô màu như Hình 5) với các đỉnh là A(0; 5), B(4; 1),
C(2; 1) và D(0; 2).
a) Giải bài toán quy hoạch tuyến tính đã cho.
b) Hàm mục tiêu F đạt giá trị lớn nhất trên Ω tại bao nhiêu
điểm? Giải thích.

2. Ứng dụng vào các bài toán thực tế
- Nhiều bài toán tối ưu trong thực tế dẫn đến giải bài toán quy hoạch tuyến tính (hai
ẩn). Để giải các bài toán như vậy, ta thường thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Đặt hai ẩn biểu thị hai đại lượng chưa biết (cần tìm). Viết điều kiện có nghĩa cho
các ẩn đó.
Bước 2: Từ dữ kiện của bài toán, viết biểu thức biểu thị đại lượng cần tìm giá trị tối ưu và
các bất phương trình bậc nhất đối với hai ẩn trên. Từ đó, phát biểu bài toán quy hoạch tuyến
tính nhận được.
Bước 3: Giải bài toán quy hoạch tuyến tính và trả lời.

Trang 4

CHUYÊN ĐỀ 1_TOÁN 12

2024 - 2025

Ví dụ 3. Tại một xưởng cơ khí, để sản xuất mỗi loại sản phẩm A và B cần dùng hai máy I
và II. Đề sản xuất một sản phẩm loại A phải dùng máy I trong 1 giờ và máy II trong 3 giờ,
đối với một sản phẩm loại B phải dùng máy I trong 2 giờ và máy II trong 2 giờ.
Mỗi tuần máy I làm việc tối đa 40 giờ, máy II làm việc tối đa 60 giờ. Mỗi sản phẩm A cho
lợi nhuận 2 triệu đồng, mỗi sản phẩm B cho lợi nhuận 3 triệu đồng. Mỗi tuần xưởng sản
xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại A và B thì thu được lợi nhuận cao nhất? Biết rằng sản
phẩm sản xuất ra đều bán hết.

Ví dụ 4. Thức ăn cho vật nuôi tại một phòng thí nghiệm được trộn từ hai loại thức ăn A và
B, với yêu cầu cung cấp ít nhất 540 g protein và ít nhất 160 g lipid (chất béo) mỗi ngày.
Biết rằng hàm lượng protein và lipid trong thức ăn loại A lần lượt là 36% và 16%;
trong thức ăn loại B lần lượt là 54% và 8%. Giá của thức ăn loại A là 40 nghìn đồng/kg,
thức ăn loại B là 30 nghìn đồng/kg. Cần dùng bao nhiêu kilôgam thức ăn loại A và loại B
mỗi ngày để chi phi thức ăn cho những vật nuôi là thấp nhất?

Trang 5

CHUYÊN ĐỀ 1_TOÁN 12

2024 - 2025

Thực hành.
3/ Một dây chuyền của nhà máy sản xuất đá xây dựng dự định sản xuất hai loại sản phẩm
A và B. Thời gian để dây chuyền sản xuất 100 tấn sản phẩm loại A và 100 tấn sản phẩm
loại B lần lượt là 2 giờ và 3 giờ. Do nhu cầu thị trường, xí nghiệp sản xuất sản lượng sản
phẩm loại A không ít hơn 3 lần sản lượng sản phẩm loại B. Sản phẩm loại A cho lợi nhuận
là 5 triệu đồng/100 tấn; sản phẩm loại B cho lợi nhuận 9 triệu đồng/100 tấn.
Trong thời gian không quá 6 giờ làm việc của dây chuyền, cần sản xuất bao nhiêu tần sản
phẩm loại A, bao nhiêu tấn sản phẩm loại B để thu được lợi nhuận cao nhất?

