CHUYÊN ĐỀ: ĐỊNH LÍ. CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ
A. Lý thuyết
1. Định lí: Giả thiết và kết luận của định lí:
Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết. Mỗi định lí thường
được phát biểu dưới dạng: “ Nếu … thì …”
Phần giữa từ “nếu” và từ “thì” là giả thiết của định lí.
Phần sau từ “thì” là kết luận của định lí.
2. Thế nào là chứng minh định lí
Chứng minh một định lí là dùng lập luận để từ giả thiết và những khẳng định đúng đã biết để suy
ra kết luận của định lí.
B) Các dạng toán
Dạng 1: Xác định giả thiết và kết luận của định lí
I. Phương pháp giải:
Mỗi định lí thường được phát biểu dưới dạng: “ Nếu … thì …”
Phần giữa từ “nếu” và từ “thì” là giả thiết của định lí.
Phần sau từ “thì” là kết luận của định lí.
II. Bài toán.
Bài 1:
Hãy nêu giả thiết và kết luận của định lí sau: “ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với
một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”
Lời giải
Giải thiết là: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba
Kết luận là: chúng song song với nhau.
Bài 2:
Hãy phát biểu phần còn thiếu của giả thiết trong định lí sau: “ Hai góc ... thì bằng nhau”
Lời giải
Phần thiếu là: đối đỉnh

Bài 3:
Hãy phát biểu phần còn thiếu của kết luận trong định lí sau: “ Hai đường thẳng phân biệt cùng
song song với một đường thẳng thứ ba thì ...”
Lời giải
1

Phần thiếu là: chúng song song với nhau.

Bài 4:
Vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận của định lí :
“ Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng
song song thì hai góc so le trong bằng nhau”

c

a

b

1

B

A

1

a // b
Lời giải
GT

cắt

và

;

KL

Bài 5:
Hãy phát biểu định lí được diễn tả bằng hình
vẽ sau:

c

a
b

1

C
D

1

Lời giải
Nếu đường thẳng

cắt hai đường thẳng phân biệt

góc đồng vị bằng nhau thì

và

song song với nhau.

2

. Và trong các góc tạo thành có một cặp

Bài 6:
Vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận của định lí :
“ Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề
bù là một góc vuông ”

y

m

n

O

x

z

Lời giải
GT

và

kề bù

là tia phân giác của
là tia phân giác của
KL

Bài 7:
c

Phần giả thiết:
4

a

(tham khảo hình vẽ) là của

1

3
A

2

định lý nào ?
2

b
1

B

3

4

Lời giải
Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành hai góc trong cùng phía bù nhau thì
hai đường thẳng đó song song.
Bài 8:

3

Định lí “ Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” có
định lí đảo không ? Vẽ hình minh họa.

G
H

K
I

Lời giải
Định lí “ Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” không có định lí đảo .
Hai góc bằng nhau nhưng không đối đỉnh.
Bài 9:
Phát biểu định lí đảo của định lí sau: “ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một
đường thẳng thứ ba thì chúng song song nhau”
Lời giải
Định lí đảo “ Hai đường thẳng phân biệt song song nhau thì chúng cùng vuông góc với đường
thẳng thứ ba”
Bài 10:
Cho hình vẽ với GT và LK sau. Có thể rút ra
định lí nào.

c
A

n
C
m

B
Lời giải
GT

,
là phân giác của
là phân giác của

KL

4

a

b

Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì góc tạo bỡi hai tia phân giác
của hai góc trong cùng phía là một góc vuông.

