Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

CHƯƠNG 5
ĐƯỜNG TRÒN

BÀI 1
MỞ ĐẦU ĐƯỜNG TRÒN

1. Khái niệm đường tròn
Trong mặt phẳng, đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0 ) là tập hợp các điểm cách điểm O cố
định một khoảng R , kí hiệu là: ( O; R )

O

R

Chú ý:
• Một đường tròn hoàn toàn xác định khi biết tâm và bán kính.
• Khi không chú ý đến bán kính của đường tròn ( O; R ) , ta cũng có thể kí hiệu đường tròn ( O ) .
Nhận xét:
• Vị trí tương đối của một điểm đối với đường tròn
+ Điểm M nằm trên đường tròn ( O ) nếu OM = R
+ Điểm M nằm trong đường tròn ( O ) nếu OM < R
+ Điểm M nằm ngoài đường tròn ( O ) nếu OM > R
• Hình tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm nằm trên và nằm trong đường tròn (O;R)
2. Tính chất đối xứng của đường tròn
• Đường tròn là hình có tâm đối xứng: Tâm của đường tròn là tâm đối
xứng của đường tròn đó

A

• Đường tròn là hình có trục đối xứng: Bất kì đường kính nào cũng là
trục đối xứng của đường tròn đó.

Trang 1

O

A'

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM CHO TRƯỚC CÙNG NẰM TRÊN MỘT ĐƯỜNG TRÒN VÀ
TÍNH BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN
Phương pháp
Cách 1: Chứng minh các điểm cho trước cùng cách đều 1 điểm cho trước nào đó.
 = 900 thì A thuộc đường tròn đường kính BC .
Cách 2: Nếu BAC
A

B

O

C

1
Xét tam giác vuông ABC , có AO là đường trung tuyến nên AO = BC ⇒ AO = OB = OC
2
có AB 5=
cm, AC 12cm .
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông ở A=
a) Chứng minh ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Tính bán kính của đường tròn đó.
cm, BC 12cm .
Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD=
có AB 9=
a) Chứng minh bốn điểm A, B, C , D cùng nằm trên một đường tròn.
b) Tính bán kính đường tròn đó.
Bài 3. Cho tam giác đều ∆ABC cạnh bằng a , các đường cao BM , CN . Gọi O là trung điểm của BC
a) Chứng minh rằng B, C , M , N cùng thuộc đường tròn (O).
b) Gọi G là giao điểm của BM và CN . Chứng minh điểm G nằm trong, điểm A nằm ngoài đối với
đường tròn đường kính BC .

(

)

Bài 4. Cho tam giác ABC 
A = 900 , đường cao AH . Từ M là điểm bất kỳ trên cạnh BC . Kẻ
MD ⊥ AB, ME ⊥ AC . Chứng minh 5 điểm A, D, M , H , E cùng nằm trên một đường tròn

Bài 5. Cho đường tròn tâm ( O ) , đường kính AB và một dây AC bằng bán kính đường tròn. Tính các
góc của ∆ABC .
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 6. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . AM, BN,CP là các đường trung tuyến. Chứng minh 4
điểm B,P, N,C cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.
+D
=
Bài 7. Cho tứ giác ABCD có C
900 . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC , CA .

Chứng minh rằng bốn điểm M , N , P, Q cùng nằm trên 1 đường tròn

Trang 2

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

Bài 8. Cho hình thoi ABCD có 
A = 600 . Gọi E , F , G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, BC , CD, DA . Chứng minh rằng 6 điểm E , F , G, H , B, D cùng nằm trên 1 đường tròn

Bài 9. Cho tam giác ABC và điểm M là trung điểm của BC . Hạ MD, ME theo thứ tự vuông góc với
AB, AC . Trên tia đối của tia DB và EC lần lượt lấy các điểm I , K sao cho D là trung điểm của BI ,

E là trung điểm của CK . Chứng minh rằng B, I , C, K cùng nằm trên 1 đường tròn.
Bài 10. Gọi I , K theo thứ tự là các điểm nằm trên AB, AD của hình vuông ABCD sao cho AI = AK .
Đường thẳng kẻ qua A vuông góc với DI ở P và cắt BC ở Q . Chứng minh rằng C , D, P, Q cùng thuộc
1 đường tròn.
Bài 11. Cho tam giác ABC , ba đường cao AD, BE , CF cắt nhau tại H . Gọi I , J , K , L lần lượt là trung
điểm của AB, AC , HC , HB . Chứng minh rằng 5 điểm I , J , K , L, E , F thuộc 1 đường tròn.
Bài 12. Cho hình vuông ABCD , gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của OB, CD
a) Chứng minh rằng A, M , N , D thuộc 1 đường tròn.
b) So sánh AN và DM .
Bài 13. Cho hình vuông ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC . Gọi E là giao điểm của

