NGUYỄN NGỌC DŨNG - VƯƠNG PHÚ QUÝ - TIÊU KHÁNH
VĂN - BÙI TIẾN LỘC - NGUYỄN CAO ĐẲNG - NGUYỄN ANH
KHOA - NGUYỄN NGỌC THIỆN - NGUYỄN THÀNH ĐIỆP

9
TOÁN
BÀI TẬP

TẬP MỘT

C

δ
D
E
F
γ

γ
A

α

β
H

n Tóm tắt giáo khoa
n Các dạng toán thường gặp
n Phương pháp giải toán

B

n Bài tập cơ bản
n Bài tập nâng cao
n Bài tập tổng ôn

(Tài liệu lưu hành nội bộ)

Mục lục
Phần I

ĐẠI SỐ

5

Chương 1 CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
§1.
CÁC PHÉP TOÁN CĂN BẢN VỀ CĂN BẬC HAI . . . . . .
1
Tìm tập xác định của một biểu thức chứa căn bậc hai .
2
So sánh các biểu thức của căn bậc
√ hai . . . . . . . . . .
3
Các bài toán về hằng đẳng thức A2 = |A| . . . . . . .
§2.
LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI
1
Tính giá trị các biểu thức căn bậc hai (không chứa ẩn) .
2
Rút gọn các biểu thức căn bậc hai (có chứa ẩn) . . . . .
3
Chứng minh đẳng thức chứa căn bậc hai . . . . . . . . .
4
Giải phương trình chứa căn bậc hai . . . . . . . . . . .
5
Giải bất phương trình chứa căn bậc hai . . . . . . . . . .
§3.
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Bài tập cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
bài tập nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4.
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . .
1
ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
ĐÁP ÁN ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
ĐÁP ÁN ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT
§1.
NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ
§2.
HÀM SỐ BẬC NHẤT . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG .
§4.
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . .
§5.
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . .
1
ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
ĐÁP ÁN ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
ĐÁP ÁN ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Phần II
Chương
§1.
§2.
§3.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
PHƯƠNG
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

7
7
7
8
8
9
9
12
13
15
18
22
22
24
28
28
28
29
30

.
.
.
.
.
.
.
.
.

33
33
34
35
37
37
37
38
38
39

HÌNH HỌC

41

1 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG. GIẢI
TAM GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3

43
43
46
47

` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
§4.
§5.

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG . . .
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG
1
ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . .
2
ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . .
3
ĐÁP ÁN ĐỀ 1 . . . . . . .
4
ĐÁP ÁN ĐỀ 2 . . . . . . .

Chương
§1.
§2.
§3.
§4.
§5.
§6.
§7.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

Tel: 0976 071 956
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

2 ĐƯỜNG TRÒN
SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY . . . . . . . .
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN. DẤU HIỆU
NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN . . . . . . . . . . . . . . . .
TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU . . . . . . . . . . . . . . . .
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN . . . . . . . . . . . . . . . . .
ÔN TẬP CHƯƠNG II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7

51
54
54
55
55
56
57
57
58
61
63
66
69
70

Trang 4/75

Phần I
ĐẠI SỐ

5

Chương 1
CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
§1.
1

CÁC PHÉP TOÁN CĂN BẢN VỀ CĂN BẬC HAI
Tìm tập xác định của một biểu thức chứa căn bậc hai

Bài 1: Tìm các giá trị của x để cácr
biểu thức sau có nghĩa:
√
−4
a) −3x + 2
b)
−2x + 3

d) √

√

x+2+

√
3−x

2
x+4−1

Bài 2: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
p
√
a) x(x + 2)
b) −5x2 + 20
d) √

c)

c)

√

−5x2 − 3x + 8

1
x2

+ 4x + 4

Bài 3: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
a)

√

x2 + 1

d) √

b) √

−3

c)

x2 − x + 1

√

−5x2 − 3x + 8

1
x2 + 4x + 4

Bài 4: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
a)

p

|x| + 1

p
d) √

b) p

√

3x − 1

c) p

4x2 + |x| + 6

2x + 4

| − 5x2 − 3x + 8|

|x|

x2 + 4x + 4

Bài 5: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
p
p
√
√
a) x + 2 x − 1
b) 4x + 4 − 6 4x − 5

3
√
√
x2 − 4 x − 2. x + 2

c) p

Bài 6: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
  √


 √

√
√
√ 
1
1
x+1
x−3 x
x+2
x−2
2 x
√ +√
√
a)
:
b)
−1 : √
−√
−
x−

x

x−1

x−9

x−2 x+1

7

x−2

x+2

x−4

` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG

Tel: 0976 071 956

Bài 7: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
a) √
d)

1
3x − 2

√
x2 − x + 1

√
g) 3 + −x2

√

b) 2 − 1 − 4x
e)

√

c)

−x2 + 2x − 5

r
h)

f)

3
− 6x + 8

x2
√

2x2 + 1 +

2
3 − 2x

−5
x−2

Bài 8: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
a)

√
x2 − 5

−3
√
d)
1 − x2 − 3

2

1

b) √

x2

r
e)

c) p

+ 2x − 3

x−

1
x−1

f)

1
√

x − 0, 5

2
√
1− x

So sánh các biểu thức của căn bậc hai

Bài 1: So √
sánh
a) 2 và 7
d) 6 và

√

b) 7 và

√
48

c) 10 và

√

101

37

Bài 2: So sánh
√

√

a) 3 3 − 2 2 và 2

√

√

√

√

c) 4 − 2 2 và 3 − 3

b) 3 12 và 2 26

Bài 3: So sánh

√
3− 7
a)
và 0
2

√
15 − 107
b)
và 0
−22
√
x+ x+1
√
Bài 4: Cho biểu thức P =
x
√
a) Tìm x để P có nghĩa
b) So sánh P và P

c) So sánh P và |P |

Bài 5: So sánh
a)

3

√
√
√
10 + 17 + 1 và 61

b)

√

24 +

√
99 + 3 và 18

Các bài toán về hằng đẳng thức

Bài 1:pRút gọn các biểu thức sau:
√
a) (2 − 5)2
p
c) (a − 2)2 với a < 2

√

c)

√

33 −

√

17 và 6 −

√

15

A2 = |A|
p
√ √
√
6 − 2 5( 3 − 2) 6 + 2 5

b)

p

d)

