Giáo án Toán 11 Cánh diều
CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 1: GÓC LƯỢNG GIÁC. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG
GIÁC (3 TIẾT)
I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức, kĩ năng:
Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
-

Nhận biết được các khái niệm cơ bản về góc lượng giác.

-

Nhận biết khái niệm giá trị lượng giác của một góc lượng giác.

-

Mô tả bảng giá trị lượng giác của một số góc lượng giác thường gặp; hệ thức cơ
bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác; quan hệ giữa các giá trị
lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt: bù nhau, phụ nhau, đối
nhau, hơn kém nhau π.

-

Sử dụng được máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc lượng
giác khi biết số đo góc ấy.

2. Năng lực
Năng lực chung:
-

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá.

-

Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm.

-

Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng:
-

Tư duy và lập luận toán học: xác định được các góc lượng giác và số đo của nó
căn cứ vào hình biểu diễn, xác định được các giá trị lượng giác của góc lượng
giác,...

-

Mô hình hóa toán học, giải quyết vấn đề toán học thông qua các bài toán thực
tiễn gắn với giá trị lượng giác của góc lượng giác.

-

Giao tiếp toán học: hình minh họa các góc lượng giác, đọc được số đo góc lượng
giác, nhận biết tính chất góc lượng giác,..

-

Sử dụng công cụ, phương tiện học toán: Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị
lượng giác của một góc lượng giác, sử dụng đồ dùng dạy học để minh họa góc
lượng giác.

3. Phẩm chất
-

Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc
nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.

-

Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức
theo sự hướng dẫn của GV.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
1. Đối với GV: SGK, Tài liệu giảng dạy, giáo án, đồ dùng dạy học.
2. Đối với HS: SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước...), bảng
nhóm, bút viết bảng nhóm.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)
a) Mục tiêu:
- Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.
b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.
c) Sản phẩm: HS trả lời được câu hỏi mở đầu, bước đầu có hình dung về nội dung bài
học.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu:
Trên mặt chiếc đồng hồ, kim giây đang ở vị trí ban đầu chỉ vào số 3 (Hình 1). Kim giây
1

quay ba vòng và một phần tư 1 vòng (tức là 3 4 vòng) đến vị trí cuối chỉ vào số 6. Khi
quay như thế, kim giây đã quét một góc với tia đầu chỉ vào số 3, tia cuối chỉ vào số 6.

- GV nêu câu hỏi: Góc đó gợi nên khái niệm gì trong toán học? Những góc như thế có
tính chất gì?
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm hoàn
thành yêu cầu.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS
vào bài học mới: “Để giải quyết được vấn đề trên và những vấn đề mở rộng hơn, chúng
ta cùng tìm hiểu phần nội dung của bài học ngày hôm nay”.
Bài mới: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác.
B. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
Hoạt động 1: Góc lượng giác.
a) Mục tiêu:
- Nhận biết được khái niệm góc lượng giác, xác định được số đo của góc lượng giác và
tính chất. Phân biệt giữa góc lượng giác và góc hình học.
- Nhận biết được các đơn vị đo góc và mối quan hệ giữa chúng.
- Nhận biết hệ thức Chasles.
b) Nội dung:
HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ làm các HĐ1, 2,
3, 4, 5, Luyện tập 1, 2, 3, 4, 5, đọc hiểu các Ví dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS nhận biết được khái niệm góc lượng giác và xác định được số đo của góc lượng
giác, thiết lập được mối quan hệ giữa độ và radian.
d) Tổ chức thực hiện:

HĐ CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
1. Góc hình học và số đo của chúng

Nhiệm vụ 1: Nhắc lại khái niệm góc HĐ1
hình học và số đo của chúng.

Góc (còn được gọi là góc hình học) là hình

- GV cho HS thực hiện đọc - hiểu gồm hai tia chung gốc. Mỗi góc có một số đo,
HĐ1.

đơn vị đo góc (hình học) là độ. Số đo của một
góc (hình học) không vượt quá 180°. Chẳng

+ GV có thể lấy thêm ví dụ về góc và hạn: Góc xOy gồm hai tia Ox và Oy chung
số đo của một góc (hình học) cho HS gốc O có số đo là 60° (hình vẽ).
quan sát.

- Nếu trên đường tròn, ta lấy một cung tròn
- GV giới thiệu về đơn vị đo radian
cho HS.

- GV đặt các câu hỏi gợi mở về mối
quan hệ giữa độ và radian, từ đó thiết
lập công thức chuyển đổi giữa chúng.

có độ dài bằng bán kính thì góc ở tâm chắn
cung đó gọi là góc có số đo 1 radian (hình 2).
- 1 radian còn được viết tắt là 1 rad.

+ Độ dài của nửa đường tròn lượng
giác bằng bao nhiêu?

- Độ dài nửa đường tròn: πR.

+ Nửa đường tròn có số đo bằng bao
nhiêu (số đo góc và rađian)?

