B. RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
DẠNG 1: RÚT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA BIẾN
Cách giải: Cần lưu ý một số kiến thức sau
- Đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa (nếu bài toán chưa cho) trước khi rút gọn
- Kiểm tra xem giá trị của biến có phù hợp với ĐKXĐ hay không trước khi thay giá trị của biến
vào biểu thức thu gọn
- Đôi khi có thể tính
hoặc x trước khi thay vào biểu thức rút gọn
- Kết quả cuối cùng của biểu thức rút gọn phải có mẫu dương và đã được khử mẫu hoặc trục căn
thức ở mẫu.
Bài 1:
Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức
b) Tính giá trị của

khi
Lời giải

a) Ta có
Điều kiện xác định:

b) Lại có
Vậy

khi
Bài 2:

Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện của a, b để M xác định và rút gọn M
b) Tính giá trị của M khi

và
Lời giải

a) Điều kiện xác định

1

b) Ta có

c) Ta có

Vậy

khi

và
Bài 3: Chuyên Quảng Ninh, năm 2017

Cho biểu thức
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A khi
Lời giải
a) Điều kiện

Ta có
b) Ta có

Vậy

khi
Bài 4: Chuyên Thừa Thiên Huế, năm 2017

Cho biểu thức

. Tính giá trị của A khi
Lời giải

Cách 1: Chia tử cho mẫu
Cách 2: Ta có

2

Bài 5: Học sinh giỏi huyện Hằng Hóa, năm 2019 - 2020
Cho biểu thức
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của biểu thức P khi
Lời giải
a) Điều kiện

Ta có

b) Ta có

(vì
Thay

vào biểu thức thu gọn ta được
Bài 6: Học sinh giỏi huyện Quan Sơn và Thanh Xuân, năm 2019 - 2020

Cho biểu thức
a) Rút gọn A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi
Lời giải

a) Ta có

b) Ta có

3

Vậy
Bài 7: Học sinh giỏi Ba Đình, năm 2019 - 2020
Cho biểu thức
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi
Lời giải
a) Điều kiện

Ta có

b)

Thay

vào biểu thức A ta được
Bài 8: Học sinh giỏi Bắc Từ Liêm, năm 2017 - 2018

Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi
Lời giải
a) Điều kiện

Ta có

b) Với

ta có

do đó

4

mà
Vậy
Bài 9: Chuyên Bắc Ninh, năm học 2017 – 2018 (Học sinh chuyên Toán – Tin)
Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức P và Q

và

với

b) Tính tất cả các giá trị của x để
Lời giải
a) Với
b) Khi đó

ta được

và

Kết hợp với điều kiện xác định ta được

thỏa mãn điều kiện.

Bài 10:
Chuyên Bắc Ninh, năm học 2014 – 2015 (Học sinh chuyên Toán – Tin)
Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức P

với

b) Tính số chính phương x sao cho

là số nguyên
Lời giải

a) Ta có

b) Ta có

là ước của 2 gồm
.

Bài 11:
Học sinh giỏi Tỉnh Bình Phước, năm học 2018 - 2019

Cho biểu thức
5

a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P khi
Lời giải
a) Điều kiện xác định:
Đặt
Khi đó

b) Ta có

Vậy
Bài 12:
Học sinh giỏi Tỉnh Thái Bình, năm học 2018 - 2019
Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức P

, với

b) Tính giá trị của P khi

và
Lời giải

a) Ta có

Với

thì

b) Ta có
(thỏa mãn điều kiện)
Thay

vào P ta được

vậy
6

Bài 13: Chuyên Ninh Bình, năm học 2017
Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức P

, với

b) Tính giá trị của P khi
Lời giải
a) Ta có

b) Tính được
Bài 14: Chuyên Trà Vinh, năm học 2018 - 2019

Cho biểu thức
a) Rút gọn Q

với

b) Xác định giá trị của Q khi
Lời giải

a) Ta có

Vậy
b) Thay

với
(thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức Q ta được:

Bài 15: Chuyên Toán Bến Tre, năm học 2018 - 2019
Cho biểu thức

với

là hai số thực dương

a) Rút gọn biểu thức
b) Xác định giá trị của biểu thức P khi

và
7

Lời giải

a) Ta có

b)

.
Bài 16: Học sinh giỏi cấp Tỉnh Lạng Sơn, năm học 2020 - 2021

Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức

với

b) Tính giá trị của biểu thức

với
Lời giải

a) Điều kiện

Vậy

với

b) Với
(thỏa mãn)

Thay vào biểu thức
Vậy

khi

ta được
.