1 √ 2
. a + b2 − 2ab với a > b
a−b

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
p
p
√
√
a) 6 + 2 5
b) 9 − 6 2
p
p
√
√
d) 7 − 2 6
e) 7 + 4 3
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7

√
12 + 6 3
p
√
f)
13 − 4 3

c)

p

Trang 8/75

` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:
p
√
√
√
1p
a)
12 − 8 2 + 16 − 12 2 − 4 2
2

c)

p

b)

p

Tel: 0976 071 956

√
√
√
6+2 2+2 6+2 3

√
√
√
11 + 2 10 − 4 2 − 4 5

Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
√

4x2 + 4x + 1
−1
với x >
2
4x − 1
2
√
√
c) 9x2 − 6x + 1 − 9x2 + 6x + 1 với x > 0

a)

Bài 5: Chứng minh các biểu thức sau:
p
p
√
√
√
a) 4 + 2 3 + 4 − 2 3 = 2 3
r
r
4
4
√
√
c)
−
=8
2
2
(2 −

5)

(2 +

√

b) 9 + x + 4 − 4x + x2 với x < 2

b)

p

p
√
√
6+2 5− 6−2 5=2

5)

Bài 6: Giải các phương trình sau
a)
c)

√

p

§2.
1

x2 = 1

b)

√

x+2 x−1=5

d)

√

4x2 − 4x + 1 = 3

p

√
x2 − 3x + 6 + 4 x2 − 3x + 2 = 1

LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP
KHAI PHƯƠNG
Tính giá trị các biểu thức căn bậc hai (không chứa ẩn)

Bài tập cơ bản
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)

√

√
√
1√
48 − 2 75 + 108 −
147
7

b) √

2
1√
1√
√ −
63 +
20
4
7− 5 3

r

√
√
√
5
3 − 4 0, 5 + 2 2 − 64 0, 125
9
r
√
√
1
3−3
+ √
e) 27 − 6
3
3
r
√
1 √
7+ 7
√
g) 42
− 112 +
7
1+ 7

c) 12

i)

√
√

√
√
44 + 11 11
√

k) 3 27 − 98 − 7

√

d)

√

√

2

10

+

√

2+

6
√

10

√

√

f) 2 3 − 3 27 + 4 48 − 2 75
√

√

√

√

√

h) 2 28 + 2 63 − 3 175 + 112 − 20
j)

3−

2−

6
√

l)

√

r
24 − 6

√
1 3 2
− √
6
3

4
8
15
√ −
√ +√
3+ 5 1+ 5
5

Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7

Trang 9/75

` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
Tel: 0976 071 956

√
√
√  
√ 
3 2−2 3
10
3+ 3
3− 3
√ −
√
m) √
n) 2 + √
. 2− √
3− 2
1+ 6
3+1
3−1
√
√
1
1
6+3 3
1
3
√ −
√
√ −
√
o)
p) √
+
3+ 8 3−2 2
3+2
1− 3 1+ 3

√
√
√ 2
√
−3
5
1
6
5− 7
3 5−5 3
√ −
√ +√
√
q)
+
r) √ − 10 − √
2
5+2 7 3+ 7
7−2
15
3− 5
√
√
27 − 3 2
12
6
√ +
√ +√
s) √
3− 2
3+ 3
3

u)
w)
y)

q √
q √
√

3+1


2

−


2

3−2

3−

q

√
2
1− 3

q

√
2
1+ 3

+

√
2 √
2 + 24

Bài 2. Tính giá trị các biểu thức sau:
p
p
√
√
a) 11 − 6 2 − 11 + 6 2
c)
e)

√
p
√
2+ 7
11 − 4 7
√
5−2 6−

q √

p

√
2
2−5 3

p
√ p
√
√
g) 2 8 + 3 7 − 11 − 4 7
1
1
i) p
−p
√
√
7 − 24 + 1
7 + 24 − 1
√
10 − 4 6 p√
p√
6+2
.
6−2

r
√
√
2
3 3−2 2
4
√ +3
√
t) √
+
3 2− 6
3− 2
v)
x)
z)

b)
d)

s

1
m)
5

o)

q)

s
√
√ !2 r
11 − 2 10
11 + 2 10
8
√
√
+
−
5
10 − 1
10 + 1

√
√ !
√
3
2− 3
p
: 3
√ −p
√
7−4 3
7+4 3
2+

√

35 + 5


p

2
√ +
s)
3− 5

r

6−

√

35

2
√
7+3 5

√
2
4 − 15 +

q

q

√
2
3−2 2 −

q √

3−

√
2
15

2+5


2

√ p
√
4
2 7+3 5− √
5−1

q

2−

√
2 p
√
5 + 14 − 6 5

3+

√
2 p
√
2 + 6−4 2

q

p√
√ p
√
f) 2 3 − 5 −
20 + 6
h)

√

r
96 − 6

p
√
3
2
√ − 10 − 4 6
+
3 3+ 6

√
9 − 4 5 p√
p√
.
5+2
5−2

p
j)

√

s

p
k)

q

l)

√
2 r
√
2− 3
7
−
+2 3
2
2

p
√
√
√

5 + 2 6 + 8 − 2 15
p
. 7 − 2 10
√
7 − 2 10

p
n)

√ √
√
√
5.( 10 + 2)(3 − 5)

p)

p

3+

r)

p

√
13 − 4 3 −
√

t) p

2

3−

Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7

r

r
√ +
5

2
√
2+ 3

√
3− 5
2
Trang 10/75

` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
Tel: 0976 071 956
r
√
√
r
2
2
1
2+ 3
2− 3
√ −5
p
p
u) √
+
v) √
√ +√
√
5
5+1
3− 5
2+ 2+ 3
2− 2− 3
√
√
p√
p √
p√
3+ 5
3− 5
p
p
x)
2
−
1
+
2
+
1
−
2 2+2
w) √
+
√
√
√
2+ 3+ 5
2− 3− 5
p

√
√
√
√ 
√
14
3 − 5.(3 + 5)
12 + 30 p
√
√
√
y)
z) √ + √
. 5 − 21
10 + 2
14
2+ 5

Bài 3. Tính giá trị các biểu thức sau:
p
p
√
√

p
√
√
4 + 15 + 5 − 21
47 + 21 5
47 − 21 5
√
√
p
a)
+1
b)
−
√
5+2
5−2
6 + 35
p
p
p
√ p
√
√ p
√
√
√
√
c) (2− 3) 26 + 15 3−(2+ 3) 26 − 15 3 d) 16 + 4 15 − 8 − 4 3 − 3 − 5
√

e)