- Số đo góc nửa đường tròn:
πR

+ Rút ra công thức đổi đơn vị đo từ

180º bằng R rad ¿ π rad.

rađian sang độ và ngược lại?
- Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt - 1 rad =

( )

( )

o
π
180
o
và 1 = 180 rad .
π

kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của Nhận xét:
học sinh, GV chuẩn hóa lời giải để Ta biết góc ở tâm có số đo 180o sẽ chắn cung
hình thành kiến thức.

bằng nửa đường tròn (có độ dài bằng πR) nên
πR

số đo góc 180o bằng R rad=π rad .
Do đó, 1 rad =
- GV nhắc nhở HS về chú ý.

1o=

( )

180 o
o
≈ 57 17 ' 45 và
π

( 180π ) rad ≈ 0,0175rad

Chú ý
- Người ta thường không viết chữ radian hay
- GV hướng dẫn cho HS làm phần Ví
dụ 1.

π

rad sau số đo của góc. Chẳng hạn, 2 rad cũng
π

+ GV cho HS viết lại công thức đổi được viết là 2 .
đơn vị đo từ độ sang radian và từ Ví dụ 1: (SGK – tr.6).
radian sang độ.
Hướng dẫn giải (SGK – tr.6).
+ GV có thể làm ví dụ một phần cho
HS quan sát:
Đổi từ 30o sang số đo radian:
30o =30.

π
π
=
180 6

+ HS tự làm bài vào vở ghi.
- GV cho HS thảo luận nhóm đôi hoàn
thành Luyện tập 1.

+ GV quan sát và kiểm tra ngẫu nhiên
một số HS làm bài.

Luyện tập 1

+ GV mời một số HS đứng tại chỗ nêu Ta có:
đáp án.

18o =18.

π
π
π
2π
=
72o=72.
= ;
;
180 10
180 5

(
)
5 π 5 π 180
=
.
=150
6 ( 6
π )
o

2 π 2 π 180
o
=
.
=40 ;
9
9 π
o

Nhiệm vụ 2: Tìm hiểu góc lượng
giác và số đo của chúng.
- GV cho HS quan sát hình 3, đọc và
làm phần HĐ2
+ GV gọi 1 HS đứng tại chỗ trả lời
nhanh phần a và b.

o

Độ

18

40

Radian

π
10

2π
9

o

o

o

150

2π
5

5π
6

72

o

2. Góc lượng giác và số đo của chúng.
a) Khái niệm
HĐ2

→ GV giới thiệu thế nào là chiều âm,

chiều dương khi quay tia Om.

a) Chiều quay của kim đồng hồ ngược chiều
với chiều quay từ tia Om đến tia Ox trong
Hình 3a.
b) Chiều quay của kim đồng hồ cùng chiều
với chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong
Hình 3b.

- GV viết bảng hoặc trình chiếu phần
khung kiến thức trọng tâm cho HS
quan sát và ghi bài.

- Để khảo sát việc quay tia Om quanh điểm 0
trong mặt phẳng, ta cần chọn một chiều quay
gọi là chiều dương. Thông thường, ta chọn

chiều dương là chiều ngược chiều quay của
kim đồng hồ và chiều cùng chiều quay của
kim đồng hồ gọi là chiều âm.
- GV cho HS quan sát Ví dụ 2 và Kết luận
giảng chi tiết cách làm cho HS.

Cho hai tia Ou, Ov. Nếu tia Om quay chỉ

+ HS quan sát và ghi chép bài cần theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm)
thận.

xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov thì ta

- GV cho HS vận dụng kiến thức và tự nói: Tia Om quét một góc lượng giác với tia
làm Luyện tập 2.

đầu Ou và tia cuối Ov, kí hiệu là (Ou, Ov).

+ GV mời 2 HS đứng tại chỗ trình bày Ví dụ 2: (SGK – tr.7).
câu trả lời.

Hướng dẫn giải (SGK – tr.7).

+ HS vẽ hình và trình bày vào vở.
Luyện tập 2

- GV triển khai phần HĐ3 cho HS
quan sát và thực hiện.
+ GV lưu ý cho HS: Điều quan trọng
khi tìm số đo của một góc lượng giác
được quay bởi một tia Om, ta cần xác
định được chiều mà tia Om quay là
chiều âm hay chiều dương.

Trong Hình 4b, góc lượng giác là (Oz, Ot)
với tia đầu Oz và tia cuối Ot.
HĐ3
a)

+ GV hướng dẫn: Nếu tia quay được
đúng 1 vòng theo chiều dương thì ta
nói tia đó quay góc 360º, hai vòng thì
ta nói nó quay góc 720º và ngược lại.
+ GV cho HS suy nghĩ làm bài và mời
3 HS trình bày đáp án.

Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều

+ GV nhận xét và chốt đáp án cho HS. dương đúng một vòng thì tia đó quét nên một
góc 360°.
b)

Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều
dương ba vòng và một phần tư vòng (tức
1

là 3 4 vòng) thì tia đó quét nên một góc là
3

1
o
o
.360 =1170 .
4

c)

- GV đặt câu hỏi cho HS: Mọi góc
lượng giác đều có số đo. Điều này là Trong Hình 5c, tia Om quay theo chiều âm
đúng hay sai?

đúng một vòng thì tia đó quét nên một góc là
‒360°.

→ GV ghi bảng và giảng phần Nhận

xét cho HS.

