CHINH PHỤC CÁC DẠNG TOÁN
GV. LƯƠNG ANH NHẬT

ĐẠI SỐ 9
NỘI DUNG

BÁM SÁT SÁCH
GIÁO KHOA

PHONG PHÚ
BÀI TẬP

THỰC TIỄN
CHUYÊN SÂU

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC

TEA. LƯƠNG ANH NHẬT

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
BÀI 1: CĂN BẬC HAI
I. Các định nghĩa:
1. Căn bậc hai:
_ Căn bậc hai của một số a là số có bình phương bằng a.
Ví dụ:
Căn bậc hai của 49 là 7 và –7 vì ( −7 ) = 7 2 = 49 .
2

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

Căn bậc hai của 0 là 0 vì 0 2 = 0 .
Số −36 không có căn bậc hai vì không có số nào bình phương bằng −36 .
Nhận xét:
_ Số dương có hai căn bậc hai là hai số đối nhau.
_ Số 0 có căn bậc hai là chính nó.
_ Số âm không có căn bậc hai.
2. Căn bậc hai số học
_ Căn bậc hai số học của một số a  0 là số x  0 sao cho x 2 = a .
Ví dụ: Căn bậc hai số học của 49 là 7 vì 7  0 và 7 2 = 49 .
_ Căn bậc hai số học của số a  0 được kí hiệu là
Như vậy

a.

 x  0
a =x 2
.
 x = a

Chú ý:
_

a có nghĩa khi và chỉ khi a  0 .

_ Với mọi số thực a  0 ta luôn có
Ví dụ:

( 2 ) = (− 2 )
2

2

( a ) = (− a )
2

2

=a.

= 2.

3. Căn thức bậc hai
_ Khi A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là một căn thức bậc hai của A, còn A gọi
là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
_ A có nghĩa (hay xác định) khi và chỉ khi A  0 .
Ví dụ:
8
3x − 8 có nghĩa khi và chỉ khi 3x − 8  0  x 
3

1 − 2x
1 − 2x
xác định khi và chỉ khi
 0  1 − 2x  0  x  2
2
3
II. Công thức
A2 = A .

•

Với A là biểu thức đại số, ta có:

•

Với A  0, B  0 ; ta có:

AB = A . B .

•

Với A  0, B  0 ; ta có:

A
=
B

A
B

.

Ví dụ 1: Tính

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|1

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

(4 − 5 )

a)

2

(2 − 5 )

+

2

.

Rèn luyện Toán 9 – Đại số
26 − 8 10 + 19 − 6 10 .

b)

Giải
a)

(4 − 5 )

b)

26 − 8 10 + 19 − 6 10 =

2

+

(2 − 5 )

2

(

)

= 4− 5 + 2− 5 = 4− 5 − 2− 5 = 2

( 4 − 10 )

2

( 3 − 10 )

+

2

= 4 − 10 + 3 − 10 = 1

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức
b) B = 2x + x4 − 2x2 + 1 .
Giải
 A = 2 x − 1 + x − 2, x  2
 A = 3x − 3, x  2
= 2x − 1 + x − 2  

 A = x + 1, x  2
 A = 2 x − 1 − ( x − 2 ) , x  2

a) A = 2x − 1 + x2 − 4x + 4 .

( x − 2)

a) A = 2 x − 1 +
b) B = 2 x +

(x

2

)

−1

2

2

= 2x + x2 − 1

 B = x 2 + 2 x − 1; x  −1  x  1
 B = 2 x + x 2 − 1; x  −1  x  1


2
2
 B = − ( x − 1) , −1  x  1
 B = 2 x − x − 1 ; −1  x  1
Ví dụ 3: Tính

(

a)

a)
b)

3 2 − 10
2

3 2 − 10

(

2

+

)

)

+

15 − 5
3 −1

15 − 5
3 −1

.

=

(

b)

(

2 3− 5
2

(

) + 5(

)

)

(

)

6 3+ 2 − 3 2+3 2 − 3 .

Giải

) = 3−

3 −1
3 −1

5+ 5=3

6 3 + 2 − 3 2 + 3 2 − 3 = 3 6 + 12 − 2 3 − 3 6 + 3
= 22.3 − 2 3 + 3 = 2 3 − 2 3 + 3 = 3

Ví dụ 4: Tính
a)

45
20
5
.
+
−
4
9
36

b)

28
63
1
.
+
−
25
4
7
Giải

c)

4
156
108
.
−
+
3
13
25

a)

45
20
5
32.5
2 2.5
5 3
2
1
+
−
=
+
− 2 =
5+
5−
5=2 5
2
2
4
9
36
2
3
6
2
3
6

b)

28
63
1
2 2.7
32.7
7 2
3
1
123 7
+
−
=
+
− 2 =
7+
7−
7=
2
2
25
4
7
5
2
7
70
5
2
7

c)

4
156
108
4 2.3
6 2.3 4
6
8 3
−
+
=
−
+
=
12
3−2 3+
3=
2
2
3
13
25
3
5
15
3
5

Ví dụ 5: Giải các phương trình
a) x 2 = 9 .

b) x 2 = 5 .

c) x2 = 4 + 2 3 .
Giải

a) x2 = 9  x = 3  x = −3
b) x2 = 5  x = 5  x = − 5

2 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

d) x2 = 14 − 6 5 .

Rèn luyện Toán 9 – Đại số
c) x2 = 4 + 2 3  x2 =

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

(

)

2

3 + 1  x = 3 + 1 x = −

(

d) x2 = 14 − 6 5  x2 = 3 − 5

)

2

(

)

3 +1

 x = 3 − 5  x = −3 + 5

Ví dụ 6: So sánh
a) 6 5 và 5 6 .

b)

( )  (5 6 )
2

a) Giả sử 6 5  5 6  6 5

3 2.
Giải

2 3 và
2

8 + 3 và 6.

c)

 36.5  25.6  180  150 (đúng)

Vậy 6 5  5 6 .
2

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

Vậy

) (
2

 3 2

) 12  18 (vô lý)
2

2 3 3 2.