CM và DN
a) Tính số đo góc CEN
b) Chứng minh A, D, E , M cùng nằm trên 1 đường tròn
c) Xác định tâm của đường tròn đi qua 3 điểm B, D, E

Trang 3

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

CHƯƠNG 5
ĐƯỜNG TRÒN

BÀI 1
MỞ ĐẦU ĐƯỜNG TRÒN

1. Khái niệm đường tròn
Trong mặt phẳng, đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0 ) là tập hợp các điểm cách điểm O cố
định một khoảng R , kí hiệu là: ( O; R )

O

R

Chú ý:
• Một đường tròn hoàn toàn xác định khi biết tâm và bán kính.
• Khi không chú ý đến bán kính của đường tròn ( O; R ) , ta cũng có thể kí hiệu đường tròn ( O ) .
Nhận xét:
• Vị trí tương đối của một điểm đối với đường tròn
+ Điểm M nằm trên đường tròn ( O ) nếu OM = R
+ Điểm M nằm trong đường tròn ( O ) nếu OM < R
+ Điểm M nằm ngoài đường tròn ( O ) nếu OM > R
• Hình tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm nằm trên và nằm trong đường tròn (O;R)
2. Tính chất đối xứng của đường tròn
• Đường tròn là hình có tâm đối xứng: Tâm của đường tròn là tâm đối
xứng của đường tròn đó

A

• Đường tròn là hình có trục đối xứng: Bất kì đường kính nào cũng là
trục đối xứng của đường tròn đó.

Trang 1

O

A'

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM CHO TRƯỚC CÙNG NẰM TRÊN MỘT ĐƯỜNG TRÒN VÀ TÍNH
BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN
Phương pháp
Cách 1: Chứng minh các điểm cho trước cùng cách đều 1 điểm cho trước nào đó.
 = 900 thì A thuộc đường tròn đường kính BC .
Cách 2: Nếu BAC
A

B

C

O

1
Xét tam giác vuông ABC , có AO là đường trung tuyến nên AO = BC ⇒ AO = OB = OC
2
có AB 5=
cm, AC 12cm .
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông ở A=
a) Chứng minh ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Tính bán kính của đường tròn đó.
Lời giải

B
O
5

12

A

C

a) Gọi O là trung điểm BC

1
Xét tam giác vuông ABC , có AO là đường trung tuyến nên AO = BC ⇒ AO = OB = OC
2
Do đó ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABC , ta có: BC =

1
⇒ AO = OB = OC = BC = 6,5cm
2
Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD=
có AB 9=
cm, BC 12cm .
a) Chứng minh bốn điểm A, B, C , D cùng nằm trên một đường tròn.
Trang 2

AB 2 + AC 2 = 13cm

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

b) Tính bán kính đường tròn đó.

Lời giải

a) Theo tính chất hình chữ nhật: Hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm
của mỗi đường
Gọi O là giao điểm của AC và BD
OB =
OC =
OD ⇒ A, B, C , D ∈ ( O )
ABCD là hình chữ nhật, ta có: OA =

b) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABC , ta có: BC =

AB 2 + AC 2 = 15cm

1
⇒ AO = OB = OC = OD = BC = 7,5cm
2
Bài 3. Cho tam giác đều ∆ABC cạnh bằng a , các đường cao BM , CN . Gọi O là trung điểm của BC
a) Chứng minh rằng B, C , M , N cùng thuộc đường tròn (O).
b) Gọi G là giao điểm của BM và CN . Chứng minh điểm G nằm trong, điểm A nằm ngoài đối với
đường tròn đường kính BC .
Lời giải
A

M

N
G
B

a

C

a) Ta có:

1
Xét tam giác vuông BNC , có NO là đường trung tuyến nên NO = BC ⇒ NO = OB = OC
2
Trang 3

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

 BC 
⇒ N ∈  O;

2 

1
Xét tam giác vuông BMC , có MO là đường trung tuyến nên MO = BC ⇒ MO =OB =OC
2
 BC 
⇒ M ∈  O;

2 

 BC 
Vậy B, C , M , N cùng thuộc 1 đường tròn  O;

2 


b) Ta có ∆ABC đều có G trực tâm đồng thời là trọng tâm
 = 900 ), R = ON = a .OA =
Xét ∆AOB(O
2

Ta lại có: OG=

a2 −

a2 a 3
R ⇒ A nằm ngoài đường tròn (O)
=
4
2

1
a 3
OA=
< R ⇒ G nằm trong (O).
3
6

(

)

Bài 4. Cho tam giác ABC 
A = 900 , đường cao AH . Từ M là điểm bất kỳ trên cạnh BC . Kẻ

MD ⊥ AB, ME ⊥ AC . Chứng minh 5 điểm A, D, M , H , E cùng nằm trên một đường tròn
Lời giải
A
D
B