Nhận xét
Khi tia Om quay góc α o thì góc lượng giác mà
πα

tia đó quét nên có số đo α o (hay 180 rad ). Vì

thế, mỗi một góc lượng giác đều có một số
đo, đơn vị đo góc lượng giác là độ hoặc
radian. Nếu góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo
bằng α thì ta kí hiệu là sđ(Ou, Ov) = α hoặc
- GV mời 1 HS đọc phần kết luận (Ou, Ov) = α .
trong khung kiến thức trọng tâm.

Kết luận
Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi

- GV cho HS làm Ví dụ 3 và nêu lại tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của góc đó.
cách biểu diễn hình.

Ví dụ 3: (SGK – tr.8).

- HS làm phần Luyện tập 3.

Hướng dẫn giải (SGK – tr.8).

+ GV mời 1 HS đứng tại chỗ nêu Luyện tập 3
hướng làm và 1 HS lên bảng làm bài.
+ GV đi quan sát HS làm bài, trợ giúp
nếu HS cần.

( )

−5 π
−π
Ta có: 4 =−π + 4

Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối
−5 π

Ov và có số đo 4
dưới đây:

- HV triển khai HĐ4 để HS hình
thành được kiến thức về sự khác biệt
giữa số đo của hai góc lượng giác.
+ HS đọc và suy nghĩ phần HĐ4.
+ GV mời 1 HS nêu ý kiến về câu hỏi
trong HĐ.

b) Tính chất
HĐ4

được biểu diễn ở hình vẽ

Hình 7
- Hình 7b:

Ta thấy chiều quay của tia Ou đến Ov là
chiều dương, mà Ou ⊥ Ov nên số đo của góc
lượng giác (Ou, Ov) ¿ 90 o.
- Hình 7c:

Ta thấy tia Ou quay một vòng từ Ou đến Ou,
rồi quay tiếp từ Ou đến Ov theo chiều dương.
Vậy số đo của góc lượng giác:
( Ou ,Ov )=360o + 90o=450o

- Hình 7d:

Ta thấy chiều quay của tia Ou đến Ov là

chiều âm và số đo góc lượng giác
( Ou ,Ov )=−270 o

Nhận xét:
Sự khác biệt giữa các góc lượng giác có cùng
+ GV nhận xét và giảng cho HS hiểu tia đầu và tia cuối chính là số vòng quay
được sự khác biệt của số đo hai góc quanh điểm O. Vì vậy, sự khác biệt giữa số
đó là bội nguyên của 360o khi tính đo của các góc lượng giác đó chính là bội
theo đơn vị độ, là bội nguyên của nguyên của 360° khi các góc đó tính theo đơn
2 π rad khi tính theo đơn vị radian vị độ (hay bội nguyên của 2 π rad khi các góc

thông qua phần Nhận xét trong SGK.

đó tính theo đơn vị radian).
Định lí
Nếu một góc lượng giác có số đo α o (hay α

- GV ghi bảng hoặc trình chiếu Định radian) thì mọi góc lượng giác có cùng tia
lí trong khung kiến thức trọng tâm cho đầu, tia cuối với góc lượng giác đó có số đo
HS.

dạng: α o +k 360o (hay α +k 2 π ), với k là số
nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k.
Ví dụ 4: (SGK – tr.9).
Hướng dẫn giải SGK – tr.9.

- GV cho HS thực hiện Ví dụ 4, và
hướng dẫn HS:
+ Áp dụng định lí, ta được:
α là số đo góc lượng giác có cùng tia

đầu và tia cuối với góc lượng giác có Luyện tập 4
số đo 60o .

Gọi α là số đo góc lượng giác có cùng tia đầu

- HS thảo luận nhóm đôi để thực hiện và tia cuối với góc lượng giác có số đo −4 π .
3
phần Luyện tập 4.
−4 π
α=
+k 2 π , k ∈ Z .
Ta
có:
+ HS chỉ định 2 HS lên bảng trình bày
3
bài giải.

HĐ5.

- GV cho HS đọc phần HĐ5 và quan
sát hình 8.
+ GV chỉ định 1 HS đứng tại chỗ trả
lời nhanh phần HĐ5.
Do tia Oy nằm trong góc xOz nên:
^
xOz= ^
xOy+ ^
yOz

- GV nhận xét câu trả lời, từ đó giới
thiệu về hệ thức Chasles (Sa -lơ) cho
HS.

Hệ thức Chasles:
Với ba tia tùy ý Ou ,Ov , Ow , ta có:
( Ou ,Ov )+ ( Ov ,Ow ) =( Ou, Ow ) +k 2 π ,
(k ∈ Z ).

