Chuyên đề: TỔNG CÁC GÓC TRONG MỘT TAM GIÁC
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định lí tổng ba góc của một tam giác

A

Tổng ba góc của một tam giác bằng 180o.
có

C

B

2. Áp dụng vào tam giác vuông

B

Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông.
Định lý: Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau. Tam
giác
vuông tại
là phụ nhau.

nên

. Khi đó, hai góc nhọn được

gọi

C

A

vuông tại
3. Góc ngoài của tam giác

A

Định nghĩa: Góc ngoài của tam giác là góc kề bù với
một góc của tam giác ấy.
Tính chất: Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng
hai góc trong không kề với nó.
có

B

là góc ngoài đỉnh

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính số đo của một góc, so sánh các góc
I. Phương pháp giải:
* Lập các đẳng thức thể hiện:
+ Tổng ba góc của tam giác bằng

.

+ Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.
+ Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
* Sau đó tính số đo góc phải tìm.
II. Bài toán.
Ví dụ: Tính số đo x, y trong các hình vẽ sau:

Hướng dẫn giải
1

C

x

a) Xét

có

b) Xét ∆ABC có y là góc ngoài tại đỉnh C.
Suy ra

.

Lại có

(hai góc kề bù).

Suy ra

.
Bài 1:

Cho tam giác ABC có

và

.

a) Tính số đo các góc B, C của ∆ABC.
b) Gọi AD là tia phân giác của
của

. Tính số đo

.

Lời giải
a) Xét ∆ABC có
Theo giả thiết
Mặt khác
Suy ra:

.
nên

.

(giả thiết).
.
.

b) Do AD là tia phân giác góc
Xét ∆ACD có

nên

.

là góc ngoài đỉnh D nên

.
Bài 2:

2

Cho ∆ABC có

.

a) Tam giác ABC là tam giác gì?
b) Gọi AD là tia nằm giữa hai tia AB và
AC . Biết

.

Tính số đo của

.
Lời giải

a) Xét ∆ABC có
.
Do

nên tam giác ABC là tam giác có một góc tù.

b) Theo giả thiết, ta có

.
Xét ∆ADB có

là góc ngoài đỉnh D nên

.
Bài 3:

Tam giác ABC có số đo

. Góc C có số đo bằng

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Xét ∆ABC có

.
Bài 4:

Cho tam giác ABC vuông tại B. Kết luận nào sau đây là sai?
A.

.

B.

3

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Vì tam giác ABC vuông tại B nên
C.

sai vì

(A đúng);

nên

(B và D đúng).

.
Bài 5:

Cho tam giác MNP có

. Biết

. Số đo của

A.

.

B.

C.

.

D.

bằng
.
.

Lời giải
Xét ∆MNP có
Mặt khác

.
. Suy ra

.
Bài 6:

Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Một tam giác chỉ có tối đa hai góc nhọn.
B. Một tam giác chỉ có nhiều nhất một góc tù.
C. Trong một tam giác, có ít nhất hai góc có số đo nhỏ hơn 60°.
D. Trong một tam giác, số đo của mỗi góc luôn nhỏ hơn tổng số đo các góc còn lại.
Lời giải
A. Sai vì luôn tồn tại tam giác có ba góc nhọn. Ví dụ tam giác có ba góc bằng 60°.
B. Đúng. Giả sử tam giác có nhiều hơn 1 góc tù. Khi đó tổng ba góc trong tam giác lớn hơn
180° (mâu thuẫn với định lí tổng 3 góc trong tam giác).Vậy trong tam giác có nhiều nhất một
góc tù.
C. Sai. Thật vậy xét tam giác ABC có
thuẫn với định lí tổng 3 góc trong tam giác).
D. Sai. Thậy vậy, xét ∆ABC có

. Khi đó

tù. Khi đó góc ngoài

4

(mâu

tại A là góc nhọn. Ta có

(mâu thuẫn vì góc tù luôn lớn hơn góc nhọn).
Bài 7:
Cho tam giác ABC có

và

. Số đo của góc C bằng

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
∆ABC có

.

Mặt khác

nên

.

Bài 8:
Cho tam giác ABC có
. Biết góc B có
số đo lớn hơn số đo góc C là 15o.
a) Tính số đo các góc B và C của tam giác
ABC.
b) Gọi BD là tia phân giác của
. Tính số đo của

với

.
Lời giải

a) Xét ∆ABC có

.

Mà

.

(giả thiết) nên

b) Do BD là tia phân giác góc ABC nên

.

5

Xét ∆BCD có

là góc ngoài đỉnh D nên

.
Bài 9:

Cho tam giác ABC có AD, BE lần lượt là tia
phân
giác
trong
các
góc
Biết AD cắt BE tại K và
. Tính số đo các góc A,
B, C của tam giác ABC.
Lời giải
Ta có
Do AK là phân giác của

nên

và

.