4/ Trong 100 g thịt bò loại I có chứa 21 g protein và 3,5 g lipid; 100 g thịt bò loại II có chứa
18 g protein và 10,5 g lipid. Biết rằng thịt bò loại I có giá 220 nghìn đồng/kg thì thịt bò loại
II có giá 210 nghìn đồng/kg. Để có lượng thực phẩm từ hai loại thịt bò trên cung cấp ít nhất
630 g protein và 210 g lipid, cần mua khối lượng bao nhiêu cho mỗi loại thịt bò loại I và II
sao cho chi phí thấp nhất?
Trang 6

CHUYÊN ĐỀ 1_TOÁN 12

2024 - 2025

BÀI 2. VẬN DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU
1. Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu
- Người ta muốn sản xuất những chiếc thùng có dạng hình
hộp chữ nhật không nắp, có đáy là hình vuông và thể tích chứa là
500 dm (Hình 1). Biết rằng chiều cao của thùng trong khoảng từ 3
dm đến 10 dm.
a) Nếu gọi độ dài cạnh đáy của thùng là x (dm), chiều cao của
thùng là h (dm) thì tổng diện tích các mặt của thùng, kí hiệu S, có
thể được biểu thị bằng biểu thức nào?
b) Có thể biểu thị tổng diện tích S theo x không? Biến x nhận giá trị trong miền nào?
c) Với giá trị nào của x thì S có giá trị nhỏ nhất?

Trang 7

CHUYÊN ĐỀ 1_TOÁN 12

2024 - 2025

- Bằng cách sử dụng đạo hàm, ta có thê giải nhiêu bài toán tôi ưu (bài toán tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đại lượng nào đó) xuất hiện trong khoa học và cuộc sống.
Để giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm, ta thường thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Chọn một hoặc một số chữ cái x, a, b, ... gọi là biến để biểu thị những đại lượng
chưa biết và viết biểu thức biểu thị đại lượng, kí hiệu P, cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của P theo các biền đó.
Bước 2: Viết lại biểu thức P thành biểu thức chứa một biến (chẳng hạn là x)
bằng cách biểu thị các biến khác theo biến x nhờ các dữ kiện đề bài đã cho. Từ đó, ta nhận
được hàm số xác định bởi công thức P = f ( x )
Bước 3: Xác định tập hợp D gồm các giá trị mà biến x có thể nhận.
Bước 4: Tim giá trị lớn nhất, gá trị nhỏ nhất của hàm số P = f ( x ) trên D và trả lời
bài toán.
Ví dụ 1. Trên một cánh đồng rộng lớn, người ta dự
định rào một đồng cỏ có dạng hình chữ nhật với diện
tích 80 000 m2 và tiếp giáp với một bờ sông thẳng.
Cần chọn các kích thước của đồng cỏ bằng bao nhiêu
để độ dài của hàng rào cần dựng nhỏ nhất?

Trang 8

CHUYÊN ĐỀ 1_TOÁN 12

2024 - 2025

Ví dụ 2. Xét tình huống ở hoạt động khởi động.
Một người đang ở vị trí A muốn đi đến vị trí B trên
bờ hồ như hình bên. Biết rằng người đó chèo thuyền
với tốc độ 50 m/phút và chạy bộ với tốc độ 100
m/phút. Nếu người đó chèo thuyền thẳng từ A đến
B thì tốn bao nhiêu thời gian? Có phương án nào
tốn ít thời gian hơn không?
Giả sử người đó chèo thuyền thẳng đến điểm D nằm
giữa B và C và cách C một đoạn x (m), rồi chạy bộ
thẳng đến B. Tìm giá trị của x để người đó tốn ít thời gian nhất.

Thực hành 1.
1/ Hai nhà máy được đặt tại các vị trí A và B cách nhau 4 km.
Nhà máy xử lí nước thải được đặt ở vị trí C trên đường trung
trực của đoạn thẳng AB, cách trung điểm M của đoạn thẳng AB
một khoảng là 3 km. Người ta muốn làm đường ống dẫn nước
thải từ hai nhà máy A, B đến nhà máy xử lí nước thải C gồm các
đoạn thẳng AI, BI và IC, với 7 là vị trí nằm giữa M và C (Hình
4). Cần chọn vị trí điểm I như thế nào để tổng độ dài đường ống
nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Trang 9

CHUYÊN ĐỀ 1_TOÁN 12

2024 - 2025

2/ Mặt cắt ngang của một máng dẫn nước là một hình thang cân
có độ dài đáy bé bằng độ dài cạnh bên và bằng a (cm) không đổi
(Hình 5). Gọi α là một góc của hình thang cần tạo bởi đáy bé và

cạnh bên       . Tìm a để diện tích mặt cắt ngang của
2



máng lớn nhất.