3+ 2
√
−
2 2−1

s
g)

s

√
1+ 2
√
2−1

s √

5+2
√
+
5 5 + 11

√
2 3−3
√
.(2 + 3)
2 3+3

f)

√
√
√
3
√
√ .(3 2 + 14)
8 3 + 3 21

s √
i)

p

s √

√
3 5−1 √
√
.( 2 + 10)
2 5+3

h)

s √

s√

5−2
√
5+1

j)

3 3−4
√
−
2 3+1

s√

3+4
√
5−2 3

Bài tập nâng cao
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
p√
p√
p √
a)
2−1+
2+1− 2 2+2
p√
p√
√
√
7−

b)
p

√

7+

5+

√
2 + 3.

q

d)

p

√
2 + 2.

q

e)

p

3

7−2

p

11 −
p
√
11 + 2 29

11 +

c)

3−

p√

√

5

−

2+

p

√

3+

p

√

2+
7+

p

√
3−2 2

r
3.

q
2+

r
2.

2+

q
3+

6+

√
2 + 3.

r

p

√
7 + 2.

r

p

2+

p

√

6+

p

√

q
2−

2+

q
3−

7+

3
2

Hướng dẫn:
a)

p√

2−1+

c) Đặt A =
Tính A2 .

p√

p√

2+1−

7−

√ p√
2
2+1

p√
√
√
3−
7 + 3.

b) Đặt A =
Tính A2 .

p√

7−

√

3−

p√

7+

√
3.

d) Thực hiện phép nhân từ phải sang trái.

e) Thực hiện phép nhân từ phải sang trái.

Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7

Trang 11/75

` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG

2

Tel: 0976 071 956

Rút gọn các biểu thức căn bậc hai (có chứa ẩn)

Bài tập cơ bản
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
√
√
√
x−1
x+2
5 x+4
√
a)
+√
−√
với x > 0 và x 6= 1.
x+ x−2
x+2
x−1
√
√
15 x − 11
3 x−2
3
√
√ −√
b)
+
với x > 0 và x 6= 1.
x+2 x−3
1− x
x+3

 √
√
x x
1
x−1
√
√
c)
+
với x > 0.
:
x+1
x x+x+ x+1 x+1


d)

1
1
√
−√
x−2
x


√
x−1
x+2
√
−√
x−2
x+1

 √
:

 √

x
2
1
√ +√
+
x−4 2− x
x+2

e)

 √

2
3
x
√
+√
+
x−9
x+3 3− x

f)

 
:

 
:

với x > 0 và x 6= 4.

√
10 − x
x−2+ √
x+2



√
12 − x
x−3+ √
x+3




√
x−1
x x−1 x x+1
√ −
√
√
.
x− x
x+ x
2 (x − 2 x + 1)

với x > 0 và x 6= 4.
với x > 0 và x 6= 9.

 √
g)

1
h) √
.
2 ( x − 1)
√


i)

x
1− √
x+1


j)

k)



với x > 0 và x 6= 1.


√
√
x2 − 8 x
x− x−1
√
√
+1 −
x+2 x+4
2 x

với x > 0 và x 6= 1.

 √
:


√
√
x+3
x+2
x+2
√
√
+
−√
với x > 0 và x 6= 4; x 6= 9.
x−2 x−5 x+6
x−3

 
√ 2
√
1−x x √
1− x
√ + x .
1−x
1− x

với x > 0 và x 6= 1.

√
2 

√
6x + 4
3x
1 + 3 3x3 √
√
√
√
−
.
− 3x
3x + 1
3 3x3 3x + 2 3x + 4





2
l) 
3



4
3

với x > 0 và x 6= .

1
1
 2017
 √
2 +
 √
2  . x + 1 với x > 0.
2 x+1
2 x−1 
√
√
1+
1+
3
3
 √

√
√
√

b
a
√ −√
m)
. a b − b a với a > 0, b > 0, a 6= b.
a − ab
ab − b



√
√ 
√ 2
√
a a+b b b a−a b
a + b + ab
√ + √
√
√
√
√
a+ b
a− b
a a−b b

 √
n)

với a > 0, b > 0 và a 6= b.

Bài tập nâng cao
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7

Trang 12/75

` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
Tel: 0976 071 956
√



√
2x + 1
x
1 + x3 √
√
√ − x
Bài 1. Cho biểu thức A = √
−
1+ x
x3 − 1 x + x + 1

a) Tìm điều kiện có nghĩa của A.
b) Rút gọn A.
c) Tìm x để A = 3.
d) Tìm x để A có giá trị nhỏ nhất.
 √
x
2
Bài 2. Cho biểu thức A =
+√

3
√
+
x+3 3− x

x−9

 
:

√
12 − x
x−3+ √
x+3



a) Tìm điều kiện xác định của A và rút gọn A.
b) Tìm x ∈ Z để A có giá trị nguyên.
√
√
x+2
8 x + 19
1
√
√ .
+
+
Bài 3. Cho biểu thức M = √
x+3 x+ x−6 2− x

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức M .
c) Tìm x để M > 3.
r √

x x−1 √
√
+ x với x > 1
x−1
9
Với giá trị nào của x thì biểu thức B = A + có giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó.
A
√
2x − 3 x − 2
√
Bài 5. Cho biểu thức A =
với x > 0 và x 6= 4.
x−2

Bài 4. Cho biểu thức sau: A =

a) Tìm các giá trị của x để giá trị của A 6 5.
b) Tìm các giá trị của x để

3

2
nhận giá trị nguyên.
A

Chứng minh đẳng thức chứa căn bậc hai

Bài tập cơ bản
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau

2
√
√
a) 9 + 4 5 = 5 + 2
√
√
2
c) 11 + 6 2 = 3 + 2

 √

√
√ 
3 2+ 6
54
2
√
e)
−
. √ = −1
3
12 + 2
6
√
√
√
2+ 3
2− 3
p
p
g) √
√ +√
√ = 2
2+ 2+ 3
2− 2+ 3