E

M

H

C

Vì ba tam giác ADM , AEM , AHM có chung cạnh huyền AM nên ba đỉnh góc vuông D, E , H
Nằm trên đường tròn đường kính AM có tâm là trung điểm của AM
Vậy 5 điểm A, D, M , H , E cùng nằm trên một đường tròn
Bài 5. Cho đường tròn tâm ( O ) , đường kính AB và một dây AC bằng bán kính đường tròn. Tính các
góc của ∆ABC .
Lời giải

Trang 4

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

C
1 2

1

A

B

O

= O
 = 600
Tam giác OAC có ba cạnh bằng nhau ( AC
= OA
= OC ) nên là tam giác đều ⇒ 
A= C
1
1
=

Ta có: OAC có OB = OC nên can tại O ⇒ B
C
2

⇒B
 =C
 =1 O
 =300 ⇒ 
 +C
 =900
 =2C
 +C
 =2 B
 =B
 là góc ngoài của ∆OBC ⇒ O
ACB =C
O
1
2
2
2
1
1
2
1
2
0 
0 

Vậy
=
A 60
=
; B 30
=
; C 900

Có thể lí giải như sau: ∆CAB có trung tuyến CO bằng nửa cạnh đối xứng AB nên vuông tại C

 = 300
ACB = 900 ⇒ 
A = 600 ⇒ B
0 
0 
 90
có C
Vậy ∆ABC =
=
; A 60
=
; B 300

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 6. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a . AM, BN,CP là các đường trung tuyến. Chứng minh 4
điểm B,P, N,C cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.
Lời giải
A

N

P

B

C

M

Vì tam giác ABC đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao, Suy ra AM, BN,CP lần lượt
vuông góc với BC, AC, AB .
1
2

+ ∆BPC là tam giác vuông, có BC là cạnh huyền nên ⇒ MP = BC = BM = MC ( 1)
1
2

+ ∆BNC là tam giác vuông, có BC là cạnh huyền nên ⇒ NM = BC = BM =MC ( 2 )
Trang 5

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

Từ ( 1) và ( 2 ) PM
= NM
= MB
= MC . Hay các điểm B,P, N,C cùng thuộc đường tròn, đường kính BC = a ,
tâm đường tròn là trung điểm M của BC
+D
=
Bài 7. Cho tứ giác ABCD có C
900 . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC , CA .
Chứng minh rằng bốn điểm M , N , P, Q cùng nằm trên 1 đường tròn
Lời giải
E
B

M
A
N

Q
P

D

C

 MQ / / NP
Xét tứ giác MNPQ , ta có: 
⇒ MNPQ là hình bình hành
 MN / / PQ
Kéo dài AD và BC cắt nhau tại E
+D
 = 900 ⇒ E = 900
Ta có: C
 MN / / ED
Lại có: 
⇒ MN ⊥ MQ ⇒ MNPQ là hình chữ nhật
 MQ / / EC
⇒ M , N , P, Q nằm trên 1 đường tròn với tâm là giao điểm của 2 đường chéo của hình chữ nhật, bán kính

bằng nửa đường chéo.
Bài 8. Cho hình thoi ABCD có 
A = 600 . Gọi E , F , G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, BC , CD, DA . Chứng minh rằng 6 điểm E , F , G, H , B, D cùng nằm trên 1 đường tròn

Lời giải
B
E
A

60°

F
C

O
H

G
D

 EF / / GH
Xét tứ giác EFGH , có: 
⇒ EFGH là hình bình hành
 EH / / FG

Lại có: HEF
= 900 ⇒ EFGH là hình chữ nhật
Trang 6

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
⇒ OE = OF = OG = OH (1)

OE = BE
⇒ ∆OBE đều ⇒ OE = OB = OD ( 2 )
Xét tam giác OBE có:  
0
 B = 60
Từ (1) và (2) ⇒ OE = OB = OF = OG = OH = OD ⇒ E , B, F , G, D, H ∈ (O)
Bài 9. Cho tam giác ABC và điểm M là trung điểm của BC . Hạ MD, ME theo thứ tự vuông góc với
AB, AC . Trên tia đối của tia DB và EC lần lượt lấy các điểm I , K sao cho D là trung điểm của BI ,

E là trung điểm của CK . Chứng minh rằng B, I , C, K cùng nằm trên 1 đường tròn.
Lời giải
A
K
I

E

D
B

M

C

Cách 1: sử dụng định nghĩa
Ta có: M là trung điểm BC ⇒ MB = MC =

1
BC (1)
2

MB (2)
MD là trung trực của BI ⇒ MI =
MK (3)
ME là trung trực của CK ⇒ MC =

1
Từ (1)(2)(3) ⇒ MB = MC = MI = MK = BC (đpcm)
2

Cách 2:
Ta có: MD là trung trực của BI ⇒ MI
= MB
=
= MC
=
ME là trung trực của CK ⇒ MK