Bài 11:
Cho định lí: “Qua một điểm nằm ngoài một b
đường thẳng chỉ có một đường thẳng song
song với đường thẳng đó”, kết luận của định lí
ứng với hình vẽ dưới đây là:

A

a

Lời giải
Kết luận là: b đi qua A
Bài 12:
Cho định lí: “Nếu một góc có hai cạnh là
hai tia phân giác của hai góc kề bù thì đó
là góc vuông”, kết luận của định lí ứng
với hình vẽ dưới đây là:

m
t

z

O

x

Lời giải
Kết luận là:
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
Hãy chỉ ra giả thiết và kết luận của định lí sau:
“ Nếu

là trung điểm của đoạn thẳng

thì
Lời giải

Giải thiết là:

là trung điểm của đoạn thẳng

5

y

Kết luận là:

.
Bài 2:

Điền vào chỗ trống để được định lí đúng:
Nếu

là tia phân giác của

thì...
Lời giải

Nếu

là tia phân giác của

thì

Bài 1:
Xác định giả thiết và kết luận của định lý sau:
“ Nếu hai góc

và

có một góc nhọn, một góc tù và

,

thì

”
Lời giải
Giả thiết: hai góc

và

có một góc nhọn, một góc tù và

,

Kết luận:
Bài 3:
Cho hình vẽ với GT và LK sau. Có thể rút ra
định lí nào.
GT

c

m
a

,
là phân giác của

A
C

b

là phân giác của

n

B

KL
Lời giải
Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì góc tạo bỡi hai đường phân
6

giác của hai góc ngoài cùng phía là một góc vuông.

Dạng 2: Chứng minh định lí
I. Phương pháp giải:
Chứng minh một định lí là dùng lập luận để từ giả thiết và những khẳng định đúng đã biết để suy
ra kết luận của định lí.
II. Bài toán.
Bài 1:
Chứng minh định lí là gì ?
Lời giải
Chứng minh một định lí là dùng lập luận để từ giả thiết và những khẳng định đúng đã biết để
suy ra kết luận của định lí.
Bài 2:
Chọn đáp án đúng nhất trong các phát biểu sau:
Khi chứng minh một định lí người ta cần:
a) Chứng minh định lí đó đúng trong một trường hợp cụ thể của giả thiết.
b) Chứng minh định lí đó đúng trong hai trường hợp cụ thể của giả thiết.
c) Chứng minh định lí đó đúng trong mọi trường hợp có thể xảy ra của giả thiết.
d) Chứng minh định lí đó đúng trong vài trường hợp cụ thể của giả thiết.
Lời giải
c) Chứng minh định lí đó đúng trong mọi trường hợp có thể xảy ra của giả thiết.

7

Bài 3:
Phát biểu sau có phải là một định lí . “Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai đường
thẳng cắt nhau thì song song với đường thẳng kia”
Lời giải
Không

Bài 4:
Diễn đạt bằng lời định lí sau:

c
H

a

1

b

I

1

Lời giải
Nếu hai đường thẳng bị một đường thẳng thứ ba cắt và chúng tạo thanh một cặp góc trong cùng
phai bù nhau thì hai đường thẳng đó song song với nhau
Bài 5:

8

Hãy sắp xếp các ý sau để hoàn thiện bài toán
chứng minh định lí “ Hai góc đối đỉnh thì bằng
nhau.

a

b

4

1/ Và

( vì kề bù)

3

2

O1

2/ Vậy
3/ Có:

( vì kề bù)

4/ Suy ra :
Lời giải
3/ Có:

( vì kề bù)

1/ Và

( vì kề bù)

4/ Suy ra :
2/ Vậy
Bài 6:
Cho

là tia phân giác của

song song với

,

và

B

. Vẽ
là hai góc

so le trong. Chứng minh rằng

D
C
Lời giải

Chứng minh:
Có:

( vì

E

là tia phân giác của

( vì hai góc so le trong,

)
)

9

A

Từ (1) và (2) suy ra
Bài 7:
Cho hình vẽ biết

và

.

E

A

C

D

Chứng minh rằng

G

B

F

Lời giải
Có
Và

có vị trí so le trong.