8 +36  8 3

c) Giả sử
Vậy

(

2

2 3  3 2   2 3    3 2   2 3  3 2  2 3

 


b) Giải sử

( )
8

2

 32  8  9 (vô lý)

8 + 3  6.

Bài tập
9
25
1.1 Tìm căn bậc hai số học của các số: 16, ,0.36,
,19, −1 .
49
121
1.2 Tính:
1.3 Tính

(
b. (
a.

108 , 256 ,

)(
2 )(

)
2)

5+ 3

5− 3

7−

7+

27
,
16

( −4 )( −64 ) ,

(
d. (

)(
6 + 1)(

0.81 .

) e. ( 3 + 2 5 )( 3 − 2 5 )
6 − 1) f. ( 5 2 + 3 6 )( 5 2 − 3 6 )

c. 3 + 7 3 − 7

1.4
a. Tính cạnh của một hình vuông có độ dài đường chéo bằng
b. Tam giác đều có cạnh bằng
1.5 Giải các phương trình

2.

3 thì đường trung tuyến có chiều dài bằng bao nhiêu?

a. x2 − 10 = 0

e. ( x − 3 ) = 11 + 6 2

i. x2 + 4 3x = 1 − 4 3

b. x2 − 6 = 0

f. x 2 − 10 x + 25 = 27 − 10 2

j. 4 x 2 − 12 2 x + 10 2 = 33

c. x 2 + 2 2 x + 2 = 1

g. 4x2 + 4x = 27 − 10 3

k. 2 x 2 + 9 + 4 2 = 12 x

d. x2 − 2 3x + 2 = 0
1.6 So sánh

h. x2 + 2 5x = 16 − 4 5

l. 3x2 − 30x + 26 + 8 3 = 0

a. 2 5 − 5 và

b.

2 − 2 và

3 −3

c.

3 + 5 và

b.

48 và 13 − 35

c.

31 − 19 và 6 − 17

2

5 −3

5 +1
2

1.7 So sánh
a.

17 + 26 và 9

d. 9 − 58 và

80 − 59 e. 7 − 21 + 4 5 và 5 − 1
1.8 Với giá trị nào của x thì các căn thức dưới đây có nghĩa:

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|3

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054
a.

5x + 2
3

1
1 + 2x

b.

1

e.

Rèn luyện Toán 9 – Đại số
c.

1
x−2 +
x−3

−2
−3x + 7

d.

−5x5

7 + 5x2
13

h.

2x + 5 − −2x + 6

d.

5x 2 − 4 x − 8

f.
g.
−3x
1.9 Với giá trị nào của x các căn thức dưới đây xác định:
1
a.
b. x2 − 8 x + 14
c. 35 − x2 + 4 x
2
9x + 6x + 1
e.

3x + 4
x−2

x −1 − 4

f.

1

g.

1

h.

x−3 +1

x2 + x + 1

1.10 Tính
a.
c.

(
(

3 3 −2 7
2− 3

)

2

)

2

−

(

b.

(2

3 −3 2

)

3− 7

)

2

−

(

2 7 −6

)

2

2

1.11 Rút gọn các biểu thức sau
a.

9 − 4 5 − 14 − 6 5

d. 3x − 9 x + 6 x + 1
2

g.

x2 − 2x + 1
x+ 2 x +1

b.

32 − 10 7 − 43 − 12 7

e.

x2 − 10 x + 25
x−5

h.

x −1
y −1

(y − 2

)

y +1

( x − 1)

c.

13 − 4 3 − 16 − 8 3

f.

( x − 2)

i.

( 3x − 2 ) +

2

x2 − 4 x + 4
+
x−2

2

4

2

9 x2 − 12 x + 4
3x − 2

1.12 Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức
a.

9x2 − 12x + 4 − 6 x − 1 với x = 1 .

b. x + y + x2 − 2xy + y 2 với x = 1 − 3 và y = 1 − 5 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------Ôn tập 1
Câu 1. Tìm điều kiện để biểu thức sau có nghĩa:

x−2 +

x −1
1
.
+
2
x+3
x + 4x + 5

Câu 2. Tính
a.

2 − 6 + 3 − 9 + 4 − 12
2+ 3+ 4

b. 2 + 17 − 4 9 + 4 5

Câu 3. Rút gọn biểu thức : A = x + 2 3x − 9 + x − 2 3x − 9
Câu 4. Giải phương trình: x2 − x + x2 + x − 2 = 0 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------

4 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054
Khai phương một tích – một thương

1.13 Rút gọn

(

)(

a. 1 − 2 + 3 1 + 2 − 3

2

3 7 +7 3

f.

21

(

2− 7

)

)


b. 5 + 4 2  3 + 2 1 + 2 
 3 − 2 1 + 2 




4+ 8. 2+ 2+ 2 . 2− 2+ 2

c.

e.

(

)
2

g.

56 − 4

d.

(5

47 + 5 . 7 − 2 + 5 . 7 + 2 + 5

2 +2 5

)(

3 −3 2

30

)

h.

6 6 − 2 12 + 3 − 2
2 6 +1

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

1.14 Rút gọn
a.

13 + 6 4 + 9 − 4 2

d.

3+ 5.

(

b.

)(

10 + 2 3 − 5

)

5 + 2 6 + 14 − 4 6



e.  2 4 + 6 − 2 5 



(

23 + 6 10 + 47 + 6 10

c.

10 − 2

)

1.15 Thu gọn các biểu thức

A=

7+ 5 + 7− 5
7 + 2 11

B=

− 3−2 2

2 +2−2

2 +1 +1

1.16 Thu gọn các biểu thức

A=

x2 + y 4 − 2 xy 2
x x + x − y2 x − y2

1.17 Cho a =

B = 3y

4 + xy − 4 xy
9x2 y 2

; x, y  0

C = x−4 x−4

1+ 5
1− 5
,b =
. Tính a3 + b3 .
2
2

1.18 Cho biểu thức A =

x+4 x−4 + x−4 x−4
1−

8 16
+
x x2

a. Tìm x để A xác định.
b. Rút gọn A.
c. Tìm các giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên.