1
BC ⇔ ∆BIC vuông tại I ⇒ I ∈ ( O; BC )
2

1
BC ⇒ ∆BKC vuông tại K ⇒ K ∈ ( O; BC )
2

Vậy: B, I , C , K ∈ ( O; BC ) .
Bài 10. Gọi I , K theo thứ tự là các điểm nằm trên AB, AD của hình vuông ABCD sao cho AI = AK .
Đường thẳng kẻ qua A vuông góc với DI ở P và cắt BC ở Q . Chứng minh rằng C , D, P, Q cùng thuộc
1 đường tròn.
Lời giải

Trang 7

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

A

Kết nối trí thức với cuộc sống

I

B

P
K

Q

1
C

D

 KD = CQ
 = 600
Ta có ∆ADI =∆BAQ( g − c − g ) ⇒ AI =BQ ⇒ 
⇒ KDCQ là hình bình hành, mà C
 KD / / CQ
⇒ ◊CDKQ là hình chữ nhật.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo CK và DQ ⇒ OC = OD = OK = OQ
∆PDQ vuông cân tại P ⇒ PQ = OD = OC

Vậy 5 điểm C , D, K , P, Q cùng thuộc 1 đường tròn.
Bài 11. Cho tam giác ABC , ba đường cao AD, BE , CF cắt nhau tại H . Gọi I , J , K , L lần lượt là trung
điểm của AB, AC , HC , HB . Chứng minh rằng 5 điểm I , J , K , L, E , F thuộc 1 đường tròn.
Lời giải
A

E

I

J

F

H
K

L
B

D

C

Ta có tứ giác IJKL là hình bình hành (dhnb)

Mà ILK
= 900 ⇒ ◊IJKL là hình chữ nhật có hai đường chéo là LJ và IK

Xét tam giác vuông ELJ vuông tại E ⇒ OE =

1
LJ = OJ
2

Xét tam giác vuông FLK vuông tại I ⇒ OF =

1
IK = OJ
2

Vậy 6 điểm I , J , K , L, E , F thuộc 1 đường tròn đường kính là đường chéo của hình chữ nhật.
Bài 12. Cho hình vuông ABCD , gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của OB, CD
Trang 8

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

a) Chứng minh rằng A, M , N , D thuộc 1 đường tròn.
b) So sánh AN và DM .
Lời giải
A

B
M

I

O

D

C

N

a. Kẻ NH vuông góc với BD tại H

= HD
=
 HO
DN
NC
=

Xét tam giác OCD , có: 
⇒
 NH / / OC  MO
= MB
=


1
CD
1
2
BD = OA
⇒ MH =
1
2
OB
2


 
A =M
1
∆HNM (cgc) ⇒  1
⇒
AMN =
900
Ta có: ∆OAM =
0


90
 A1 + M 2 =
+) Gọi I là trung điểm của AN ⇒ IA = IN =

1
AN (1)
2

 = 900 ) ⇒ ID = 1 AN (2); ∆AMN ( M
 = 900 ) ⇒ MI = 1 AN (3)
Xét ∆ADN ( D
2
2

Từ (1)(2)(3) ⇒ IA = IN = IM = ID ⇒ A, M , N , D ∈ (O)
b. Xét đường tròn ( I ; IA ) có AN là đường kính, DM là dây không đi qua tâm ⇒ AN > DM
Bài 13. Cho hình vuông ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC . Gọi E là giao điểm của

CM và DN
a) Tính số đo góc CEN
b) Chứng minh A, D, E , M cùng nằm trên 1 đường tròn
c) Xác định tâm của đường tròn đi qua 3 điểm B, D, E
Lời giải
M

A

B
N
E

D

I

Trang 9

C

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

=
=
 ⇒ CEN
a) Chứng minh ∆CMB =
∆DNC ⇒ NCE
CDN
900
b) Ta có: A, D, E , M thuộc đường tròn đường kính DM
c) Gọi I là trung điểm CD , chứng minh được AI / / MC
⇒ ∆ADE cân tại A ⇒ B, D, E ∈ ( A; AB )

Trang 10

Kết nối trí thức với cuộc sống

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

BÀI 2
CUNG VÀ DÂY CỦA MỘT ĐƯỜNG TRÒN

1. Dây và đường kính của đường tròn
• Đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt thuộc đường tròn được gọi là dây (hay dây cung) của đường
tròn.
• Dây đi qua tâm là đường kính của đường tròn.