Ví dụ 5: (SGK – 9).
- GV đặt câu hỏi hướng dẫn cho HS

Hướng dẫn giải (SGK – tr.9).

thực hiện Ví dụ 5:
+ Từ hệ thức Chasles ta có thể suy ra
được số đo lượng giác của từng góc
lượng giác (Ou, Ov); (Ov, Ow), (Ou,
Ow) hay không?
- GV mời 1 HS lên bảng trình bày bài
giải phần Luyện tập 5.
+ Các HS còn lại làm bài vào vở và

Luyện tập 5
Theo hệ thức Chasles, ta có:
( Ov , Ow )=( Ou ,Ow ) −( Ou, Ov ) +k 2 π
(k ∈ Z )

(

)

3 π −11 π
+ k 2 π ,(k ∈ Z )
đối chiếu đáp án với bài trên bảng và ⟺ ( Ov , Ow )= −

cho nhận xét.
+ GV chốt đáp án.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp
nhận kiến thức, hoàn thành các yêu
cầu, thảo luận nhóm.

4

⟺ ( Ov , Ow )=

4

7π
+k 2 π ,( k ∈ Z).
2

- GV quan sát hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình
bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung
cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng
tâm:
+ Đơn vị radian; Khái niệm góc lượng
giác và số đo của chúng.
+ Tính chất của góc lượng giác.
+ Hệ thức Chasles.
Hoạt động 2: Giá trị lượng giác của góc lượng giác.
a) Mục tiêu:
- HS nắm được khái niệm đường tròn lượng giác
- HS nhận biết và nắm được giá trị lượng giác của góc lượng giác, các góc lượng giác
đặc biệt.
- Biết sử dụng MTCT để tính toán giá trị lượng giác của một góc lượng giác.
b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú ý
nghe giảng, thực hiện hoạt động 6, 7, 8, 9, 10, 11; Ví dụ 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12; Luyện
tập 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS nhận biết được khái niệm đường tròn lượng giác và các giá trị lượng giác của
góc lượng giác.
d) Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
Nhiệm vụ 1: Tìm hiểu về đường tròn

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
1. Đường tròn lượng giác.

lượng giác.
- GV cần lưu ý cho HS: Trong mặt
phẳng toạ độ Oxy, ta quy ước: Chiều
ngược chiều quay của kim đồng hồ là
chiều dương và chiều quay của kim
đồng hồ là chiều âm. Như vậy, mặt
phẳng toạ độ Oxy đã được định hướng.
- GV cho HS đọc và thực hiện HĐ6.
+ GV mời 1 HS lên bảng vẽ hình câu a HĐ6
và 1 HS lên bảng trình bày câu b cho cả a) Đường tròn tâm O có bán kính bằng 1 (hình
lớp nghe và quan sát.

vẽ):

+ GV chốt đáp án và dẫn vào khung
kiến thức trọng tâm.

b) Chiều dương là chiều ngược với chiều quay
của kim đồng hồ; chiều âm là chiều quay của
kim đồng hồ.

- GV giới thiệu khái niệm đường tròn
lượng giác thông qua phần khung kiến
thức trọng tâm cho HS.
Khái niệm
Trong mặt phẳng tọa độ đã được định hướng
- GV đặt vấn đề: Dựa vào đường tròn Oxy, lấy điểm A(1; 0). Đường tròn tâm O, bán
lượng giác ở phần HĐ6a, các em hãy kính OA = 1 được gọi là đường tròn lượng
xác định điểm B(0; 1), A'(-1; 0), B'(0; - giác (hay đường tròn đơn vị) gốc A.
1) và cho biết chúng nằm ở vị trí nào?

Chú ý:

- GV cho HS đọc - hiểu Ví dụ 6 sau đó
chỉ định 1 HS đứng tại chỗ trình bày các
xác định điểm M trên đường tròn lượng
giác.
- GV cho HS suy nghĩ và thực hiện - Các điểm B(0; 1), A'(-1; 0), B'(0; -1) nằm
Luyện tập 6.
trên đường tròn lượng giác.
+ GV chỉ định 1 HS lên bảng trình bày Ví dụ 6: (SGK – tr.10).
lời giải.
Hướng dẫn giải (SGK – tr.10).
+ HS dưới lớp nhận xét bài làm trên Luyện tập 6
bảng.

−π

Ta có (OA, ON) = 3 là góc lượng giác có tia
đầu là tia OA, tia cuối là tia ON và quay theo
chiều âm (chiều quay của kim đồng hồ) một
π

góc 3 .
Điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho
−π

(OA, ON) = 3 được biểu diễn như hình dưới
Nhiệm vụ 2: Giá trị lượng giác của

đây:

góc lượng giác.
- GV yêu cầu HS thực hiện HĐ7
+ HĐ7a, GV yêu cầu 1 HS lên bảng vẽ
đường tròn lượng giác và xác định điểm
M.

2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác.
HĐ7
a) Ta có (OA, OM) = 60° là góc lượng giác có
tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và quay
theo chiều dương một góc 60°.
Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho
(OA, OM) = 60° được biểu diễn như hình vẽ
+ HĐ7b, GV mời 1 HS nhắc lại “tỉ số
lượng giác của góc nhọn” đã học ở lớp
9 và áp dụng để tính được hoành độ và

dưới đây:

tung độ điểm M.
+ Với hoành độ điểm M ta có:
o

x M =cos 60 . OM

+ Với tung độ điểm M ta có:
y M =sin 60o . OM

b)

- GV trình bày trường hợp Tổng quát
cho HS và giảng phần khung kiến thức
trọng tâm cho HS hiểu được giá trị
lượng giác của góc lượng giác.
Ta có:
o

o

x M =cos 60 . OM=cos 60 .1

- GV yêu cầu HS ghi chép bài đầy đủ
vào vở.