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|5

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

BÀI 2: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
I. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
A2 B = A


 A B ; A  0, B  0
B=

− A B ; A  0, B  0

Ví dụ 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
a.

b. 2 50

45

3x2 − 6 xy + 3 y 2

c.
Giải

b) 2 50 = 2 2.52 = 2.5. 2 = 10 2

a)

45 = 32.5 = 3 5

c)

3x2 − 6xy + 3y 2 = 3 x2 − 2xy + y 2 = 3 ( x − y ) = 3 x − y

(

Ví dụ 2: Tính

)

2

75 + 3 12 − 300
Giải

75 + 3 12 − 300 = 5 3 + 4 3 − 10 3 = 3
II. Đưa thừa số vào trong dấu căn
 A2 B ; A  0, B  0
A B=
− A2 B ; A  0, B  0
Ví dụ 1: Đưa các thừa số vào dấu căn
b. 7 3

a. 2 7

c.

2 ( x − 1)

Giải
a) 2 7 = 22.7 = 28

b) 7 3 = 7 2.3 = 147

c)

2

2
x
−
1
,x  1
(
)

2 ( x − 1) = 
2
 − 2 ( x − 1) , x  1

Ví dụ 2: So sánh 4 3 và 5 2 .
Giải
Giải sử 4 3  5 2  42.3  52.2  48  50 (vô lý)
Vậy 4 3 > 5 2 .

A
=
B

III. Khử mẫu số của biểu thức trong dấu căn

AB
với AB  0 và B  0
B

Ví dụ 1: Khử mẫu của biểu thức trong dấu căn
a.

3
5

b.

6
7

c.

11
12

Giải
a)

3
3.5
15
=
=
5
5
5

Ví dụ 2: Tính

b)

6
6.7
42
=
=
7
7
7

c)

21
14
7
+
+
2
3
6
Giải

21
14
7
42
42
42
+
+
=
+
+
= 42
2
3
6
2
3
6
6 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

11
11.12
132
=
=
12
12
12

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta có thể biế đổi biểu thức trong dấu căn sao cho mẫu số của nó
được biến đổi thành bình phương của một số rồi khai phương và đưa ra ngoài dấu căn.

5
10
10
…
=
=
8
16
4

6
2
2
hoặc
=
=
75
25
5
IV. Trục căn thức ở mẫu số
1. Trường hợp thứ nhất
Chẳng hạn như:

A
B
7

7
7 5
7 3
,
=
5
6
2 3
5
2. Trường hợp thứ hai

Ví dụ:

=

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

M

Ví dụ :

A B
với B  0
B

=

7

=

7

A B

(

5− 3

=

M

(

A

B

) với A  0, B  0 và A  B

4

(

A−B

),

4

=

7+ 2

)

2
5
7− 2
5+ 3
Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta có thể viết tử số dưới dạng tích có chứa thừa số là mẫu
số rồi rút gọn.
Chẳng hạn như:

3+2 3
3

=

3

(

3 +2
3

)=

3+2 ,

10 − 6
5− 3

=

2

(

5− 3
5− 3

)=

2 ,…

Bài tập
2.1 Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
1.

125a4 b3

2.

(

10 x2 y 3 − 2

)

2

3.

3x2 − 6 xy + 3 y 2

2.2 Đưa thừa số vào trong dấu căn

a b3
1.
; a , b cùng dấu, a  b
b a

2.

x+y x−y
; x  0 và x  y
x−y x+y

2.3 Khử mẫu của biểu thức lấy căn
a.

(2 − 5 )

2

8

b.

−4 x
,x  0  y
7 x2 y

c.

2
1
−
x − 1 ( x − 1) 2

2.4 Trục căn thức ở mẫu
a.

2 3− 6
8− 2

b.

4− 3
5 2 −2 5

c.

x+a x
a x

d.

x
2 x −3 y

2.5 Tính
a.

20 + 2 45 − 3 80 − 2 98

 1 1

1 4
c.  5
−
20 +
+ 2 5  : 2 5 +1
 5 20

4 5



b.

162 −

9
8 − 2 15
−
2
10 − 6

3

2
3  2
d. 
6 −2
−4
3
− 12 − 6 

2

3
2 

 3

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|7

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

2.6 Tính
a.

1
3−2 2

−

1
3+2 2



5− 3  5− 3
c.  1 +
:
− 1



5 + 3   5 + 3


 4
12
15 
e. 
−
+
 6 + 11
6 +1
 6 −2 3− 6

(

1

g.

3− 2

−

2
7+ 5

3

b.

3

−

7 − 40

+

d.

)

f.

3 −1

3

−

3 +1

−2 3 + 5 2
5 2 +2 3
1
12 − 140

+

−

5 2 +2 3
−2 3 + 5 2
1
8 − 60

−

1
10 + 84



1
1
h. 23 
−

2+ 3+ 6
 2+ 3− 6
5 + 21

2 2

5 2 + 10

i.

9 + 3 5 + 2 14 + 6 5

2.7 Thu gọn
2+ 3

a.

(

2 + 2+ 3

b. 2 − 3
c.

)

2− 3

+

2 − 2+ 3

(

26 + 15 3 − 2 + 3

45 + 27 2 + 45 − 27 2

5+3 2 − 5−3 2
2.8 Thu gọn các biểu thức

−

)

26 − 15 3

3+ 2 + 3− 2
3+ 2 − 3− 2


x + x  x − x 
1. A =  1 +
1−

 với x  0 và x  1 .


x
+
1
x
−
1




(
2. B =

a+ b

) −4
2

a− b

ab

+

a b +b a
ab

với a , b  0 và a  b .