Định lí: Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất.
2. Góc ở tâm
a. Khái niệm góc ở tâm
Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.

b. Khái niệm cung tròn

• Mỗi phần đường tròn giới hạn bởi hai điểm A, B trên đường tròn gọi là cung AB , kí hiệu là 
AB .
• Cung nằm bên trong góc ở tâm AOB được gọi là cung nhỏ, kí hiệu là 
AmB . Ta còn nói 
AmB là
cung bị chắn bởi góc AOB hay góc AOB chắn cung nhỏ AmB .
• Cung nằm bên ngoài góc ở tâm AOB gọi là cung lớn, kí hiệu là 
AnB .
c. Cách xác định số đo của một cung
• Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.
• Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn)
• Số đo của nửa đường tròn bằng 1800 .
Trang 1

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

AB
• Số đo cung AB , kí hiệu là sđ 
Nhận xét:
• Khi hai mút của cung trùng nhau ta có “cung không” với số đo 00 và cung cả đường tròn có số đo
bằng 3600 .
• Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn 1800 , cung lớn có số đo lớn hơn 1800 . Cung nửa đường tròn có số đo
bằng 1800 .
• Góc ở tâm chắn một cung mà cung đó là nửa đường tròn thì có số đo bằng 1800 .
• Trong một đường tròn (hay hai đường tròn bằng nhau), hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo
bằng nhau. Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.

• Nếu C là điểm nằm trên cung AB thì sđ 
ACB = sđ 
ACB + sđ CB

Trang 2

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

CHỦ ĐỀ 1
DÂY VÀ ĐƯỜNG KÍNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN

• Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn đó.
• Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính của đường tròn đó
Bổ đề 1: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
C

A

B

O
D

Chứng minh:
Xét tam giác COD cân tại O ( OC = OD ) và OB là đường cao nên OB là đường trung trực của
đoạn thẳng CD , do đó OB là trung tuyến vì vậy OB đi qua trung điểm CD .
Bổ đề 2: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông
góc với dây ấy.
C

A

B

O
D

Chứng minh:
Xét tam giác COD cân tại O ( OC = OD ) và OB là đường trung tuyến nên OB là đường trung trực
của đoạn thẳng CD , do đó OB vuông góc CD .
Chú ý: Khi dùng 2 bổ đề trên thì phải chứng minh vì trong sách giáo khoa không có nói đến chúng.

Trang 3

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

Bài 1. Cho đường tròn (I) có các dây cung AB, CD, EF. Cho biết AB và CD đi qua tâm I, EF không đi
qua I (Hình vẽ). Hãy so sánh độ dài AB, CD, EF.

Bài 2. Bạn Minh Hiền căng ba đoạn chỉ AB, CD, EF có độ dài lần lượt là 32 cm, 28 cm và 40 cm trên
một khung thêu hình tròn bán kính 20 cm (Hình vẽ). Trong ba dây trên, dây nào đi qua tâm của đường
tròn? Giải thích.

Bài 3. Cho đường tròn tâm O bán kính 3cm và hai dây AB và AC . Cho biết AB = 5cm AC = 2cm,
hãy tính khoảng cách từ O đến dây AB và dây AC
Bài 4. Cho đường tròn tâm ( O; R ) và một dây cung

AB . Gọi I là trung điểm của AB Tia OI cắt cung AB tại M
cm, AB 6cm . Tính độ dài dây cung MA
a)=
Cho R 5=
cm; AB 6cm . Tính bán kính R
b) Gọi N là điểm đối xứng của M qua O , giả=
sử MA 5=
Bài 5. Cho đường tròn tâm O , hai dây

AB và CD vuông góc với nhau ở M . Biết

=
AB 18
=
cm, CD 14=
cm, MC 4cm . Hãy tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây AB và CD
Bài 6. Cho nửa đường tròn ( O ) , đường kính AB và một dây cung CD . Kẻ AE và BF vuông góc với

CD lần lượt tại E và F . Chứng minh:
a) CE = DF
b) E và F đều ở ngoài ( O )

Trang 4

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 7. Quan sát hình vẽ bên dưới.

a) So sánh MN và OM + ON.
b) So sánh MN và AB.
Bài 8. Cho đường tròn ( O ) và dây CD . Từ O kẻ tia vuông góc với CD tại M , cắt ( O ) tại H . Tính
bán kính R của ( O ) =
biết: CD 16
=
cm, MH 4cm
Bài 9. Cho đường tròn ( O ) bán kính OA = 11cm. Điểm M thộc bán kính AO và cách O khoảng 7cm.
Qua M kẻ dây CD có độ dài 18cm. Tính độ dài các đoạn thẳng MC và MD
Bài 10. Cho đường tròn ( O; R ) có hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I . Giả sử
=
IA 2=
cm, IB 4cm. Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây

MC 4=
cm, MD 12cm .
=
Bài 11. Cho đường tròn tâm O , đường kính AB . Dây CD cắt AB tại M , biết
 = 300 . Hãy tính :
BMD
a) Khoảng cách từ O đến CD
b) Bán kính của ( O )
 < 900 và O nằm trong góc BAC .
Bài 12. Cho đường tròn ( O ) có các=
dây AB 24
=
cm, AC 20cm, BAC