Trang 10

CHUYÊN ĐỀ 1_TOÁN 12

2024 - 2025

2. Giải bài toán tối ưu trong kinh tế
- Trong sản xuất, kinh doanh, người ta thường cố gắng tìm các phương án sao cho chi
phí bỏ ra thấp nhất, lợi nhuận thu được lớn nhất, .... Từ đây xuất hiện nhiều bài toán tối ưu
trong kinh tế mà ta có thể giải nhờ ứng dụng đạo hàm. Dưới đây, ta xét một số bài toán đơn
giản.
Ví dụ 3. Tại một xí nghiệp chuyên sản xuất vật liệu xây dựng, nếu trong một ngày xí
nghiệp sản xuất x (m) sản phẩm thì phải bỏ ra các khoản chi phí bao gồm: 4 triệu đồng chi
phí cố định; 0,2 triệu đồng chi phí cho mỗi mét khối sản phẩm và 0,001x2 triệu đồng chi phí
bảo dưỡng máy móc. Biết rằng, mỗi ngày xí nghiệp sản xuất được tối đa 100m3 sản phẩm.
a) Tính tổng chỉ phí (kí kiệu là C, đơn vị: triệu đồng) để xí nghiệp sản xuất x (m') sản
phẩm trong một ngày.
b) Tính chi phí trung bình (kí hiệu là C ) trên mỗi mét khối sản phẩm.
c) Tìm giá trị của x sao cho chi phí trung bình C thấp nhất. Tìm giá trị thấp nhất đó.

Ví dụ 4. Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy B. Hai nhà
máy thỏả thuận rằng, hằng tuần A cung cấp cho B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng
của B (tối đa 100 sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là x sản phẩm thì giá bán cho mỗi sản
phẩm là P ( x ) = 45 − 0, 001x 2 (triệu đồng). Chi phí để A sản xuất x sản phẩm trong một tuần
là C ( x ) = 100 + 30 x (triệu đồng) (gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho
mỗi sản phẩm).
a) Nếu mỗi tuần A bán x sản phẩm cho B thi A thu được lợi nhuận bao nhiêu?
b) A bán cho B bao nhiêu sản phẩm mỗi tuần thi thu được lợi nhuận lớn nhất? Tìm giá trị
lợi nhuận lớn nhất đó.
Trang 11

CHUYÊN ĐỀ 1_TOÁN 12

2024 - 2025

Thực hành.
3/ Tại một xưởng sản xuất, chi phí để sản xuất x sản phẩm mỗi tháng là
C ( x ) = 5000 + 50 x + 0, 005 x 2 (nghìn đồng).
a) Tính chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm.
b) Mỗi tháng xưởng sản xuất bao nhiêu sản phẩm thì chi phí trung bình để sản xuất một sản
phẩm thấp nhất?

4/ Cơ sở A chuyên cung cấp một loại sản phẩm nông nghiệp X cho nhà phân phối B.
Hai bên thoa thuận rằng, nếu đầu tháng B đặt hàng x tạ sản phẩm X thì giá bán mỗi tạ sản
phẩm là P ( x ) = 5 − 0, 0005 x 2 (triệu đồng) ( x  40 ) . Chị phí A phải bỏ ra cho x tạ sản phẩm X
trong một tháng là C ( x ) = 10 + 3,5 x (triệu đồng).

Trang 12

CHUYÊN ĐỀ 1_TOÁN 12

2024 - 2025

a) Nếu trong một tháng A bán x tạ sản phẩm X cho B thì A nhận được bao nhiêu doanh thu,
bao nhiêu lợi nhuận?
b) Trong một tháng B đặt hàng bao nhiều tạ sản phẩm X từ A thì A nhận được lợi nhuận
lớn nhất?

Vận dụng: Hiện tại, mỗi tháng một cửa hàng đồ lưu niệm bán được 100 sản phẩm A. Với
mỗi sản phẩm A bán được, cửa hàng thu được 20 nghìn đồng lợi nhuận. Qua khảo sát,
người ta thấy rằng với mỗi nghìn đồng giảm giá, cửa hàng bán thêm được 10 sản phẩm A.
Cửa hàng nên giảm giá bao nhiêu cho mỗi sản phẩm A để thu được lợi nhuận lớn nhất từ
việc bán sản phẩm này? Tính lợi nhuận lớn nhất đó.

Trang 13