Xét ∆ABK có

Mà BK là phân giác của

nên

.

Xét ∆ABC có

.

Vậy ∆ABC có

.

Bài 10:
Cho tam giác ABC. Tính số đo các góc còn lại của tam giác biết
A.

và

B.
C.

.
.

và
Lời giải

Xét ∆ABC có

.

6

a) Có

nên

.

b) Theo giả thiết

.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Suy ra

.

c) Do

nên ta có

Từ giả thiết

.

.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Suy ra

.
Bài 11:

Tính số đo

trong hình vẽ dưới đây

x

70°
35°

120°
Hình 1

60°

y
Hình 2

Lời giải
Hình 1:
Ta có:

(định lý tổng ba góc trong một tam giác)
. Vậy

Hình 2:
Ta có:

(định lý tổng ba góc trong một tam giác)
. Vậy

7

Bài 12:
Tính số đo

trong hình vẽ dưới đây

90°

55°

x

Lời giải
Cách 1:
Ta có:

(định lý tổng ba góc trong một tam giác)
. Vậy

Cách 2:
Ta có

(trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau)
. Vậy
Bài 13:

Tính số đo

trong hình vẽ dưới đây

70°

65°

x

Lời giải
Ta có:

(góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó)
. Vậy

Bài 14:
Tính số đo
dưới đây

trong hình vẽ

x

72°

105°
x

x

x

x

x

40°

y

Hình 2

Hình 1

Hình 3

Lời giải
Hình 1:
8

Ta có:

(định lý tổng ba góc trong một tam giác)
. Vậy

Hình 2:
Ta có:

(định lý tổng ba góc trong một tam giác)
. Vậy

Hình 3:
Ta có:

(hai góc kề bù)
. Vậy

Ta có:

(định lý tổng ba góc trong một tam giác)
. Vậy
Bài 15:

Tính số đo

trong hình vẽ

sau: Biết

F

A
x

30°

và
x
B

D

x

E
C

80°
H

Lời giải
Hình 1
Xét

có

(tính chất tam giác vuông)

Ta lại có
Trong

.
ta có

.

Mà

.

Hình 2
Ta có

(hai góc kề bù).

9

y

135°
G

m

Xét

có:
(định lý tổng ba góc trong một tam giác)

Ta lại có

(góc ngoài của tam giác).

Bài 16:
Cho hình vẽ. Chứng minh rằng:

D

B

40°

50°

A

Lời giải
Xét

có
(tính chất tam giác vuông)

Xét

có

.
(tính chất tam giác vuông)

Lại có
Mặt khác
Hay
Bài 17:
Tính các góc của

, biết:

và
Lời giải

10

C

E

Xét

có

.

Mà
Lại có:

Bài 18:
Tính các góc của tam giác
a)

.

biết:
b)

.
Lời giải

a)

.

Ta có

.

Mà

.

b)

.

Ta có
Mà

.
Bài 19:

Cho tam giác
cắt

tại

, tia phân giác
. Tính góc

của góc
biết

.

Lời giải

11

Ta có

Vì

(định lý tổng 3 góc của một tam giác)

là tia phân giác của góc

Ta lại có

nên

.

(định lý tổng 3 góc của một tam giác)
.
Bài 20:

Cho
a)

. Tính các góc của tam giác biết
.

b)

.
Lời giải

a) Áp dụng định lí tổng 3 góc trong một tam giác ta có:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

.
b) Ta có

Áp dụng định lí tổng 3 góc trong một tam giác ta có:

12

Bài 21:
Cho

biết

.

a) Tính các góc của tam giác
b) Tia phân giác ngoài tại
Tính

.
cắt

tại

.

.
Lời giải

a) Từ

suy ra:
mà 

( tổng 3 góc trong một tam giác)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

.
b) Ta có

13

(mà

là phân giác ngoài tại

nên

)

Ta có

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
x

Tính số đo
trong
hình vẽ dưới đây

y

125°

35°

65°

55°

Hình 1

Hình 2

Lời giải
Xét H1:
Ta có:

(định lý tổng ba góc trong một tam giác)
. Vậy

Xét H2:
Ta có:

(định lý tổng ba góc trong một tam giác)
. Vậy
Bài 2:

Tính số đo
vẽ dưới đây

trong hình

A

y

40° 40°

60°

40°

x
B

Hình 1

70°

x

y

D
Hình 2

Lời giải
14

C

Hình 1:
Ta có:

(hai góc kề bù)
.

Vậy
Ta có:

(góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó)
.

Vậy
Hình 2:
Ta có:

(góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó)
.

Vậy
Ta có:

(định lý tổng ba góc trong một tam giác)
.