√
√
23 + 8 7 − 7 = 4

√ 
√
√
√

3+2 3 2+2 2
d) √
+ √
:
2+ 3 =1
3+2
2+1

√ 2 
√ 2
√
5+2 6
5−2 6
√
√
f) √
− √
=4 6
3+ 2
3− 2
√
√
p
√
6
2
h) 2 + 3 =
+
2
2

b)

p

Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7

Trang 13/75

` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG

Tel: 0976 071 956

Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau
r
r
√
√

√
a2 − b
a − a2 − b p
+
= a+ b
2
2
r
r
√
√
√
a + a2 − b
a − a2 − b p
b)
−
= a− b
2
2

√  
√ 
a− a
a+ a
√
c) 2 + √
. 2−
= 4 − a với a > 0, a 6= 1
a−1
1+ a

 √
√
x x−y y √
√
√
2
√
d)
x + y = 1 với (x > 0, y > 0, x 6= y)
√ + xy :
x− y
a+

a)

√

e) √

a2

+ x2

+

√

a2

√

− x2

r
−

a4
a2
−
1
=
với |a| > |x|
x4
x2

a2 + x 2 − a2 − x 2
√
a + b − 2 ab
1
√
√
f)
:√
= a − b với a > 0, b > 0 và a 6= b
√
a− b
a+ b=

g)

√

n+1−

p
√
2 p
n = (2n + 1)2 − (2n + 1)2 − 1 với n ∈ N

Bài tập nâng cao
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau

 

p
p

 

2
2
2
2
a) |x + y| + |x − y| = x + x − y  + x − x − y  với |x| ≥ |y|

b)

c)

HD: Bình phương hai vế.
p√
√
√
√
3

2+

3

20 −

3

3

25 = 3

√
3

5−

4

HD: Nhận xét 2 vế không âm sau đó bình phương.
p
p
√
√
√
3−

5−

3+

5=− 2

HD: Đánh giá âm dương, bình phương hai vế hoặc nhân hai vế với

√

2.

√
√
4−2 3 p
3
d) √
= 6 3 − 10
3−1

HD: Rút gọn vế trái sau đó lập phương hai vế.
p
p
√
√
3
3
2+ 5+ p
2 − 5 = 1p
e)
√
√
3
3
HD: Đặt x = 2 + 5 + 2 − 5. Đưa về phương trình bậc 3 theo x rồi giải phương
trình.
p
p
√
√
3
3
f)
9+4 5+ 9−4 5=3
HD: Tương tự câu trên.
r
r
r
p
√
1
2
4
3
3
g)
2−1= 3 − 3 + 3
9

9

9

HD: Lập phương hai vế. Rút nhân tử chung cho vế phải rồi nhân liên hiệp.

Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7

Trang 14/75

` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG

4

Tel: 0976 071 956

Giải phương trình chứa căn bậc hai

Bài tập cơ bản
Bài 1. Giải phương trình:
a)
c)

√
√

x2 + 9 = 5

b)

x2 − x − 2 =

√

x−2

d)

√

x−1+1=x
√
g) x + 3 + 2 − x = 5
√
√
i) x + 1 = 8 − 3x + 1
√
√
k) 3x + 7 − x + 1 = 2
√
m) x2 + 6x + 9 = |2x − 1|
√
√
√
o) x + x − 5 = 5
√
√
q) 17 + x − 17 − x = 2
√
√
√
s) x + 10 − 3 − 4x = 2 x + 2
√
u) x2 − 6x + 6 = 2x − 1

e)

√

f)
h)
j)
l)
n)
p)
r)
t)

√

4x2 − 20x + 25 = 1
√
√
x2 − 9 = 3 − x
√
25x2 − 30x + 9 = x + 7
√
√
2x + 5 + 8 − 2x = 5
√
3x2 − 9x + 1 = x − 2
√
√
x2 − 2x − 4 = 2 − x
√
x2 + x + 1 = 3 − x
√
x2 + 10x − 5 = 2 (x − 1)
√
√
√
5x − 1 − 3x − 2 − x − 1 = 0
√
√
x2 − 2x − 8 = 3 (x − 4)

Bài tập nâng cao
Bài 1. Giải phương trình:
√

e)

x2 − x +

√

x2 + x − 2 = 0
r
√
√
x−2+1
9x − 18
c) 25x − 50 +
=8
2
16

a)

p

√
x+6−6 x−3=1

p
√
√
x+2 x−1+ x−2 x−1=2
p
p
√
√
i) 3 + x + 2 x − 1 = 2 x + 4 x − 4
√
k) x2 + 2x = −2x2 − 4x + 3
g)

p

m) −x2 + 2x + 4

p

(3 − x) (x + 1) = 9
√
√
o) x2 − 3x + 3 + x2 − 3x + 6 = 3
√
q) x2 + x2 + 11 = 31
√
√
√
s) 3 − x + x − 1 − 4 4x − x2 − 3 = −2

√
x2 + 4x + 4 = 3

b)

p

(x − 1)2 +

d)

p

√
x−1+2 x−2=2

1
1
√
√
+
= −2
x + 1 + x2 x − 1 + x2
p
p
√
√
√
h) 2x + 4x − 1 + 2x − 4x − 1 = 6
√
j) x2 + 3x + 12 = x2 + 3x

f)

l)
n)
p)
r)
t)

p

(x + 1) (x + 2) = x2 + 3x − 4
√
(x + 5) (2 − x) = 3 x2 + 3x
√
√
3 − x + x 2 − 2 + x − x2 = 1
p
√
√
x + 1 + 3 − x − (x + 1) (3 − x) = 2
p
√
√
x + 1 + 8 − x + (x + 1) (8 − x) = 3

√
√
√
√
√
2√
x − x2 = x + 1 − x
v) x − 2 + x + 2 = 2 x2 − 4 + 2x + 2
3
p
√
√
√
√
w) x + 1 + 4 − x − (x + 1) (4 − x) = 5 x) x + 4 − x2 = 2 + 3x 4 − x2
√
√
√
√
√
√
y) 3x − 2+ x − 1 = 4x−9+2 3x2 − 5x + 2 z) 2x + 3+ x + 1 = 3x+2 2x2 + 5x + 3−
16

u) 1 +

Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7

Trang 15/75

` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG

a)