Do đó:
Lại có
Vậy
Bài 8:
Ghi giả thiết kết luận và chứng minh định lý “ Hai góc cùng phụ với một góc thứ ba thì bằng
nhau”
Lưu ý hai góc phụ nhau có tổng số đo bằng
Lời giải
GT

,

KL
Chứng minh:
Ta có

Suy ra

10

Do đó
Vậy “Hai góc cùng phụ với một góc thứ ba thì bằng nhau”

Bài 9:
Chứng minh định lí sau: “ Hai tia phân giác
của hai góc đối đỉnh là hai tia đối nhau”

x

y'

t

1
2

y

3
4

O

t'
x'

Lời giải
Ta có:
(

Vậy

Chứng

và

vì đối đỉnh)

là hai tia đối nhau

minh
có

rằng

nêu

hai
và

góc

Bài 10:
nhọn

y'

thì

y

O
Lời giải
11

2
1

O'

2
1

x

x'

GT

nhọn

KL
Chứng minh:
Vẽ tia

, ta có:
( vì

đồng vị ,

( vì

đồng vị ,

)
)

Suy ra
Vậy
Bài 11:
Chứng minh rằng: Nếu ba điểm A,B,C thẳng hàng và A không nằm giữa B và C thì khoảng
cách từ điểm A đến trung điểm M của đoạn thẳng BC bằng nửa tổng của hai đoạn thẳng AB và
AC, tức là

Lời giải
GT

Ba điểm A,B,C thẳng hàng và A không nằm giữa B và
C
M là trung điểm của đoạn thẳng BC

KL

Vì điểm

không nằm giữa hai điểm

Trường hợp 1: điểm

và

nằm giữa hai điểm

nên có hai trường hợp:
và

12

A

B

C

M

Khi đó
Và
( Vì

Trường hợp 2: điểm

là trung điểm của

)

nằm giữa hai điểm

và

A

C

B

M

Khi đó
Và
( Vì

là trung điểm của

)

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 12:
Cho hai góc kề bù
phân giác của
vuông góc với tia

và
. Trong góc

. Gọi

y

là tia

t

vẽ tia

. Chứng minh rằng

t'

là

x
O

tia phân giác của

13

z

Lời giải
GT

và

kề bù.

là tia phân giác của
Trong góc
KL

vẽ tia

Chứng minh rằng

vuông góc với tia

.

là tia phân giác của

Có

Và

( vì

là tia phân giác của

)

Suy ra
Vậy

là tia phân giác của

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
Phát biểu định lí đảo của định lí: “ Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc
vuông”
Lời giải
Góc tạo bỡi hai tia phân giác của hai góc kề nhau là góc vuông thì hai góc đó là hai góc kề bù.

Bài 2:

14

Hãy sắp xếp các ý sau để hoàn thiện bài toán
chứng minh định lí “ Góc tạo bỡi hai tia phân
giác của hai góc kề bù là một góc vuông”

B

N

M

1/ Do đó

2/

C

(vì OM là tia phân giác của
)

3/

(Vì ON là tia phân giác của
)

4/

Lời giải
Sắp xếp

2/

( vì OM là tia phân giác của

3/

( vì ON là tia phân giác của

)

)

4/
1/ Do đó

Bài 3:

15

O

A

Hãy vẽ hình nêu giả thiết và kết luận và chứng
minh bài toán sau: “ Cho
của

. Gọi

E

là tia phân giác

là góc đối đỉnh của

Chứng minh rằng

.

A

G

”

B
D
C

Lời giải
GT

là tia phân giác của

.

đối đỉnh với
KL
Chứng minh:
Có:

( vì

là tia phân giác của

)

( vì hai góc đối đỉnh)
Từ (1) và (2) suy ra
Bài 4:
Chứng minh rằng nêu hai góc tù

có
Lời giải

GT

tù

KL
Vẽ tia

, ta có:
( vì

đồng vị ,

)

16

và

thì

( vì

đồng vị ,

)

Suy ra
Vậy

17