Vậy
Bài 3:
Cho
a)

. Tính các góc của tam giác biết
.

b)
Lời giải

a)

, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

15

- Xét

, áp dụng định lý tổng 3 góc trong một tam giác ta được :

b)
- Xét

, áp dụng định lý tổng 3 góc trong một tam giác ta được:

Ta có:

, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

Bài 4:
Cho tam giác
có số đo bằng

A

có góc ngoài tại đỉnh
và

y

.
I

a) Tính các góc

.

b) Hai tia phân giác của góc
tại

. Tính góc

B

và

x

cắt nhau

.

16

C

m

Lời giải
a) Tính các góc

.

Ta có góc ngoài tại đỉnh

có số đo bằng

Ta lại có

nên

.

.

Mà

.

b) Hai tia phân giác của góc

và

Do tia

là tia phân giác của góc

Do tia

là tia phân giác của góc

cắt nhau tại

. Tính góc

.

.

Ta lại có

.

17

Dạng 2: Các bài toán chứng minh góc
Phương pháp giải:
Sử dụng linh hoạt các tính chất về góc của một tam giác, góc ngoài tại một đỉnh hay tính chất tia
phân giác của góc
Bước 1. Áp dụng tính chất tổng ba góc trong tam giác, tính góc trong yêu cầu của bài toán.
Bước 2. Kết hợp tính chất đường phân giác để chứng minh hệ thức.
Ví dụ: Cho tam giác MNP. Các đường phân giác trong các góc M, P cắt nhau tại I.
Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải

Xét ∆MIP có

Lại có:
(do MI là phân giác của

).

(do PI là phân giác của

).

Suy ra

. (1)

Mặt khác, xét ∆MNP có

18

(2)
Thế (2) vào (1), ta được

(điều phải chứng minh)
Bài 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A và
.
a) Chứng minh

.

b) Tia phân giác của

cắt CH tại K.

Chứng minh
Lời giải
a) Xét ∆ABC có

.

Xét ∆ABH có

.

Suy ra
(điều phải chứng minh).
b) Ta có AK là tia phân giác của
Mà

nên

.

(chứng minh câu a) nên suy ra

(1).
Mặt khác

là góc ngoài đỉnh K của ∆AKC nên

19

hay

(2)

Từ (1) và (2) ta có

(điều phải chứng minh)
Bài 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A . Kẻ AH vuông
góc với BC
. Các tia phân giác góc
ABC và góc HAC cắt nhau tại I. Chứng minh
rằng

.
Lời giải

Xét ∆ABC vuông tại A có

. (1)

Xét ∆AHC vuông tại H có

. (2)

Từ (1) và (2), ta có
Lại có

.
(do BI là phân giác của

Suy ra

);

(do

).

Xét ∆ABI có:
Mà
Suy ra

(do AI là phân giác của

.
.
(điều phải chứng minh).
Bài 3:

20

Cho tam giác ABC có BD , CE lần lượt là tia
phân giác các góc B, C. Gọi I là giao điểm của
BD và CE.

a) Chứng minh rằng
b) Biết

.

. Tính số đo của

c) Tính số đo của

.

biết số đo góc

trung bình cộng của hai góc

là
.
Lời giải

a) Ta có
).

(do BI là tia phân giác

Xét ∆IBC có

),

(do CI là tia phân giác

.

Suy ra

(1)

Xét ∆ABC có

(2)

Thế (2) vào (1) ta có:
(điều phải chứng minh).
b) Từ chứng minh câu a, ta có:
Mà ta có
c) Do

.

(hai góc kề bù). Suy ra

.

có số đo là trung bình cộng số đo của

và

hay
Mà

nên

.

21

nên

Áp dụng chứng minh ở ý a ta có:

.
Bài 4:

Cho tam giác ABC và đường cao AH
. Biết rằng

.

a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác
vuông.
b) Biết rằng số đo góc

bằng trung bình

cộng của hai góc
góc của tam giác ABC.

. Tính số đo các
Lời giải

a) Xét ∆AHC vuông tại H có
Theo giả thiết, ta có

(1)
hya

Theo (1), ta có:

.

Vậy tam giác ABC vuông tại A.
b) Do số đo góc

bằng trung bình cộng của hai góc

.

nên ta có

(2)

Tam giác ABC vuông tại A nên

Từ (2) và (3) ta có:
Giải phương trình ta tìm được
Vậy ∆ABC có

,

. (3)

.
. Khi đó, ta có
.

Bài 5:
22

.

Cho
với

có
(

. Kẻ
). Kẻ

A

vuông góc

vuông góc với

1

2

D

. Gọi

là giao điểm của

. Chứng minh:

và
E

.