√
√
2 − x + x2 + x − 2 = 0
x
√
2
√x − x = 0
⇔
x2 + x − 2 = 0

Hướng dẫn:
p
√
b) (x
− 1)2 + x2 + 4x + 4 = 3
p
p

⇔ (x − 1)2 + (x + 2)2 = 3
⇔ |x − 1| + |x + 2| = 3

r
√
x−2+1
9x − 18
=8
16
√ 2
√
√
x−2+1
⇔5 x−2+
=6 x−2
2
√
Đặt t = x − 2 ≥ 0

√
c) 25x − 50 +

e)

√
x+6−6 x−3=1

p

d)

f)

Tương tự câu trên.

g)

p

p
√
√
x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = 2 (∗)

h)

ĐKXĐ: x ≥ 1
Bình phương hai vế ta ta được phương
trình:
p
p
x2 − 4(x − 1) = 2−x ⇔

p
√
i) 3 + x + 2 x − 1 = 2 x + 4 x − 4 (∗)
ĐKXĐ: x ≥ 4
√

√

(∗) ⇔ 3 +  x − 1 + 1 = 2  x − 4 + 2
k)

√
xq− 1 + 2 x − 2 = 2

2
√
⇔
x−2+1 =2
√

⇔  x − 2 + 1 = 2

p

1
1
√
√
+
= −2 (∗)
x + 1 + x 2 x − 1 + x2
ĐKXĐ: x ∈√R.
√
(∗) ⇔ −x + 1 + x2 − x − 1 + x2 = −2

p

2x +

p
√
√
√
4x − 1 + 2x − 4x − 1 = 6

Tương tự bài g). Đáp số: x = 1

(x − 2)2 = 2−x

.
Đáp số: S = [1; 2]
p
√

⇔

Tel: 0976 071 956

j)

√

x2 + 3x + 12 = x2 + 3x
√
Đặt t = x2 + 3x + 12

√
√
x−1=2 x−4

√
x2 + 2x = −2x2 − 4x + 3
√
Đặt t = x2 + 2x

l)

p

(x + 1) (x + 2) = x2 + 3x − 4
p
√
Đặt t = (x + 1) (x + 2) = x2 + 3x + 2

p
√
m) −x2 + 2x + 4 (3 − x) (x + 1) = 9
n) (x + 5) (2 − x) = 3 x2 + 3x
√
p
√
Đặt t = x2 + 3x
Đặt t = (3 − x) (x + 1) = −x2 + 2x + 3
o)

√
√
√
√
x2 − 3x + 3 + x2 − 3x + 6 = 3
p) 3 − x + x2 − 2 + x − x2 = 1
√
√
√
√
Đặt t = x2 − 3x + 3 hoặc t = x2 − 3x + 6 Đặt t = 3 − x + x2 hoặc t = 2 + x − x2
√

q) x2 + x2 + 11 = 31
√

r)

Đặt t = x2 + 11 hoặc bình phương hai
vế đưa về phương trình trùng phương.
s)

√
√
√
3 − x + x − 1 − 4 4x − x2 − 3 = −2
√
√
Đặt t = 3 − x + x − 1
√
⇔ t2 = 2 + 2 4x − x2 − 3

√

p
√
x + 1 + 3 − x − (x + 1) (3 − x) = 2
√
√
Đặt t = x + 1 + 3 − x
⇔ t2 = 4 + 2

t)

p

(x + 1) (3 − x)

√

p
√
x + 1 + 8 − x + (x + 1) (8 − x) = 3
√
√
Đặt t = x + 1 + 8 − x
⇔ t2 = 9 + 2

Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7

p

(x + 1) (8 − x)
Trang 16/75

` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
Tel: 0976 071 956
√
√
√
√
√
2√
x − x2 = x + 1 − x
u) 1 +
v) x − 2 + x + 2 = 2 x2 − 4 + 2x + 2
3
√
√
√
√
Đặt t = x − 2 + x + 2
Đặt t = x + 1 − x
√
√
⇔ t2 = 2 x2 − 4 + 2x
⇔ t 2 = 1 + 2 x − x2
p
√
√
√
√
w) x + 1 + 4 − x − (x + 1) (4 − x) = 5 x) x + 4 − x2 = 2 + 3x 4 − x2
√
√
√
Đặt t = x + 4 − x2
Đặt t = x + 1 + 4 − x
√
p
⇔ t2 = 4 + 2x 4 − x2
⇔ t2 = 5 + 2 (x + 1) (4 − x)
√
√
√
√
√
√
y) 3x − 2+ x − 1 = 4x−9+2 3x2 − 5x + 2 z) 2x + 3+ x + 1 = 3x+2 2x2 + 5x + 3−
√
√
16
Đặt t = 3x − 2 + x − 1
√
√
√
Đặt
t = 2x + 3 + x + 1
2
√
⇔ t = 4x − 3 + 2 3x2 − 5x + 2
⇔ t2 = 3x + 4 + 2 2x2 + 5x + 3

Bài 2. Giải phương trình:
√

a) 2 (1 − x) x2 + 2x − 1 = x2 − 2x − 1
√

c) 5x2 − 6x + 1 = (x + 1) x2 + 3x − 1
p
p
√
√
√
e) x + 2x − 1 + x − 2x − 1 = 2
p
p
√
√
g) x − 1 + 2 x − 2− x − 1 − 2 x − 2 =

√

b) x2 + 3x + 1 = (x + 3) x2 + 1
√

d) 2x2 + 8x − 4 = (x + 7) x2 + 2x
p
p
√
√
x+3
f)
x+2 x−1+ x−2 x−1=
2
p
p
√
√
h) x + 2 x − 1 − x − 2 x − 1 = 2

1

Hướng dẫn:
√

a) 2 (1 − x) x2 + 2x − 1 = x2 − 2x − 1
Đặt t =
trình:

√

√

b) x2 + 3x + 1 = (x + 3) x2 + 1

x2 + 2x − 1, ta được phương

√

Đặt t =

x2 + 1, ta được phương trình:

t2 − (x + 3)t + 3x = 0 (∗)

t2 − 2 (1 − x) t − 4x = 0 (∗)

có ∆ = (x − 3)2 ≥ 0 nên (∗) có hai nghiệm:

√

có ∆0 = (x + 1)2 ≥ 0 nên (∗) có hai
nghiệm:

√

2
√x + 2x − 1 = 2
x2 + 2x − 1 = −2x
√
c) 5x2 − 6x + 1 = (x + 1) x2 + 3x − 1
√
Đặt t = x2 + 3x − 1, ta được phương

t=3
⇒
t=x

2
√x + 1 = 3
x2 + 1 = x

t=2
⇒
t = −2x

√

d) 2x2 + 8x − 4 = (x + 7) x2 + 2x
Đặt t =
trình:

trình:
t2 + (x + 1) t − 6x2 + 3x = 0

e)

g)

p

x+

√

2x − 1 +

p

x−

√
√
2x − 1 = 2

Bình phương hai vế và rút gọn ta được
phương trình: |x − 1| = 1 − x
p
p
√
√
x − 1 + 2 x − 2−

1

x−1−2 x−2=

√
 √

⇔  x − 2 + 1 −  x − 2 − 1 = 1

√
x2 + 3x − 1, ta được phương

2t2 − (x + 7) t + 4x − 4 = 0

p
√
√
x+3
x+2 x−1+ x−2 x−1=
2
√
 √
 x+3
⇔  x − 1 + 1 +  x − 1 − 1 =
2
p
p
√
√
h) x + 2 x − 1 − x − 2 x − 1 = 2
√
 √

⇔  x − 1 + 1 −  x − 1 − 1 = 2

f)

p

Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7

Trang 17/75

` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG

Tel: 0976 071 956

Bài 3. Giải phương trình:
p
p
√
√
x+5
a) x + 2 + 2 x + 1 + x + 2 − 2 x + 1 =
2

p
√
√
x−1+2 x−2+ 7+x+6 x−2=6
√
√
c) 3x2 − 18x + 28 + 4x2 − 24x + 45 = −5 − x2 + 6x
√
√
d) 4x2 + 4x + 5 + 8x2 + 8x + 11 = 4 − 4x2 − 4x
b)

p

Hướng dẫn:
p
√
√
x+5
x+2+2 x+1+ x+2−2 x+1=
2
 √
 x+5
√
⇔  x + 1 + 1 +  x + 1 − 1 =
2
p
p
√
√
b) x − 1 + 2 x − 2 + 7 + x + 6 x − 2 = 6
√
 √

⇔  x − 2 + 1 +  x − 2 + 3 = 6
√
√
c) 3x2 − 18x + 28 + 4x2 − 24x + 45 = −5 − x2 + 6x
√
√
⇔ 3x2 − 18x + 28 − 1 + 4x2 − 24x + 45 − 3 + x2 − 6x + 9 = 0
a)

p

3 (x − 3)2

4 (x − 3)2
+√
+ (x − 3)2 = 0
3x2 − 18x + 28 + 1
4x2 − 24x + 45 + 3


4
3
2
+√
+1 =0
⇔ (x − 3) √
3x2 − 18x + 28 + 1
4x2 − 24x + 45 + 3
√
√
d) 4x2 + 4x + 5 + 8x2 + 8x + 11 = 4 − 4x2 − 4x (∗)
⇔√

Tương tự câu trên:
(∗) ⇔

√

Đáp số: x = −

5




4x2 + 4x + 5 − 2 +





√
8x2 + 8x + 11 − 3 + 4x2 + 4x + 1 = 0

1
2

Giải bất phương trình chứa căn bậc hai

Bài tập cơ bản
Bài 1: Giải bất phương trình:
√
√
3x + 1 > 2x − 3
√
c) x2 − x − 1 < 1 − x

a)

e)

p

4−

√

1−x>

√

2−x

√
x2 − x − 12 < 7 − x
√
i) x2 − 3x − 10 ≥ x − 2
√
k) 1 − x + 2x2 − 3x − 5 < 0

g)

b)
d)
f)
h)

√
√
√
√

x2 − 4x + 3 <

√

2x2 − 10x + 11

x2 + x − 6 < x − 1
2x − 1 > 2x − 3
21 − 4x − x2 < x + 3

√

3x2 + 13x + 4 + 2 − x ≥ 0
√
√
l) 2x + 3 + x + 2 ≤ 1

j)

Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7

Trang 18/75

` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
Tel: 0976 071 956
√
√
√
√
m) 3 −x2 + x + 6 + 2 (2x − 1) > 0
n) x + 3 − 7 − x > 2x − 8

o)
q)

p
√

2x +

√

x2 + 1 > x + 1

p)

r

2−x>

r

√
11 − x − x − 1 > 2

1 1
s) − >
x 2

√

r)

√
√
7 − x − −2x − 3

1
1 1
3
− < −
2
x
4
x 2

4
3
−
2
x
4

Bài 2: Giải bất phương trình:
a)
c)
e)
g)
i)

√
√
√
√
√

3−x−

√
1
x+1>
2

b)

x2 − 4x − 12 ≤ x − 4

x2 − 5x − 14 ≥ 2x − 1
+ 6x − 5 > 8 − 2x

√

j)

x2 − 3x + 2 > 2x − 5
√
√
√
m) 3x + 4 + x − 3 ≤ 4x + 9
√
√
√
o) 5x − 1 − 3x − 2 − x − 1 > 0

k)

x+3<1−x

√

x2 − 3x − 10 < x − 2
√
f) x − 3 x + 1 + 3 > 0
√
h) x2 − 4x − 12 > 2x + 3

d)

x2 − 16 ≥ 2x − 7

−x2

√

q

√
x−2> x−3
√
√
√
n) x + 3 ≥ 2x − 8 + 7 − x
√
√
√
p) x + 2 − 3 − x ≥ 5 − 2x

l)

√

2

(x2 − x) > x − 2

x−1−

√

Bài tập nâng cao
Bài 3: Giải bất phương trình:
√

a) x 1 − x2 ≤ 0

b) √

4
√
<2
2−x− 2+x

√

x2 − 16 √
5
√
+ x−3> √
d)
x−3
x−3
√
e) (x − 3) x2 − 4 > x2 − 9
f)
√
√
√
g) x2 + 3x + 2 + x2 + 6x + 5 ≥ 2x2 + 9x + 7
√
√
√
h) x2 − 3x + 2 + x2 − 4x + 3 ≥ 2 x2 − 5x + 4
√
2 − x + 4x − 4
i)
≥2
j)
x
√
2x − 4
k) √
>1
l)
2
x − 3x − 10
√
8 − 2x − x2
m)
>1
n)
x+2

c)

o) √

1
2x2 + 3x − 5

>

1
2x − 1

p)

p
√

|1 − 4x| ≥ 2x + 1

√
√
x2 − 4x + 3− 2x2 − 7x + 5 ≥ − x − 1

√

x+5
<1
1−x
√
51 − 2x − x2
<1
1−x
√
1 − 1 − 4x2
<3
x
√

x+

Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7

√
√
√
x+9≥ x+1+ x+4
Trang 19/75

` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG

Tel: 0976 071 956

Hướng dẫn:
√

a) x 1 − x2 ≤ 0 (∗)