 1
1 
a +1
3. C = 
với a  0 và a  1 .
+
:
a
−
a
a
−
1
a
−
2
a
+
1




1  x − 2
x +2 
4. D =  1 +
−
 với x  0 và x  1 .
 
x   x − 1 x + 2 x + 1 



x y
x
x  
x
:
 với x , y  0 và x  y .
5. E = 
−
−
 x + y x − y   x + y x + y + 2 xy 

 

3
3
 1
1 
2
1 1 x + y x + x y + y
.
+
+ + :
6. F = 
với x , y  0 .
 x
y  x + y x y 
x3 y + xy 3

 a+b
a
b  
b − ab 
7. G = 
−
−
 với a , b  0 và a  b .
 :  a +
ab
ab
+
b
ab
−
a
a
+
b

 

8. H =

a + b −1
a + ab

+

a− b
b
b 
+

 với a , b  0 và a  b .
2 ab  a − ab a + ab 

8 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054



1
1
1
9. K = 
với x  0 và x  1 .
+
: 2
 x x + x + x x + x +1 x − x

 x+2
x +1
1 
10. L = 1 : 
+
−
 với x  0 và x  1 .
 x x −1 x + x +1
x − 1 

 2x x + x − x x + x 
x −1
x
1
11. M = 
với x  0, x  1 và x  .
−
+
 .

x − 1  2x + x − 1 2 x − 1
4
x x −1

 x −4
1
2 
x 
12. N = 
−
+
. x −

 với x  0, x  4 và x  9 .
 x+2 x x−2 x x−4 
x
−
3




CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

 x +2
x +1
3 x −1  
1 
13. P = 
−
+
: 1−

 với x  0, x  1 và x  9 .
 x −1
 
x
−
3
x
−
4
x
+
3
x
−
1



 x−3 x   x −3
x −2
9−x 
2.9 Cho biểu thức Q =  1 −
:
+
−

 với x  0, x  4, x  9 .

x − 9   2 − x 3 + x x + x − 6 

a. Thu gọn biểu thức Q.
b. Tìm giá trị của x để Q = 1 .
2.10
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 − 6 x + 5 .
b. Tìm giá trị lớn nhất của B = −5 + 1 − 9 x2 + 6 x .

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|9

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

BÀI 3: GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC THƯỜNG GẶP
I. Phương trình dạng

A= B
 A  0 hay B  0
A= B
A = B
x2 − 3 = 2 x − 3 .

Ví dụ 1: Giải phương trình

Giải

3

3
2 x − 3  0
2 x  3
x 
x 
x − 3 = 2x − 3   2
 2


x=2
2
2
 x − 3 = 2 x − 3
 x − 2 x = 0
x ( x − 2 ) = 0
 x = 2 hay x = 0

2

II. Phương trình dạng

A =B

 B  0
A =B
2
 A = B

2x − 1 = x − 2 .

Ví dụ 2: Giải phương trình

Giải

x  2
 x − 2  0
 x  2

 x  2

  x = 5  x = 5
2x − 1 = x − 2  
2   2
 x − 6 x + 5 = 0

( x − 5 )( x − 1) = 0
2 x − 1 = ( x − 2 )
 x = 0
Nhắc: phương trình chứa dấu trị tuyệt đối
A = B
B  0
1. A = B  
2. A = B  
 A = −B
 A = B hay A = − B
Chú thích: dấu “  ” và “  ” có nghĩa là “hoặc”; dấu “  “ và “  “ có nghĩa là “và”.
Bài tập
3.1 Giải các phương trình
a.

x −1 = 9 − x

b.

2x − 7 = x − 4

c.

x2 + x − 3 = x + 1

d.

x 2 − x + 1 = 3x + 1

e.

x 2 − 5x = x − 9

f.

x2 + 4x − 8 = 2x + 7

h.

x 2 − x + 3 = 2 x 2 + 3x − 3

c.

x2 − 4x + 3 = x − 2

1
= x2 + 6x + 9
4
3.2 Giải các phương trình
g.

x2 + x +

a.

x2 − 5 = x − 1

b.

d. 16 − 8 x + x2 = 4 − x
e.
3.3 Giải các phương trình
a.

x+4 x−4 = 5

b.

4x + 8 = −x + 1

9 x2 − 6 x + 100 = 3x + 5 f.

4x2 − 20x + 25 = x − 3

x−3+2 x−4 = 2 x−4 −3

c. x2 − 2x + 2 = 2 2x − 3

d. 5x − 5 − 2 2x − 5 = 4 3x − 5

e. x2 − 2 + 3 x2 + 2 = 0

f.

x
4x − 1

+

4x − 1
=2.
x

10 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

-----------------------------------------------------------------------------------------------------Ôn tập 2
Câu 1. Tính
a.

1

+ 175 −

6 2 −4

6 − 11

b.

8+ 7
3− 2
Câu 2. Giải các phương trình

22 − 2

+

6
2

3

−

2 +1

x+3 + 2−x = 5

a.

x2 − x − 2 = x − 2

b.

c.

( x − 1)

d. 3 − 2 x 2 + 3 x = 16 − 6x

2

(

+ x2 + 4x + 4 = 3

Câu 3. Cho biểu thức A =

2 x −9

−

x +3

−

)(

)

2 x +1

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

x−5 x +6
x −2 3− x
a. Tìm điều kiện để A có nghĩa.
b. Rút gọn A.
c. Tìm giá trị nguyên của x sao cho A có giá trị nguyên.

Câu 4. Chứng minh:

2 + 3. 2 + 2 + 3 . 2 + 2 + 2 + 3 2 − 2 + 2 + 3 = 1.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|11

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

BÀI 4: CĂN BẬC BA
I. Định nghĩa
Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x 3 = a .
Ví dụ: Căn bậc ba của 8 là 2 vì 2 3 = 8 , căn bậc ba của 0 là 0 vì 0 3 = 0 , căn bậc ba của –125 bằng –5
vì ( −5 ) = −125 ,…
3

Nhận xét
_ Mỗi số thực đều có duy nhất một căn bậc ba.
_ Căn bậc ba của số dương là số dương.
_ Căn bậc ba của 0 là 0.
_ Căn bậc ba của số âm là số âm.
_ Căn bậc ba của một số thực a kí hiệu là
II. Công thức
1.