Gọi M là trung điểm của AC . Khoảng cách từ điểm M đến AB bằng 8cm
a) Chứng minh tam giác ABC cân
b) Tính bán kính của ( O )
Bài 13. Cho đường tròn tâm ( O; R ) , A và B di động trên đường tròn ( O ) thỏa mãn 
AOB = 1200 . Vẽ

OH ⊥ AB =
H
a) Chứng minh H là trung điểm của AB
b) Tính OH , AB và SOAB theo R
c) Tia OH cắt đường tròn ( O; R ) tại C . Tứ giác OABC là hình gì? Vì sao
Bài 14. Cho tam giác ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn ( O ) đường kính AD
Trang 5

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

a) Chứng minh BHCD là hình bình hành

Kết nối trí thức với cuộc sống

b) Kẻ đường kính OI vuông góc BC tại I . Chứng minh I , H , D thẳng hàng
c) Chứng minh AH = 2OI
Bài 15. Cho đường tròn ( O ) đường kính AB , dây CD cắt AB tại I . Gọi H , K theo thứ tự là chân
đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD . Chứng minh rằng: CH = DK
Bài 16. Cho tam giác ABC ( AB < AC ) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại trực tâm H . Lấy I là
trung điểm của BC
a) Gọi K là điểm đối xứng của H qua I . Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành
b) Xác định tâm O của đường tròn qua các điểm A, B, K , C
c) Chứng minh: OI / / CH
d) Chứng minh rằng: BE.BA + CD.CA =
BC 2
Bài 17. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Trên đoạn thẳng OA lấy điểm C và trên đoạn
thẳng OB lấy điểm D sao cho OC = OD . Từ C và D kẻ hai tia song song cắt nửa đường tròn ở E và
F . Gọi I là trung điểm của EF . Chứng minh rằng: SCEF + S DEF =
EF .OI

Bài 18. Cho đường tròn ( O; R ) . Các điểm A, B, C , D thuộc ( O; R ) . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ
giác ABCD

Trang 6

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

CHỦ ĐỀ 2
GÓC Ở TÂM

DẠNG 1
TÍNH SỐ ĐO GÓC Ở TÂM VÀ SỐ ĐO CUNG BỊ CHẮN

Phương pháp
• Đưa về cách tính số đo một góc của tam giác, tam giác.
• Để tính số đo của cung nhỏ, ta tính số đo của góc ở tâm tương ứng.
• Để tính số đo của cung lớn ta lấy 3600 trừ đi số đo của cung nhỏ.
• Sử dụng tỉ số lượng giác của một góc nhọn để tính góc.
 = 800 .
Bài 1. Tính số đo cung AB nhỏ trong hình vẽ dưới đây, biết rằng 
AOC = 300 và BOC
B

O

80°
30°

C
A

Bài 2. Cho đường tròn ( O; R ) . Vẽ dây AB = R 2 . Tính số đo của hai cung AB .
Bài 3. Cho đường tròn O , hai tiếp tuyến của đường tròn tại A và B cắt nhau ở M , biết 
AMB = 650 .

AMO; 
AOM .
a) Tính số đo 
b) Tính số đo góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA, OB .
c)Tính số đo cung nhỏ AB và số đo cung lớn AB .

AB của ( O ) , cho hai điểm C và D sao cho cung 
AB được chia thành ba cung
Bài 4. Trên cung nhỏ 

 ). Bán kính OC và OD cắt dây AB lần lượt tại E và F .
bằng nhau ( 
AC
= CD
= DB
a) So sánh các đoạn thẳng AE và BF .
b) Chứng minh đường thẳng AB song song với đường thẳng CD .
Bài 5. Cho ( O; R ) các dây AB, CD, EF có độ dài như sau=
AB R=
, CD R 2,
=
EF R 3 . Tính số đo
các cung AB, CD, EF .
Trang 7

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 6. Cho hình vẽ sau:

a) Tính số đo cung nhỏ AB
b) Tính số đo cung nhỏ AC
c) Tính số đo cung lớn BC
Bài 7. Cho hai tiếp tuyến tại A và B cuả đường tròn (O) cắt nhau tại M , biết 
AMB = 500 . Tính số đo
cung AB nhỏ và số đo cung AB.
Bài 8. Cho đường tròn ( O; R ) . Vẽ dây AB sao cho số đo cung nhỏ AB bằng nửa số đo cung lớn AB .
Tính diện tích tam giác ABC .
Bài 9. Cho ( O; R ) và dây cung MN = R 3. Kẻ OK vuông góc với MN tại K . Tính:
a) Độ dài OK theo R .