4
√
< 2 (∗)
2−x− 2+x

b) √


ĐKXĐ: −1 ≤ x ≤ 1 (∗) ⇔

x
ò 0
1 − x2 ≥ 0

ĐKXĐ: −2 ≤ x ≤ 2 và x 6= 0
(∗) ⇔

√

2−x>

√

2+x+2

√

x2 − 16 √
5
√
+ x−3> √
x−3
x−3
ĐKXĐ: x ≥ 4
√
Nhân hai
√ vế cho x − 3 ta được phương
trình: x2 − 16 > 8 − x
√
e) (x − 3) x2 − 4 > x2 − 9

c)


AB > 0 ⇔

A>0
hoặc
B>0



d)

p

|1 − 4x| ≥ 2x + 1

|A| ≥ B ⇔ A ≥ B hoặc A ≤ −B

f)

√

√
√
x2 − 4x + 3− 2x2 − 7x + 5 ≥ − x − 1(∗)

ĐKXĐ: x ≥ 3
p
p
(∗) ⇔ (x − 1) (x − 3)− (x − 1) (2x − 5) ≥
p

A<0
B<0

−

(x − 1)
√
√
⇔ x − 3 − 2x − 5 ≥ −1
√
(Do x − 1 > 0, ∀x ≥ 3)

g)

√
√
√
x2 + 3x + 2 + x2 + 6x + 5 ≥ 2x2 + 9x + 7

ĐKXĐ: x ≥ −1 hoặc x ≤ −5
p
p
⇔

(x + 1) (x + 2) +

(x + 1) (x + 5) ≥

p

(x + 1) (2x + 7)

Trường hợp 1: x = −1 là nghiệm của bất phương trình.
Trường hợp 2: x > −1
(∗) ⇔

√

x+2+

√
√
x + 5 ≥ 2x + 7

Trường hợp 3: x ≤ −5

√
√
√
(∗) ⇔ −x − 2 + −x − 5 ≥ −2x − 7
√
√
√
h) x2 − 3x + 2 + x2 − 4x + 3 ≥ 2 x2 − 5x + 4

Tương tự câu trên.
√

2 − x + 4x − 4
i)
≥ 2 (∗)
x
ĐKXĐ: x ≤ 2 và x 6= 0

√
x+5
j)
<1
1−x

Tương tự câu trên.

Trường hợp 1: 0 < x ≤ 2
(∗) ⇔

√

2 − x + 4x − 4 ≥ 2x

Trường hợp 2: x < 0

√
(∗) ⇔ 2 − x + 4x − 4 ≤ 2x
√
2x − 4
k) √
> 1 (∗)
x2 − 3x − 10
ĐKXĐ: x > 5
√
√
(∗) ⇔ 2x − 4 > x2 − 3x − 10

√
51 − 2x − x2
l)
<1
1−x
√
√
ĐKXĐ: 1 − 2 13 < x < 1 + 2 13 và
x 6= 1
√
Xét hai trường √
hợp: 1 − 2 13 < x < 1
và 1 < x < 1 + 2 13

Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7

Trang 20/75

` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
√
√
8 − 2x − x2
1 − 1 − 4x2
m)
>1
n)
<3
x+2
x

Tương tự câu trên.

Tương tự câu trên.
o) √

1
2x2 + 3x − 5

>

Tel: 0976 071 956

1
2x − 1

p)

√

x+

√
√
√
x+9≥ x+1+ x+4

ĐKXĐ: x > 0
Bình phương hai vế hai lần ta được bất
phương trình:
p
4x + x (x + 9) ≥ 0 (luôn đúng ∀x ≥ 0)

5
ĐKXĐ: x > 1 hoặc x < −
2
Trường hợp 1: x > 1 ⇒ 2x − 1 > 0
5
Trường hợp 2: x < − ⇒ 2x − 1 < 0
2

Bài 4: Giải bất phương trình:
a)

√

6x + 1 −

√

2x + 3 <

√

8x −

√
4x + 2

√


√

2x2 − 3x − 2 ≥ 0
√

g) x2 − x − 4 + 4 − x2 ≥
√

i) 3x2 − 2x − 25 − x2 ≤
k)

√

3x2 + 5x + 7 −

f) √

≥ 3x + 2


√

x2 − 4 ≤ 0

√
x2
− 3x − 2 ≥ 1 − x
3x − 2

x2
√
2 − 4 − x2

h)

x2
√
5 + 25 − x2

j) x + x2 + 16 ≥ √

√
3x2 + 5x + 2 > 1
√

m) 4 (x + 1)2 ≤ (2x + 10) 1 − 3 + 2x

o)

5x2 − 1

d) x2 − 4x + 3

c) (2x − 5) 2x2 − 5x + 2 ≥ 0
e) x2 − 3x

9x2 − 4

b) √


2

x2

2 > x − 4
√
1+ 1+x

√

4x + 1 −

√

3x − 2 ≤

√

l) √

x+3
5

40
x2 + 16

2x
> 2x + 2
2x + 1 − 1

2x2

2 ≥ x + 21
√
3 − 9 + 2x

n)

√

p) 9 (x + 1)2 ≤ (3x + 7) 1 − 3x + 4


2

√

q) x2 + 4x ≥ (x + 4) x2 − 2x + 4
Hướng dẫn:
a)

√
√
√
6x + 1 − 2x + 3 < 8x − 4x + 2
√
√
√
√
⇔ 6x + 1 + 4x + 2 < 8x + 2x + 3
√

p

⇔2

p

(6x + 1) (4x + 2) < 2
√

c) (2x − 5) 2x2 − 5x + 2 ≥ 0
 2
2x
 − 5x + 2 = 0

⇔
2x2 − 5x + 2 > 0
2x − 5 ≥ 0

9x2 − 4

b) √

5x2 − 1

≥ 3x + 2

⇔ (3x + 2) 3x − 2 −

√




5x2 − 4 ≥ 0

8x (2x + 3)