4.

3

3

AB = 3 A 3 B

A
=
B

3

2.

AB2
,B  0
B

5.

3

A
=
B

3
3

A
B

M
3

A B
3

3

a

,B  0

=

M

(

3

3.
A2

3

A3 B = A 3 B

3

AB + 3 B2

AB

) ,A 

B

Bài tập
4.1 Tính
a. 4 3 16 + 5 3 54 − 2 3 128
d.

(

3

) (
3

4 +1 −

3

)

4 −1

3

b. 5 3 81 − 3 3 24 + 3 3 192

c.

(

3

2−34

)

3


1
e. 12 3 2 + 3 16 − 2 3 2  5 3 4 − 3 3 

2 


(

)

4.2 Chứng minh x = 3 54 + 30 3 + 3 54 − 30 3 là nghiệm của phương trình x3 − 3x2 = 108 .
4.3 Giải các phương trình
a.

3

x3 + 9 x2 = x + 3

b.

3

5+ x + 3 5−x =1

c.

3

9−x + 3 7+x = 4

12 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

HƯỚNG DẪN MỘT SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG I
BÀI 1: CĂN BẬC HAI
1.1 Đáp án theo thứ tự của đề bài: 4,

3
5
, 0.6 ,
,
11
7

1.2 Đáp án theo thứ tự của đề bài: 6 3 ,16,

19 , không có.

3 3
,16,0.9 .
4

1.3 a. 2, b. 5, c. 2, d. 5, e. –11, f. –4.
1.4 a) Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông, với x > 0, ta có: x2 + x2 =

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

A

( )
2

2

 x =1.

b) Gọi ABC là tam giác đều có cạnh bằng
đường trung tuyến ần tìm độ dài.

3 với AM là

Ta có: AC 2 = AM 2 + MC 2 (Pythago)
C

B

M

 BC 
 AC = AM + 

 2 
2



( 3)

2

2

2

2

 3
3
= AM 2 + 
 AM =

 2 
2



1.5
a. x =  10 , b. x = 

6 , c. x = 1 − 2  x = −1 − 2 , d. x = 1 − 3  x = −1 − 3

e. x = 6 + 2  x = − 2 , f. x = 10 − 2  x = 2 , g. Công hai vế cho 1, x =

4− 3
−6 + 3
x=
2
2

h. Cộng hai vế cho 5, x = 5 − 1  x = −3 5 + 1 , i. Cộng hai vế cho 12, x = −1  x = −4 3 + 1
j. Cộng hai vế cho 18, x =

8 2 −1
−2 2 + 1
x=
2
2

 2 2 −1
2
k. 2 x 2 + 9 + 4 2 = 12 x  2 x 2 − 6 x + 9 = 9 − 2.2 2  ( x − 3 ) = 


2 


(

)

2


2 2 −1
x = 3 +
2


2 2 −1
x = 3 −

2

l. 3x2 − 30x + 26 + 8 3 = 0

 4 3 −1
2
 3 x 2 − 10 x + 25 = 49 − 2.4 3  ( x − 5 ) = 


3 


(

)

2


4 3 −1
x = 5 +
3


4 3 −1
x = 5 −

3

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|13

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054
1.6 a. 2 5 − 5  5 − 3 , b.

17 + 26  9 b.

1.7 a.
e.

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

2 − 2  3 − 3 , c.

3+ 5 =

5 +1
2

31 − 19  6 − 17 , d. 9 − 58  80 − 59

48  13 − 35 , c.

7 − 21 + 4 5 = 5 − 1 .

1.8 Lưu ý: Các biểu thức chứa trong dấu căn ở mẫu số đều phải dương mới xác định.
7
2
1
a. x  − , b. x  − , c. x  , d. x  0 , e. x  0 , f. x  2 và x  3 , g. x 
3
5
2

5
, h. −  x  3
2

1.9 Lưu ý: ( x − a )  0  x  a .
2

a. x  3 , b. x  4 − 2 2  x  4 + 2 2 , c. 2 − 39  x  2 + 39 , d. x 
4
e. x  −  x  2 , f. x  5  x  −3 , g. x 
3

2 − 2 11
2 + 2 11
x
5
5

, h. x 

1.10 a. 2 7 − 3 3 , b. −3 + 3 7 , c. 3 3 − 4 2


1
−1, x  − 3
1.11 a. 2 5 − 5 , b. −1 , c. 1 , d. 
, e.
6 x + 1, x  1

3

1, x  5
, f.

−1, x  5

 x − 1, x  2
, g.

− x + 1, x  2


 x − 1, x  1


 − x + 1, x  1


2
3x − 1, x  3
h.
, i. 
x −1
−3x + 1, x  2

3

y −1

1.12

a. A = 9 x 2 − 12 x + 4 − 6 x − 1 =

( 3x − 2 )

2


2
−3x − 3, x 


3
− 6 x − 1 = 3x − 2 − 6 x − 1  A = 
2
1 − 9 x , x 

3


Với x = 1  A = −3.1 − 3 = −6
b. B = x + y + x 2 − 2 xy + y 2 = x + y +

(

(x − y)

2

2 x , x  y
= x+ y+ x−y  B= 
2 y , x  y

)

Với x = 1 − 3  1 − 5 = y  B = 2 1 − 3 = 2 − 2 3

14 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

--------------------------------------------------------------------------Ôn tập 1

x − 2  0
x  2

 x −1

Câu 1. 
0
  x  −3  x  1  x  −3  x  2
x + 3

2
 x 2 + 4 x + 5  0
( x + 2 ) + 1  0
Câu 2.

(

a.