Bài 17: Học sinh giỏi cấp Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu, năm học 2020 - 2021
1) Rút gọn biểu thức

với
8

2) Tính giá trị của biểu thức

với
Lời giải

1) Với

.
2) Áp dụng công thức:

Bài 18: HSG Huyện Gia Lâm vòng 1, năm học 2020 - 2021
Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức
b) Tính giá trị của

khi
Lời giải

a)
Đặt
Như thế

9

b) Ta có

Vậy
b) Ta có các bđt phụ sau (rất quen thuộc nên ta không chứng minh lại)
Với ba số thực dương
(dấu bằng khi
Và
Áp dụng ta có

(dấu bằng khi

)
)

Vậy
Bài 19: HSG Hà Đông, năm học 2018 - 2019
Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức
b) Chứng minh rằng nếu biểu thức sau khi rút gọn của
cũng là số nguyên tố
b) Tính giá trị của biểu thức

biết
Lời giải

1) ĐKXĐ:

Nếu

Nếu

hoặc

thì

thì

10

là số nguyên tố và

là số nguyên thì

2) Nếu

thì

không là số nguyên tố

Nếu
nguyên tố khi là số nguyên
Vì
nên nguyên khi
thuộc ước của 2
Mà
nên
Với
thì
là số nguyên tố
Vậy P là số nguyên tố khi
cũng là số nguyên tố
3) Đặt

(do
. Thay

)

vào
Bài 20: HSG Huyện Nga Sơn, năm học 2020 - 2021

Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức
b) Tính giá trị của

với

, biết
Lời giải

a)

Với

Vậy

b)

ta có:

với

Ta có:
11

Thay

( thỏa mãn

) vào biểu thức

ta được:

khi

Vậy

Bài 21: HSG Yên Định, năm học 2020 - 2021
Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức

b) Tính giá trị của

, biết
Lời giải

a) Với

,

,

ta có:

12

.
Vậy
b) Khi

khi

,

,

.

(thỏa mãn ĐKXĐ).
Ta có
Vậy

.
.

13

DẠNG 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
A. Kiến thức cần nhớ
1. Xét bài toán:
a) Rút gọn
b) Tìm để
2. Giải bài toán
a) Rút gọn
- Đặt điều kiện để

(m là hằng số) hoặc

có nghĩa

- Thực hiện rút gọn
b) Tìm : Giải phương trình
B. Bài tập
Bài 1: Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định, năm 2015
Cho biểu thức

14

a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm các giá trị của

để
Lời giải

a) Điều kiện
Ta có
b)

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy
Bài 2: Chuyên Lào Cai, năm 2017
Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm

để
Lời giải

a) Điều kiện

và

Ta có
b)
Vậy không có giá trị nào để

(loại)
.
Bài 3:

Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm tất cả các giá trị x nguyên dương để p nhận giá trị nguyên
Lời giải

a) Ta có

15

b)

Vì

và

Để

(thỏa mãn)

Vậy
Bài 4: Chuyên Sư Phạm Hà Nội, năm 2017

Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm các giá trị của

để
Lời giải

a) Ta có

b) Ta có

(điều kiện

Vậy

)

là giá trị cần tìm.
Bài 5: Học sinh giỏi huyện Chương Mỹ vòng 2, năm học 2020

Cho
Tìm

nguyên để
Lời giải

Điều kiện
Ta có

16

;

Khi đó

Ta có :

TH1:
TH2:
TH1:

loại

TH1:

loại

Vậy với

hoặc

thì

Bài 6: Học sinh giỏi huyện Đức Cơ, năm học 2019
Cho

Tìm

sao cho

Lời giải
Ta có

Lại có

xác định khi

xác định khi

17

Ta có
Kết hợp với điều kiện ta được
Vậy
khi
Bài 7: Học sinh giỏi huyện Như Thanh, năm học 2019
Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện của để có nghĩa và rút gọn
b) Tìm x để biểu thức nhận giá trị bằng 2
c) Tính giá trị của biểu thức

tại
Lời giải

a) Điều kiện

Ta có

Vậy

với

b) Ta có
(vì

(thỏa mãn)
với mọi x)

c) Ta có

(thỏa mãn)
Thay

vào A ta được:

Bài 8: Học sinh giỏi huyện Mỹ Đức và Tỉnh Lai Châu (2018-2019), năm học 2019 - 2020
Cho
a) Rút gọn

với

18

b) Tìm các giá trị của
c) So sánh

để

và
Lời giải

a) Ta có

b) Với
Ta có
Vì
Vậy

(thỏa mãn)
khi

c) Vì
Dấu “=” xả ra khi

.

Vậy
Bài 9: HSG Tỉnh Sóc Trăng, năm học 2020 - 2021
Cho
a) Rút gọn
b) Tìm các giá trị của

để
Lời giải

a) Điều kiện xác định:

19

b) Ta có:

(thỏa mãn điều kiện)
Vậy với
thì
.

20