√
d) x2 − 4x + 3 x2 − 4 ≤ 0
 2
x −4=0


⇔
x2 − 4 > 0

Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7

x2 − 4x + 3 ≤ 0

Trang 21/75

` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG


√
e) x2 − 3x 2x2 − 3x − 2 ≥ 0
 2
2x
 − 3x − 2 = 0

⇔
2x2 − 3x − 2 > 0

Tel: 0976 071 956

√
x2
− 3x − 2 ≥ 1 − x
3x − 2


√
⇔ (x − 1) x − 2 + 3x − 2 ≥ 0

f) √

x2 − 3x ≥ 0
√

x2
√
2 − 4 − x2
√
√
⇔ x2 − x − 4 + 4 − x2 ≥ 2 + 4 − x2

g) x2 − x − 4 + 4 − x2 ≥

h)

⇔ x2 − x − 6 ≥ 0
√

x2

√
i) 3x2 − 2x − 25 − x2 ≤
5 + 25 − x2

√
⇔

k)

√

+ 16
16
40
⇔√
≥√
x2 + 16 − x
x2 + 16
√
√
⇔ 5x ≥ 3 x2 + 16 (Do x2 + 16 − x ≥ 0
suy ra từ V T ≥ V T > 0)

√
25 − x2 = 0 thì sẽ sót nghiệm.

√

2

m) 4 (x + 1) ≤ (2x + 10) 1 − 3 + 2x


2

(x + 1)2

2
√
1 + 3 + 2x

⇔ 4 (x + 1)2 ≤ 8 (x + 5)

2x
> 2x + 2
2x + 1 − 1
√
⇔ 2x + 1 + 1 > 2x + 2

l) √

2x2
n)

2 ≥ x + 21
√
3 − 9 + 2x

2
√
⇔ 3 + 9 + 2x ≥ 2x + 42

(Nhân lượng liên hợp).

Xét hai trường hợp: x+1 6= 0 và x+1 = 0
o)

x2

2 > x − 4
√
1+ 1+x
√

1− 1+x=0

2
√
⇔
1− 1+x >x−4

40

x2

5 − 25 − x√2 = 0
√
3x2 − 2x − 25 − x2 ≤ 5 − 25 − x2

√
√
3x2 + 5x + 7 − 3x2 + 5x + 2 > 1
√
Đặt t = 3x2 + 5x + 7
√
hoặc t = 3x2 + 5x + 2

√
x+3
3x − 2 ≤
5
x+3
x+3
√
⇔√
≤
5
4x + 1 + 3x − 2
4x + 1 −

j) x + x2 + 16 ≥ √

Nếu không xét riêng trường hợp :
5−

√

√

p) 9 (x + 1)2 ≤ (3x + 7) 1 − 3x + 4


2

9 (x + 1)2
⇔ 9 (x + 1) ≤ (3x + 7)

2
√
1 + 3x + 4
2

Xét hai trường hợp: x+1 6= 0 và x+1 = 0
√

q) x2 + 4x ≥ (x + 4) x2 − 2x + 4


√
⇔ (x + 4) x −

§3.
1

x2 − 2x + 4 ≥ 0

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG
Bài tập cơ bản
√

x
x+2

Bài 1: Cho biểu thức P = √

a) Tìm điều kiện xác định của P .
b) Tìm các giá trị của nguyên của x để P đạt giá trị nguyên.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7

Trang 22/75

` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
√
x+2 x+1
√
Bài 2: Cho biểu thức P =
x

Tel: 0976 071 956

a) Chứng minh rằng P > 0 với ∀x > 0, x 6= 1
b) Tính giá trị của P biết x =

2
√
2+ 3

√

Bài 3: Cho biểu thức P = a − a
a) Biết a > 1, hãy so sánh P và Q = |P |

b) Tìm a để P = 2

√
x+1
Bài 4: Cho biểu thức P = √
x−1

a) Tìm các giá trị nguyên của x để P đạt giá trị nguyên.
√
x
√
1− x+x
√
Bài 5: Cho biểu thức P =
x

b) Tìm các giá trị x để P =

a) Tìm điều kiện xác định của P .

√

b) Tính giá trị của P biết x = 7 − 4 3

c) Tìm các giá trị của x để P > x
√
√
√
2 x−9
x+3 2 x+1
√
√
Bài 6: Cho biểu thức A =
−√
−
x−5 x+6
x−2
3− x

a) Tìm điều kiện xác định của A.

b) Rút gọn A

2
√
d) Tìm x để A < 1
3− 5
√
√
2a + a
a2 + a
√
− √
+1
Bài 7: Cho biểu thức M =
a− a+1
a

c) Tính giá trị của A khi x =

a) Tìm điều kiện xác định của M .
c) Biết a > 1. Hãy so sánh M và

√
M

b) Rút gọn M .
d) Tìm a để P = 2

√
√
x
3
6 x−4
Bài 8: Cho biểu thức P = √
+√
−
x−1
x−1
x+1

a) Rút gọn P

b) Tìm x để P <

√
√
x
2 x−1
√
Bài 9: Cho biểu thức P = √
−
x−1
x− x

a) Thu gọn P .

1
2

b) Giải phương trình P = 2

c) So sánh M và 1
 √
Bài 10: Cho biểu thức P =

x
2
1
√ +√
+
x−4 2− x
x+2

a) Tìm điều kiện xác định của P .

 
:

√

10 − x
x−2+ √
x+2



b) Rút gọn P .

c) Tìm các giá trị của x để P > 0
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7

Trang 23/75

` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG

√  √
√
y − xy
x xy + y xy
√
Bài 11: Cho biểu thức P =
x+ √
: √
√
xy(y − x)
x− y

Tel: 0976 071 956

a) Tìm điều kiện xác định của P .
b) Rút gọn P .
√

√

c) Tính giá trị của P khi x = 4 + 2 3, y = 4 − 2 3
√
√
√
x+3 2 x+1
2 x−9
√
√
−√
−
Bài 12: Cho biểu thứ...