¿ cos 60 o=

1
2

y M =sin 60o . OM=sin60 o .1
3
¿ sin 60o = √
2

=> Hoành độ và tung độ điểm M lần lượt bằng
o
o
cos 60 và sin 60 .

Tổng quát:
Trong trường hợp tổng quát, với mỗi góc lượng

giác α , lấy điểm M trên đường tròn lượng giác
sao cho (OA, OM) = α
Gọi tọa độ của điểm M trong hệ tọa độ Oxy là
(x; y). Ta có các khái niệm sau:
Khái niệm
- GV hướng dẫn cho HS hiểu và thực - Hoành độ x của điểm M gọi là cosin của góc
hiện được Ví dụ 7.

lượng giác α và kí hiệu cos α , cos α =x .

+ Các em cần xác định được điểm M - Tung độ y của điểm M gọi là sin của góc
trên đường tròn lượng giác sao cho lượng giác α và kí hiệu sin α ,sin α = y .
( OA , OM )=α =120o.

+ Khi đó, gọi H và K là hình chiếu của

sin α

- Nếu cos α ≠ 0 thỉ tỉ số cos α gọi là tang của góc
sin α

M lên trục hoành và trục tung, ta sẽ lượng giác α và kí hiệu tan α , tan α = cos α
KOM từ ^
AOM .
tính được ^

+ Sử dụng hệ thức trong tam giác

cos α

- Nếu sin α ≠ 0 thì tỉ số sin α gọi là cotang của
cos α

vuông MKO, ta tính được tọa độ điểm góc lượng giác α và kí hiệu cot α ,cot α= sin α .
M chính là giá trị cos và sin của góc α

Ví dụ 7: (SGK – tr.11).

- GV cho HS tự thực hiện Luyện tập 7 Hướng dẫn giải (SGK – tr.11).
theo nhóm 3 người.
+ Các nhóm tự trao đổi, thảo luận để
đưa ra cách thực hiện và đáp án.
+ GV chỉ định 1 HS lên bảng vẽ hình và
làm bài.
+ GV nhận xét và chốt đáp án.

Luyện tập 7

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao
−π

o
cho ( OA , OM )=β = 4 =−45

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M
- GV gợi ý cho HS thực hiện HĐ8.

trên các trục Ox, Oy.
Khi

đó,

ta

có:

o
^
AOM=45 ,

suy ra
+ GV: Xác định điểm M trên đường ^ ^
o
HOM = AOM=45
tròn
lượng
giác
sao
cho
Theo hệ thức trong tam giác vuông HOM, ta
( OA , OM )=α=30o theo chiều âm.
có:
+ Từ đó sẽ suy ra được dấu của x M và
o
√2 ;
OH =OM . cos ^
HOM =1. cos 45 =
y M cũng chính là dấu của cos α và sin α .
2
o
HOM =1.sin 45
+ Sử dụng các tỉ số của sin và cos để OK =MH =OM . sin ^

suy ra được dấu của tan và cot.

2
¿√
2

( √22 ;− √22 )
−π − √2
−π √ 2
Vậy sin ( 4 )= 2 ; cos ( 4 )= 2 ;
−π
−π
tan (
=−1 ; cot (
=−1.
)
4
4 )
Do đó M

HĐ8
Giả sử M là một điểm trên đường tròn lượng
giác sao cho (OA, OM) = α = ‒30°.

Điểm M được biểu diễn như hình vẽ sau:
- GV vẽ đường tròn lượng giác như
hình 12 SGK – tr.11 và giảng cho HS
về dấu của các giá trị lượng giác.

Khi đó ta có x M >0 và y M <0
Suy ra cos α >0 và sin α <0
sin α

cos α

Do đó tan α= cos α <0 và cot α = sin α < 0
- Dấu của các giá trị lượng giác của góc
α =(OA ,OM ) phụ thuộc vào vị trí điểm M trên

đường tròn lượng giác (Hình 12).

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
như sau:
Góc phần tư
- GV cho HS đọc – hiểu Ví dụ 8, sau đó
trình bày lại cách làm.

Giá trị
lượng giác

I

II

cos α

+

-

- GV yêu cầu HS thực hiện Luyện tập

sin α

+

+

8 và GV mời 2 HS lên bảng trình bày

tan α

+

-

đáp án.

cot α

+

-

III

IV

cos α

-

+

sin α

-

-

tan α

+

-

cot α

+

-

+ GV đi kiểm tra ngẫu nhiên một số HS

Góc phần tư

làm bài trong lớp.