.
 ; MON
b) Số đo các góc MOK
.
c) Số đo cung nhỏ và cung lớn MN
Bài 10. Cho đường tròn ( O; R ) , lấy điểm M nằm ngoài ( O ) sao cho OM = 2 R. Từ M kẻ tiếp tuyến

MA và MB với đường tròn ( O ) ( A và B là các tiếp điểm) .
a) Tính 
AOM .
b) Tính 
AOB và số đo cung nhỏ AB .
c) Biết đoạn thẳng OM cắt ( O ) tại C . Chứng minh C là điểm chính giữa của cung nhỏ AB .

Trang 8

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

Bài 11. Cho hình vẽ sau:

a) Tính số đo cung nhỏ BC.
b) Tính số đo cung lớn AB.
Bài 12. Cho đường tròn tâm O, đường kính BC. A là điểm trên đường tròn sao cho 
A OC = 750 .

a) Tính số đo cung lớn BC
b) So sánh hai cung nhỏ AC và AB.
Bài 13. Cho hình vẽ sau, so sánh hai cung nhỏ CD và AB.

Trang 9

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

Bài 14. Cho hình vẽ sau, với ABC là tam giác đều, O là tâm đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C. Tính số đo
các cung tạo ra trong 3 điểm A, B, C.

A BO .
Bài 15. Cho hình vẽ sau, tính số đo cung lớn AB và góc 

Bài 16. Cho hình vẽ sau, tính số đo cung nhỏ AB và cung lớn CD.

Trang 10

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

Bài 17. Cho hình vẽ sau, tính số đo cung lớn AB.

Bài 18. Cho hình vẽ sau:

a) Tính số đo cung nhỏ AB.
A DC .
b) Tính góc 
c) So sánh hai cung nhỏ AC và AD.
Bài 19. Cho đường tròn ( O ) đường kính AB , vẽ góc ở tâm 
AOC = 500 với C nằm trên ( O ) . Vẽ dây
CD vuông góc với AB và dây DE song song với AB .

.
a) Tính số đo cung nhỏ BE
 . Từ đó suy ra ba điểm C , O, E thẳng hàng.
b) Tính số đo cung CBE

Bài 20. Cho đường tròn ( O; R ) . Trên đường tròn lấy lần lượt các điểm A, B, C , D sao cho các cung

AB, BC , CD có số đo lần lượt là 600 ;900 ;1200 .
; 
ABC ; BCD
ACD .
a) Tính số đo các góc ở tâm chắn các cung ấy và số đo các cung sau 
b) Tính độ dài các dây cung AB, BC , CD theo R .

Trang 11

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

DẠNG 2
CHỨNG MINH HAI CUNG BẰNG NHAU

Phương pháp
Để chứng minh hai cung (của một đường tròn) bằng nhau ta chứng minh hai cung này có cùng một số
đo
Chú ý: Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau

Ta có: AB / / CD ⇒ 
AC =
BD
0 
0 
 100
=
MON
=
; ONP 20
=
; POQ 100 0
Bài 1. So sánh các cung nhỏ trong hình vẽ dưới đây. Biết rằng

 = 140 0 .
MOQ
Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A . Vẽ dường tròn tâm O , đường kính BC . Đường tròn ( O ) cắt AB
và AC lần lượt tại M và N .

 và CN
 có số đo bằng nhau.
a) Chứng minh các cung nhỏ BM
 , biết BAC
 = 400 .
b) Tính MON
 R 3
Bài 3. Cho hai đường tròn đồng tâm ( O; R ) và  O;
 trên đường tròn nhỏ lấy một điểm M . Tiếp
2 


tuyến tại M của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại A và B . Tia OM cắt đường tròn lớn tại C .
 = CB
.
a) Chứng minh rằng: CA

b) Tính số đo hai cung AB .
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 4. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và C là điểm chính giữa của nửa đường tròn. Trên các
 = BN
 . Chứng minh:
cung CA và CB lần lượt lấy các điểm M và N sao cho CM
.
a) 
AM = CN



.
b) MN
= CA
= CB
Bài 5. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm C và D. Kẻ CH vuông
góc với AB tại H, CH cắt (O) tại điểm thứ hai E. Kẻ AK vuông góc với CD tại K, AK cắt (O) tại điểm
thứ hai F. Chứng minh:

 bằng nhau.
 và DB
a) Hai cung nhỏ CF
Trang 12

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

 và DE
 bằng nhau.
b) Hai cung nhỏ BF

Kết nối trí thức với cuộc sống

Bài 6. Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B. Vẽ các đường kính
AOE, AOF và BOC. Đường thẳng AF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D. Chứng minh rằng các
cung nhỏ AB, CD, CE bằng nhau.
Bài 7. Cho đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O') đường kính AO. Các điểm C, D thuộc
 . Các dây AC và AD cắt đường tròn (O') theo thứ tự tại E
 và BC
 < BD
đường tròn (O) sao cho B ∈ CD
và F. Hãy so sánh:
a) Độ dài các đoạn thẳng OE và OF.