1

2

H
C

B

Lời giải
Trong

vuông tại

, ta có:

Trong

vuông tại

, ta có:

(hai góc phụ nhau) (1)
(hai góc phụ nhau) (2)

Cộng (1) với (2) vế theo vế, ta có:
Suy ra
Bài 6:
Cho góc

, điểm

vuông góc với
với

(

thuộc tia

(

), kẻ

), kẻ

x

. Kẻ

C

vuông góc

vuông góc với

A

(
O

).

B

Chứng minh:

và

.

D

Lời giải
+ Ta có:
+ Ta có:

(cùng phụ với

)

(gt)

Suy ra
Suy ra

(đồng vị)

23

y

Bài 7:
Cho
tại
minh:

vuông tại . Vẽ
. Vẽ

B

vuông góc với

là tia đối của tia

. Chứng
H

1.
2.

x

và

C

A

bù nhau
Lời giải

1. Xét
Xét

, ta có
, ta có

Mà

nên

.

2. Tương tự câu a, ta có
Mà

kề bù với

nên

bù với
Bài 8:

Cho

vuông tại

, điểm

tam giác đó. Chứng minh

B

nằm trong
là góc tù.

E
A

Lời giải
Gọi

là giao điểm của

Xét

ta có:

Xét

ta có:

và

24

K

C

Từ

suy ra:
là góc tù.

Bài 9:
Cho tam giác

có

.Vẽ phân giác

.

a) Chứng minh
b) Đường thẳng chứa tia phân giác góc ngoài đỉnh
của tam giác

, cắt đường thẳng

tại

Chứng minh rằng:
Lời giải
a) Sử dụng tính chất góc ngoài.
Ta được:

b) Ta có

Mà

. Từ đó suy
Bài 10:

25

.

Cho tam giác

vuông tại

đường thẳng vuông góc với
giác của góc

cắt

ở

. Gọi
tại

là

B

. Tia phân

và cắt d ở

d

.
A

Chứng minh rằng

C

D

E

Lời giải

Ta có:
Suy ra

.

Bài 11:
Cho tam giác

vuông tại

vuông góc với

tại

của

và

. Các tia phân giác

cắt nhau tại

rằng

. Kẻ

. Chứng minh

.

Lời giải
Ta có

,

Nên
Mà
Xét tam giác

lần lượt là tia phân giác của

và

và
(cùng phụ với

) nên

có:

26

(định lý tổng 3 góc của một tam giác)

.
Bài 12:
Chứng minh rằng: Tổng ba góc ngoài ở ba
đỉnh của một tam giác bằng

z

.

C

A
x

B

y

Lời giải
Giả sử : Xét

, cần chứng minh

Ta có:

Cộng vế theo vế ta có

Mà

Cách khác: Dựa vào tính chất góc ngoài tam giác, tính số đo từng góc ngoài
tương tự.
Bài 13:

27

và thực hiện

Tam giác ABC có

. Tia phân giác

A

4

2

3 1

cắt BC tại D.
a) Chứng minh

.

1

E

2

C

D

B

b) Đường thẳng chứa tia phân giác góc
ngoài ở đỉnh A của tam giác ABC cắt
đường thẳng BC tại E. Chứng minh rằng
.
Lời giải
a)

có
có

Mà
b)

;
;

nên
có

có:

.
(góc ngoài tam giác)

(góc ngoài)
hay

.
Bài 14:

Cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam
giác.
a) Chứng minh rằng

A

O

.
2
B

b) Biết
và tia BO là tia
phân giác của góc B. Chứng minh rằng tia CO
là tia phân giác của góc C.

có

1

2

2
1

1

x

Lời giải
a)

2

1

(góc ngoài tam giác).

28

C

có

(góc ngoài tam giác).
Hay

.

b) Từ

mà BO là tia phân giác của
nên
suy ra
Hay CO là tia phân giác của góc

.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
Cho hình vẽ dưới đây.
Chứng minh

F

A

biết rằng:
B

C

Lời giải
Ta có:

là góc ngoài của

Hai góc trong cùng phía

có tổng bằng

29

D

E

Bài 2:
C

Cho hình vẽ sau. Chứng minh rằng:

H
B

A

K

Lời giải
có

;

có

(cùng phụ

)
Bài 3:

Cho tam giác

có

đường thẳng đi qua

. Gọi

. Kẻ

rằng

A

và vuông góc với

Tia phân giác của góc
ở

E

là

cắt

ở

vuông góc với

.

1

và cắt

1

. Chứng minh

là tia phân giác của góc

B

.
Lời giải

Ta có:

;

mà
CMTT
Mà
là phân giác của

H

.
Bài 4:

30

2

1

D
2
1
C

Cho tam giác

có

, gọi
. Lấy điểm

E

là một

điểm nằm giữa

và

tia đối của tia

. Chứng minh rằng góc

1

thuộc

2
B
1

2

là góc nhọn.
A

Lời giải
Chứng minh

( tính chất góc ngoài của tam giác)
.

31

D

C