Giá trị
lượng giác

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện
HĐ9.
+ Lấy điểm M trên đường tròn lượng
giác sao cho (OA, OM) = α . H, K là
hình chiếu của M lên Ox, Oy. Suy ra
góc AOM bằng α .
+ Phần a: Dùng định lí Pythagore và
hệ thức trong ∆ OMH vuông tại H ta
tính được câu a.
+ Phần b, c, d sử dụng tỉ số:
tan α=

sin α
cos α
; cot α =
cos α
sin α

Ví dụ 8: (SGK – tr.11).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.11).
Luyện tập 8
Giả sử điểm M trên đường tròn lượng giác sao
5π

cho α = 6 .
π

5π

Do 2 < 6 < π nên điểm M nằm trong góc phần
tư thứ II.
5π

5π

5π

Do đó sin 6 >0 ; cos 6 <0 ; tan 6 <0 ;
cot

5π
<0.
6

HĐ9
a)

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao
cho (OA, OM) = α (hình vẽ).
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M
trên các trục Ox, Oy.
AOM=α .
Khi đó ta có ^

Xét ∆ OMH vuông tại H, theo định lí Pythagore
ta có:
→ GV ghi công thức lượng giác trong

khung kiến thức trọng tâm lên bảng và
yêu cầu HS ghi chép bài cần thận, HS
cần học thuộc các công thức này.

2

2

O M =O H + M H

2

Suy ra 12=cos 2 α +sin2 α
Vậy cos 2 α +sin2 α =1.
sin α

cos α

b) Ta có: tan α= cos α ; cot α = sin α , (với
cos α ≠ 0 ,sin α ≠0 ).
sin α cos α

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví
dụ 9.

Suy ra tan α . cot α = cos α . sin α =1.
c) Với cos α ≠ 0, ta có:

(

sin α
2
sin α
+ Ta sử dụng công thức tan α= cos α và 1+ tan α =1+ cos α
sin2 α + cos2 α =1 để thực hiện bài toán

này.
- GV cho HS thảo luận nhóm đôi phần

¿

)

2

cos2 α + sin2 α
1
= 2 (do cos 2 α +sin2 α =1).
2
cos α
cos α

d) Với sin α ≠ 0 , ta có:

Luyện tập 9.
+ HS trao đổi, thực hiện bài tập.

(

cos α
1+cot α =1+
sin α
2

)

2

2
2
sin α +cos α
1
= 2
+ GV mời 1 HS đứng tại chỗ nêu hướng ¿
2

làm bài; 1 HS lên bảng trình bày bài
giải.
+ GV nhận xét và chốt đáp án.

cos α

cos α

(do cos 2 α +sin2 α =1).

Công thức
+ cos 2 α +sin 2 α =1 với mọi α .
1

+ tan α= cot α với cos α , sin α ≠ 0.
2
+ 1+ tan α =

1
với cos α ≠ 0.
2
cos α

2
+ 1+cot α =

1
với sin α ≠ 0.
2
sin α

- GV cho HS tự thực hiện HĐ10 sau đó Ví dụ 9: (SGK – tr.12).
mời 1 GV lên bảng trình bày bài giải.
Hướng dẫn giải (SGK – tr.12).

Luyện tập 9
3π

Do π <α < 2 nên cos α<0 .
Áp dụng công thức sin 2 α + cos2 α =1, ta có:

( )

−4 2
cos α +
=1
5
2

2

( )

Suy ra cos α =1−

−4 2 9
=
5
25

−3

=> cos α= 5 (do cos α<0 ).
−4
sin α
5
4
Khi đó tan α= cos α = −3 = 3
5
cot α =

HĐ10

1
1 3
= =
tan α 4 4
3

- GV giới thiệu bảng giá trị lượng giác
của các góc đặc biệt.

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao
cho (OA, OM) = α = 45° (hình vẽ).
- GV cho HS tự làm Ví dụ 10 để hình
thành cách sử dụng bảng giá trị lượng
giác của các góc đặc biệt.
- HS tự làm Luyện tập 10 sau đó GV
mời 1 HS lên bảng trình bày.

Nhiệm vụ 3: Giá trị lượng giác của
các góc có liên quan đặc biệt.
- GV triển khai phần HĐ11, GV mời 1

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M
trên các trục Ox, Oy.
Khi đó, ta có: ^
AOM=45o
Theo hệ thức trong tam giác vuông HOM, ta
có:
x M =OH =OM .cos ^
HOM =1. cos 45 o
2
¿√
2
y M =OK =MH =OM . sin ^
HOM
2
¿ 1. sin 45o = √
2

(

HS đứng tại chỗ để cùng mình làm phần Do đó M √ 2 ; √ 2
2 2
HĐ11.

)

o
√2
o
√2
+ Phần a, dựa vào đường tròn lượng Vậy sin 45 = 2 ; cos 45 = 2

giác sẽ xác định được hoành độ và tung
độ của M và M'.
+ Phần b, sử dụng công thức của
tan α=

sin α
cos α
và cot α = sin α .
cos α

tan 45o=1; cot 45o=1.

Ví dụ 10: (SGK – tr.12).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.12).
Luyện tập 10
2

π

2

π

π

π

Ta có: Q=tan 3 + sin 4 + cot 4 + cos 2

( )

2

1
9
√2
- GV giới thiệu cho HS các công thức ¿ ( √ 3 ) + 2 +1+0=3+ 2 +1= 2
2

trong khung kiến thức trọng tâm. GV 3. Giá trị lượng giác của các góc có liên
yêu cầu HS ghi bài và cần học thuộc quan đặc biệt
các công thức này.