) (

2+ 3+ 4 −

6 + 9 + 12

2+ 3+ 4

)=(

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

b. 2 + 17 − 4 9 + 4 5 = 2 + 17 − 4

(

)

2+ 3+ 4 − 3

(

2+ 3+ 4

2+ 3+ 4

2+ 5

)

2

= 2+ 9−4 5 = 2+

(

) = 1−

2− 5

)

2

3

= 5

Câu 3.

A = x − 3 + 2 3 ( x − 3) + 3 + x − 3 − 2 3 ( x − 3) + 3
=

(

x−3 + 3

)

2

+

(

x−3 − 3

)

2

=

x−3 + 3 +


2 x − 3 , x  6
x−3 − 3  A = 

2 3 , 3  x  6

Câu 4.
Nhớ: Nếu A + B = 0 với A , B  0 thì A = 0 và B = 0 .
2
 x − x  0
 x  −2, x  1
Điều kiện xác định:  2
 x + x − 2  0

 x2 − x = 0
x −x + x +x−2 =0  2
 x = 0, x = 1, x = −2 . Vậy x = −2, x = 1 .
 x + x − 2 = 0
2

2

--------------------------------------------------------------------------1.13 a. −4 + 2 6 , b. −7 , c. 2 2 , d. 2 551 , e.

3 + 7 , f.

1
, g.
2

(

)(

)

5 + 2 1 − 6 , h. 3 − 2

1.14 a. 3 2 + 1 , b. 3 3 + 2 − 2 , c. 3 2 + 4 5 + 2 , d. 8, e. 8
1.15 a. A =

7+ 5 + 7− 5
7 + 2 11

− 3−2 2
A2

A1

2

(

)

 7 + 5 + 7 − 5  14 + 44 2 7 + 2 11
 =
=
= 2  A1 = 2
Xét A12 = 


7
+
2
11
7
+
2
11
7 + 2 11



HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|15

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

(

Xét A2 = 3 − 2 2 = 2 − 2 2 + 1 =
b. B =

2 +2−2

2 +1 =

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

2 −1

)

2

= 2 − 1 . Vậy A = A1 − A2 = 1
2

2 + 1 + 1 = 


2 +1− 2

2 + 1 − 1  =


2 +1 −1

1.16

a. A =

=

x x + x − y2 x − y2

b. B = 3 y

4 + xy − 4 xy
9 x2 y 2

(x − y )
=
x (x − y ) + (x − y ) (
2

x 2 + y 4 − 2 xy 2

= 3y

2

2

(

xy − 2

2

)

2

c. C = x − 4 x − 4 = x − 4 − 4 x − 4 + 2 =

)(

x + 1 x − y2

)

1

=

x +1

xy − 2

=

3 xy

x − y2

x

(

x−4 −2

)

2

=

x−4 −2

1.17 Ta có: a3 + b3 = ( a + b ) − 3ab ( a + b ) mà a + b = 1, ab = −1  a3 + b3 = 13 − 3 ( −1) .1 = 4
3

1.18





x
4

x − 4  0
x  4

x  4

 2

a.  x − 4 x − 4  0   x  4 x − 4   x − 16 x + 64  0  
x4
x  4
 8 16

 4
2
1 − +
 1 − 4   0
1 −  0
0
 x
 x x2

x 
b. A =

x+4 x−4 + x−4 x−4
1−

8 16
+
x x2

x−4 +2+

=


4
1− x 


x

TH1:

x−4 −20 x8 A =

TH2:

x−4 −2  0 4  x 8 A =

c. Xét x  8 , để A nguyên thì

x−4 −2

x−4

2

= x−4 +

=

x

(

x−4 +2+

x−4 −2

)

x−4

4
x−4

4x
16
=
+4
x−4 x−4

x − 4 là ước số của 4 nghĩa là

x − 4  4, 2,1

Ta giải được x = 8 , x = 20 .
Xét 4  x  8 , để A nguyên thì ( x − 4 ) là ước của 16 nghĩa là ( x − 4 ) 16, 8, 4, 2, 1
Ta giải được x = 5

16 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

BÀI 2: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

(

)

2.1

1. 5a2 b 5b , 2. 3 − 2 x 10 y , 3.

2.2

1. ab , 2.

2.3 a.

2 −7 xy
−2 2 + 10
, b.
, c.
2
−7 xy

2.4 a.

3

(

x+y
x−y

)

2 − 1 , b.

( 4 − 3 )( 5

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

2 3
3 −1

2 −2 5

) , c.

(

x 2 x +3 y
x +a
, d.
a
4x − 3y

)

31
, d. 7 2
20

15
62
, d.
, e. −115 , f. 0, g. 0, h. 24 + 2 6
3
19

, c. −

5 2 + 10

i. I =

2x − 3
x −1

30

2.5 a. −4 5 − 14 2 , b. 7 2 , c.

2.6 a. 4 2 , b.

3 x−y

=

9 + 3 5 + 2 14 + 6 5

5 2 + 10

(7 + 3 5 ) + 2

5 2 + 10

=

7+3 5 + 2

2 7+3 5 +2

Nhân tử và mẫu bởi 2
10 + 20

I=

14 + 2.3 5 + 2

=

(

2 5+ 5

(3 + 5 )

2

)

=

+2

(

2 5+ 5
5+ 5

)=2

2.7
2+ 3

a. A =

2 + 2+ 3

A=

( 2 + 3 ) 

+

2− 3
2 − 2+ 3

=

(

( 2 + 3 ) 

(

)

2 − 2 + 3  + 2 − 3  2 + 2 + 3 



 2 + 2 + 3  2 − 2 + 3 







)

2 − 2 + 3  + 2 − 3  2 + 2 + 3 



− 3

Nhân tử và mẫu bởi

2 , ta có: A =

( 2 + 3 )  2 −

(

)

4 + 2 3  + 2 − 3  2 + 4 + 2 3 



− 3

2 + 3 )  2 − ( 1 + 3 )  + ( 2 − 3 )  2 + (1 + 3 )  ( 2 + 3 )( 1 − 3 ) + ( 2 − 3 )( 3 + 3 )
(



=
A=
=
− 3. 2

(

b. B = 2 − 3

)

(

26 + 15 3 − 2 + 3

− 3. 2

)

6− 2
3

26 − 15 3
HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|17

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054
Nhân hai vế bởi

(

VP = 2 − 3

(

2B = 2 − 3

2 , ta có:

) (3

3+ 5

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

)

) − (2 + 3 ) (3
2

(

52 + 2.5.3 3 − 2 + 3
3− 5

) = ( 2 − 3 )( 3
2

)

52 − 2.5.3 3

) (

)(

)

3 + 5 − 2+ 3 3 3 − 5 = 2

Vậy B = 2 .