AF của đường tròn (O') .
AE và 
b) Số đo các cung 
Bài 8. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AE. Gọi B, C, D là ba điểm trên nửa đường tròn, biết


=
AC 2=
AB; 
AD 3 
AB
.

a) Chứng minh rằng: 
AB
= BC
= CD
.
b) Chứng minh rằng: 
AC = BD
c) Chứng minh cung AD và BC có chung điểm chính giữa.
Bài 9. Cho đường tròn O, trên nửa đường tròn đường kính AB lấy hai điểm C và D. Kẻ CH ⊥ AB nó
cắt đường tròn tại E. Kẻ AK ⊥ DC nó cắt đường tròn tại F. Chứng minh rằng
 = DB
.
a) CF

 = DE
.
b) BF
Bài 10. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Qua trung điểm I của bán kính OB kẻ dây CD ⊥ AB . Kẻ
dây CE song song với AB. Chứng minh rằng:

.
a) 
AE
= BC
= BD

b) E, O, D thẳng hàng.
c) ADBE là hình chữ nhật .

Trang 13

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

BÀI 2
CUNG VÀ DÂY CỦA MỘT ĐƯỜNG TRÒN

1. Dây và đường kính của đường tròn
• Đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt thuộc đường tròn được gọi là dây (hay dây cung) của đường
tròn.
• Dây đi qua tâm là đường kính của đường tròn.

Định lí: Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất.
2. Góc ở tâm
a. Khái niệm góc ở tâm
Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.

b. Khái niệm cung tròn

• Mỗi phần đường tròn giới hạn bởi hai điểm A, B trên đường tròn gọi là cung AB , kí hiệu là 
AB .
• Cung nằm bên trong góc ở tâm AOB được gọi là cung nhỏ, kí hiệu là 
AmB . Ta còn nói 
AmB là
cung bị chắn bởi góc AOB hay góc AOB chắn cung nhỏ AmB .
• Cung nằm bên ngoài góc ở tâm AOB gọi là cung lớn, kí hiệu là 
AnB .
c. Cách xác định số đo của một cung
• Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.
• Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn)
• Số đo của nửa đường tròn bằng 1800 .
Trang 1

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

AB
• Số đo cung AB , kí hiệu là sđ 
Nhận xét:
• Khi hai mút của cung trùng nhau ta có “cung không” với số đo 00 và cung cả đường tròn có số đo
bằng 3600 .
• Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn 1800 , cung lớn có số đo lớn hơn 1800 . Cung nửa đường tròn có số đo
bằng 1800 .
• Góc ở tâm chắn một cung mà cung đó là nửa đường tròn thì có số đo bằng 1800 .
• Trong một đường tròn (hay hai đường tròn bằng nhau), hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo
bằng nhau. Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.

• Nếu C là điểm nằm trên cung AB thì sđ 
ACB = sđ 
ACB + sđ CB

Trang 2

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

CHỦ ĐỀ 1
DÂY VÀ ĐƯỜNG KÍNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN

• Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn đó.
• Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính của đường tròn đó
Bổ đề 1: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
C

A

B

O
D

Chứng minh:
Xét tam giác COD cân tại O ( OC = OD ) và OB là đường cao nên OB là đường trung trực của
đoạn thẳng CD , do đó OB là trung tuyến vì vậy OB đi qua trung điểm CD .
Bổ đề 2: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông
góc với dây ấy.
C

A

B

O
D

Chứng minh:
Xét tam giác COD cân tại O ( OC = OD ) và OB là đường trung tuyến nên OB là đường trung trực
của đoạn thẳng CD , do đó OB vuông góc CD .
Chú ý: Khi dùng 2 bổ đề trên thì phải chứng minh vì trong sách giáo khoa không có nói đến chúng.

Trang 3

Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn – Tự luận có lời giải

Kết nối trí thức với cuộc sống

Bài 1. Cho đường tròn (I) có các dây cung AB, CD, EF. Cho biết AB và CD đi qua tâm I, EF không đi
qua I (Hình vẽ). Hãy so sánh độ dài AB, CD, EF.

Lời giải
Trong đường tròn (I), AB và CD là đường kính đi qua tâm I, EF là dây cung không đi qua I.
Do đó AB = CD và EF < AB, EF < CD.
Vậy EF < AB = CD.
Bài 2. Bạn Minh Hiền căng ba đoạn chỉ AB, CD, EF có độ dài lần lượt là 32 cm, 28 cm và 40 cm trên
một khung thêu hình tròn bán kính 20 cm (Hình vẽ). Trong ba dây trên, dây nào đi qua tâm của đường
tròn? Giải thích.

Lời giải
Gọi (O; R) là ...