HĐ11

a) Nhận xét: x M =x M và y M =− y M .
'

'

b) Do x M =x M nên cos α=cos(−α ¿) ¿.
'

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví Do y M =− y M nên sin α =−sin (−α )
dụ 11.
Khi đó:
'

13 π

π

+ Phần a: Tách 4 =3 π + 4 . Sau đó sử tan α= sin α = −sin (−α ) =−tan (−α )
cos α cos (−α )
dụng công thức hai góc hơn kém nhau π
.

cot α =

1
1
=
=−cot(−α )
tan α −tan (−α )

+ Phần b: Sử dụng công thức hai góc Công thức
2π

phụ nhau cho cos 5 , suy ra được:

- Hai góc đối nhau ¿ và −α ¿

cos

(

)

2π
π 2π
=sin −
.
5
2 5

- GV cho HS thảo luận nhóm 4 người
theo phương pháp khăn trải bàn để thực
hiện Luyện tập 11.
+ HS thảo luận và đưa ra đáp án.
+ GV yêu cầu 2 HS lên bảng trình bày
đáp án, GV nhận xét và chốt đáp án.

sin (−α )=−sin α ; cos (−α ) =cos α
tan (−α ) =−tan α ; cot (−α )=−cot α

- Hai góc hơn kém nhau π (α và α + π )
sin(α + π )=−sin α ; tan (α + π )=tan α
cos (α + π )=−cos α ; cot(α + π )=cot α

- Hai góc bù nhau (α và π−α )
sin ( π−α )=sin α ;
cos (π−α )=−cos α ;
tan ( π −α )=−tan α ;

Nhiệm vụ 4: Sử dụng máy tính cầm

cot( π −α )=−cot α .
π

tay để tính giá trị lượng giác của một - Hai góc phụ nhau (α và 2 −α )
góc lượng giác.
- GV giới thiệu cho HS cách sử dụng
MTCT để tính giá trị lượng giác của
một góc lượng giác theo SGK.

( π2 −α )=cos α ; tan ( π2 −α )=cot α
π
π
cos ( −α )=sin α ; cot ( −α )=tan α .
2
2
sin

Ví dụ 11: (SGK – tr.14).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.14).

- GV hướng dẫn cho HS sử dụng
MTCT để thực hiện Ví dụ 12.
- GV cho HS tự thực hiện Luyện tập 12
và yêu cầu 1 HS đứng tại chỗ nêu cách
thực hiện và đáp án.

Luyện tập 11

(

3π
2π
2 3π
2 π
2 π
a) cos 8 +cos 8 =cos 8 +sin 2 − 8
¿ cos

2

)

π
2π
+sin =1
8
8

b) tan1o . tan 2o . tan 45 o . tan 88o . tan 89o
¿ ( tan 1 o . tan 89 o ) . ( tan 2o . tan 88o ) . tan 45 o

o
o
o
o
o
¿ ( tan1 . cot 1 ) . ( tan 2 . cot 2 ) . tan 45

¿ 1.1 .1=1

4. Sử dụng máy tính cầm tay (MTCT) để
tính giá trị lượng giác của một góc lượng
giác.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp - Nếu đơn vị của góc lượng giác là độ (º), trước
nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hết, ta chuyển máy tính sang chế độ “độ”.
hoàn thành các yêu cầu.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình
bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho

- Nếu đơn vị của góc lượng giác là radian
(rad), trước hết, ta chuyển máy tính sang chế
độ “radian”.

bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm
và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở:

Ví dụ 12: (SGK – tr.14).

+ Khái niệm đường tròn lượng giác;

Hướng dẫn giải (SGK – tr.15).

+ Các giá trị lượng giác của góc lượng Luyện tập 12
giác và các góc lượng giác đặc biệt;

a)

+ Sử dụng MTCT để tính giá trị các góc
lượng giác.
b) ta có:

cot

( −π5 )= tan 1−π
(5)

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
a) Mục tiêu: Học sinh củng cố lại kiến thức đã học.
b) Nội dung: HS vận dụng các kiến thức của bài học làm bài tập trắc nghiệm và bài 1,
2, 3, 4 (SGK – tr.15).
c) Sản phẩm học tập: Câu trả lời của HS. HS vận dụng đường tròn lượng giác, giá trị
lượng giác của góc lượng giác và các góc có liên quan đặc biệt để giải các bài tập 1 đến
5 (SGK – tr.15).
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV cho HS thực hiện bài trắc nghiệm
Câu 1. Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10
răng là:
A. 30º

B. 40º

C. 50º

D. 50º

Câu 2. Góc có số đo 108º đổi ra radian là?
3π

A. 5

π

3π

B. 10

π

C. 2

D. 4

Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. ( sin x cos x )2 =12sin x cos x
C. ( sin x +cos x )2=1+2 sin x cos x

B. sin 4 x +cos 4 x=12 sin 2 x cos2 x
D. sin6 x +cos6 x=1 sin2 x cos 2 x

2π

Câu 4. Góc có số đo 5 đổi sang độ là ?
A. 240º

B. 135º

C. 72º

D. 270º

Câu 5. Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dài quãng
đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút, biết rằng bán kính bánh xe gắn máy
bằng 6,5cm (lấy π=3,1416 ).
A. 22 044cm.
B. 22 063cm.
C. 22 054mm.
D. 22 054cm.