45 + 27 2 + 45 − 27 2

c. C =

3+ 2 + 3− 2

−

, phân số thứ nhất ta lấy 9 làm thừa số

5+3 2 − 5−3 2
3+ 2 − 3− 2
chung ở bên trong từng căn thức trên tử rồi nhân lượng liên hiệp với mẫu số, ta có:
2

2

(

)



3  5 + 3 2 + 5 − 3 2 
 3+ 2 + 3− 2 
3 10 + 2 7
6+2 7
4
 − 
 =
C= 
−
=
= 2
2
2
2
2
6 2
2 2
2 2
 5+ 3 2  − 5−3 2   3+ 2  − 3− 2 

 
 
 


 
 
 


2.8


x + x  x − x 
1. A =  1 +
1−

 với x  0 và x  1 .


x
+
1
x
−
1




x x + 1 
x x −1 


 = 1+ x 1− x = 1− x
A = 1+
1−


x + 1 
x − 1 




(

2. B =

B=

(

(

)

a+ b

(

) −4

)

2

a− b

(

)(

)

2

a− b

a− b

)

+

ab

ab

(

+

a b +b a
ab

a+ b
ab

)=

với a , b  0 và a  b .

a− b+ a+ b=2 a

 1
1 
a +1
3. C = 
với a  0 và a  1 .
+
:
a −1 a − 2 a +1
 a− a


1
1 

C=
+
:
 a a − 1
a − 1 



(

)

(

a +1

)

a −1

2

=
a

(

a +1

)

a −1

(
.

)

a −1

a +1

2

=

a −1
a


1  x − 2
x +2 
D = 1+
−
 với x  0 và x  1 .
 
x   x − 1 x + 2 x + 1 



x −2
x +1 − x + 2
x +1 
x −2
x +2 
x +1
D=
.
−
=
.
2 
2
x  x −1
x
x +1
x +1 
x −1
x +1




x y
x
x  
x
:
 với x , y  0 và x  y .
5. E = 
−
−
 x + y x − y   x + y x + y + 2 xy 

 

4.

(

)(

) (

)

(

18 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

)(
(

) (
)(

)

)(

x −1

)=

−2
x −1

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

 
( )
x y
 
x
−
:
( x + y )( x − y )   x + y ( x + y )
( x + y) = − y( x + y)
− xy
.
x x
y )( x − y )
x( x − y )



x
E=
−
x
+
y



2

x



2 



2

=

(

x+

3
3
 1
1 
2
1 1 x + y x + x y + y
.
+
+ + :
6. F = 
với x , y  0 .
 x
y  x + y x y 
x3 y + xy 3

 x+ y
xy
x + y  x ( x + y ) + y ( x + y ) x + 2 xy + y
2
F=
.
+
=
.
=
:
xy 
xy
xy
x+ y
xy
x
+
y
x
+
y

( )


x+ y
xy

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

 a+b
a
b  
b − ab 
7. G = 
−
−
 với a , b  0 và a  b .
 :  a +
ab
ab
+
b
ab
−
a
a
+
b

 



a+b
G=
−
 ab
b


a

(

a+ b

a + b −1

8. H =

a + ab
a + b −1

H=

a

(

a+ b

)

+

)

−

(

)

(

)

a + b + b − ab
a+ b

=

a ab + b ab
ab ( a − b )

.

a+ b
1
=
a+b
a− b

=

1

a− b
b
b 
+

 với a , b  0 và a  b .
2 ab  a − ab a + ab 
a− b

+

a

 a
:
a − b 

b

2 ab

. b.

a + ab + a − ab
a + b −1
=
+
2
a − ab
a a+ b
a

(

)

1

(

a+ b

)

(

x −1 x + x +1 = x −1

a



1
1
1
+
9. K = 
với x  0 và x  1 .
: 2
 x x + x + x x + x +1 x − x



1
1
1
x +1

:
K=
. x
+
=
 x x + x + 1 x + x + 1  x x x − 1
x x+ x +1


 x+2
x +1
1 
10. L = 1 : 
+
−
 với x  0 và x  1 .
 x x −1 x + x +1
x − 1 


(

L = 1:

)

x+2+

(

(

)( x − 1) − ( x +
( x − 1)( x + x + 1)
x +1

)

x +1

)=(

(

)

)(

) = x+

x −1 x + x +1
x− x

)(

)

x +1
x

 2x x + x − x x + x 
x −1
x
1
11. M = 
với x  0, x  1 và x  .
−
.
+


x − 1  2 x + x − 1 2 x − 1
4
x x −1


x 2x + x − 1
x x +1 
x −1
x

.
M=
−
+
 x − 1 x + x + 1
x − 1 x + 1  2 x + x − 1 2 x − 1



(

=

(

)(

)

(

)

) ( )( )
x ( x + 1)( 2 x − 1) − x ( x + x + 1)
x −1
.
+
2
x
+
x
−
1
2
x
−
1
x
+
x
+
1
( )(
)

x
x −1

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|19

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054
=

(

x

(

)(

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

). x −1 −
x + 1) 2 x + x − 1 (

(

x +1 2 x −1

)(

x −1 x +

x x+ x +1

)(

)

)

x −1

.

x − 1 x + x + 1 2x + x − 1

+

x
2 x −1

x

=

(

x +1

x+ x +1

 x −4
1
2 
x 
12. N = 
. x −
−
+

 với x  0, x  4 và x  9 .


x − 3 
 x+2 x x−2 x x−4 

 x. x − 3 − x
x −4
1
2

.
N=
−
+
 x x + 2
x −3
x x −2
x +2
x − 2 



(

(

)

)

( ) ( )( )
( x − 4 )( x − 2 ) − ( x + 2 ) + 2 ( x − 2 ) . x ( x − 4 )
=
x −3
x ( x + 2 )( x − 2 )
x ( x − 4)
( x + 2 )( x − 3) . x ( x − 4 ) =
x−5 x +6
=
.
=
x −3
x −3
x ( x + 2 )( x − 2 )
x ( x + 2 )( x − 2 )

x −4
x +2

 x +2
x +1
3 x −1  
1 
13. P = 
−
+
: 1−

 với x  0, x  1 và x  9 .
 x −1
 
x
−
3
x
−
4
x
+
3
x
−
1





x +2
x +1
3 x −1
x −2


P=
−
+
:
 x − 1
x −3
x − 1 x − 3  x − 1



( )( )
( x + 2 )( x − 3) − ( x + 1)( x − 1) + 3
=
( x − 1)( x − 3)

2.9



a. Q = 1 −



(

x +3

b. Q =

:

(

x −3
−

3

=

x

(

x −3

.

 
 : x −3 + x −2 −
x + 3   2 − x 3 + x
 

x −3

)(

)

x −1

)(
(

)

(

) ( x − 2) + x − 9 =
x − 2 )( x + 3 )
x +3 +

x −1
x −2

=

2

(

9−x
x −2

)(

(

x −3

)(

x −1



x + 3 


)

2

x −2
3

x −2
= 1  x = 5  x = 25 .
3

2.10

( x − 3) − 4  ( x − 3) − 4  0
A đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó ( x − 3 ) − 4 = 0  x = 5  x = 1
2

a. A = x2 − 6 x + 5 = x 2 − 6 x + 9 − 4 =
Để

2

2

b. B = −5 + 1 − 9 x2 + 6 x = −5 + 2 − ( 3x − 1)

2

Vì ( 3x − 1)  0  − ( 3x − 1)  0  2 − ( 3x − 1)  2  B  −5 + 2
2

2

2

Vậy B lớn nhất khi dấu “=” xảy ra, như vậy 3x − 1 = 0  x =

20 | HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

1
.
3

)

x −3

)

.

x −1
x −2

=

2
x −2

)

Rèn luyện Toán 9 – Đại số

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

BÀI 3: GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC THƯỜNG GẶP
3.1 a. x = 5 , b. vô nghiệm, c. x = 2  x = −2 , d. x = 0  x = 4 , e. vô nghiệm, f. x = 3 , g. x = −

7
4

h. x = −2 + 10  x = −2 − 10
3.2 a. x = 3 , b. x = −1 , c. vô nghiệm, d. vô số nghiệm, e. x =

25
, f. vô nghiệm
12

3.3
a. Điều kiện: x  4
PT  x − 4 + 2.2. x − 4 + 4 = 5 

 x−4 =7
x−4 −2 = 5 
 x − 4 = 7  x = 53
 x − 4 = −3

CHĂM CHỈ – THÀNH TÀI – MIỆT MÀI – TẤT GIỎI

Vậy x = 53 .
b.
 x−4 +1= 2 x−4 −3
 x − 4 + 2. x − 4 + 2 = 2 x − 4 − 3
 x−4 = 4


3



PT  2 x − 4 − 3  0
  x−4 

 x = 20
25
2
x − 4  0

x 

4

x  4


c. Điều kiện: x 

3
2

PT  x2 = 2x − 3 + 2 2x − 3 + 1 

(

)

2

2x − 3 + 1 = x2  2x − 3 = x − 1  x = 2

Vậy x = 2 .
2 x − 5  0
5
5
5
 x x  x
d. Điều kiện: 
2
3
2
3x − 5  0

PT  ( 2x − 5 ) − 2 2x − 5 + 1 + ( 3x − 5 ) − 4 3x − 5 + 4  = 0 

 


 2x − 5 − 1 = 0
Như vậy 
 x = 3 (nhận)
3
x
−
5
−
2
=
0



(

)

e. PT  x 2 + 2 + 3 x 2 + 2 − 4 = 0

(1)  t

2

(1) đặt t =

(

) (
2

2x − 5 − 1 +

3x − 5 − 2

)

2

=0

x2 + 2 , t  2

+ 3t − 4 = 0  (t − 1)( t + 4 ) = 0  t = 1 (loại) hay t = −4 (loại)

Vậy phương trình vô nghiệm.

x  0
1
x

 x  . Đặt t =
,t  0
f. Điều kiện:  1
4
x
−

0
4
x
−
1
 4
x = 2 + 3
2
1
PT  t + = 2  t 2 − 2t + 1 = 0  t = 1  x = 4 x − 1  x 2 − 4 x + 1 = 0  ( x − 2 ) = 3  
t
 x = 2 − 3

So sánh với điều kiện, ta được: x = 2 + 3 và x = 2 − 3 .

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy|21

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968 373 054

Rèn luyện Toán 9 – Đại số
Ôn tập 2

Câu 1.
1

a.

+ 175 −

8+ 7

6 − 11

b.

22 − 2

+

6
2

−

6 2 −4
3− 2

3
2 +1

=

8− 7

(

8+ 7

12 − 2 11

=

44 − 2

)(

8− 7

+3 2 −

)

+ 52.7 − .

3

(

(

2 −1

)(

2 +1

)

(

2 2 3− 2
3− 2

)

2 −1

=

)=4

1
+3 2 −3
2

7

(

)

2 −1 =

Câu 2. Giải các phương trình
a.

 x  2
 x − 2  0
x2 − x − 2 = x − 2   2

x=2
 x − x − 2 = x − 2  x ( x − 2 ) = 0

b.

x + 3 + 2 − x = 5 , điều ki...