- GV tổ chức cho HS hoạt động thực hiện Bài 1, 2, 3, 4 (SGK – tr.15).
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm, hoàn
thành các bài tập GV yêu cầu.
- GV quan sát và hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- Câu hỏi trắc nghiệm: HS trả lời nhanh, giải thích, các HS chú ý lắng nghe sửa lỗi sai.
- Mỗi bài tập GV mời HS trình bày. Các HS khác chú ý chữa bài, theo dõi nhận xét bài
trên bảng.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV chữa bài, chốt đáp án, tuyên dương các hoạt động tốt, nhanh và chính xác.
Kết quả:
Đáp án trắc nghiệm
1

2

3

4

5

C

A

D

C

D

Bài 1.
π

- Ta có ( OA , OM )=α = 2  là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và
π

quay theo chiều dương một góc 2 , khi đó tia OM trùng với tia OB.
π

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho ( OA , OM )=α = 2 được biểu diễn trùng với
điểm B.
7π

π

- Ta có: ( OA , ON ) =β= 6 =π + 6 là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia
7π

ON và quay theo chiều dương một góc 6 .
−π

- Ta có (OA , OP)=γ = 6 là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OP và
π

quay theo chiều âm một góc 6 .
Ba điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác được biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

Bài 2.
‒ Các giá trị lượng giác của góc 225°:
o
o
o
o − √2
Ta có: cos 225 =cos (45 +180 )=−cos 45 =

2

sin 225o =sin( 45o +180o )=−sin ( 45o ) =
o

o

o

−√ 2
2

o

tan225 =tan(45 +180 )=tan 45 =1
cot 225o =cot ( 45 o +180o ) =cot 45o =1

‒ Các giá trị lượng giác của góc ‒225°:
2
Ta có: cos (−225o ¿ )=cos 225o − √ ¿;
2

sin(−225o )=−sin ( 225 o )=−

( −2√2 )= √22

tan(−225o )=−tan 225o =−1
o

o

cot (−225 )=−cot 225 =−1

‒ Các giá trị lượng giác của góc ‒1035°:
Ta có: cos (−1035o )=cos (−3.360 o+ 45o )=cos 45o = √

2
2

o
√2
sin (−1035 ) =sin(¿−3.360o + 45o )¿ = sin 45 =
2
o

o

o

tan(−1035)=tan(−3.360 + 45 )=tan 45 =1
cot(−1035)=cot(−3.360 o +45 o)=cot 45o =1
5π

‒ Các giá trị lượng giác của góc 3 :

( ) ( )
5π
2π
2 π −√ 3
sin
=sin ( + π )=−sin
=
3
3
3
3
5π
2π
2π
tan ( )=tan ( + π )=tan
=−√ 3
3
3
3
5π
2π
2 π − √3
cot
=cot ( + π )=cot
=
3
3
3
3

( )

5π
2π
2π
−1 1
Ta có: cos 3 =cos 3 + π =−cos 3 =− 2 = 2

19 π

‒ Các giá trị lượng giác của góc 2

( ) ( )
19 π
π
π
π
sin
=sin ( 9 π + )=sin ( π + )=−sin =−1
2
2
2
2

19 π
π
π
π
Ta có: cos 2 =cos 9 π + 2 =cos π + 2 =−cos 2 =0

19 π

19 π

Do cos 2 =0 nên tan 2 không xác định.
cot

(

) ( )

19 π
π
π
π
=cot 9 π + =cot π + =cot =0
2
2
2
2

‒ Các giá trị lượng giác của góc

−159 π
:
4

( −1594 π )=cos (−40 π + π4 )=cos π4 = √22
−159 π
π
π
2
sin (
=sin (−40 π + )=sin = √
)
4
4
4 2
−159 π
π
π
tan (
=tan (−40 π + )=tan =1
)
4
4
4
−159 π
π
π
cot (
=cot (−40 π + )=cot =1
)
4
4
4
Ta có: cos

Bài 3.
π

a) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác 3 +k 2 π , (k ∈ Z):

( )
π
π √3
+ sin ( 3 + k 2 π )=sin 3 = 2 ;
π
π 1
+ cos 3 +k 2 π =cos 3 = 2 ;

(
)
π
π √3
+ cot ( 3 + k 2 π )=cot 3 = 3 .
π
π
+ tan 3 +k 2 π =tan 3 = √3 ;

π

π

4π

b) Ta có: 3 + ( 2 k +1 ) π ⟺ 3 +2 kπ + π ⟺ 3 +2 kπ , (k ∈ Z )
3π

Giá trị lượng giác của góc lượng giác 4 +k 2 π ,(k ∈ Z).

(
)
4π
4 π −√ 3
+ sin ( 3 + k 2 π )=sin 3 = 2 ;
4π
4π
+ tan ( 3 + k 2 π )=tan 3 =√ 3 ;
4π
4 π √3
+ cot ( 3 + k 2 π )=cot 3 = 3 .

4π
4 π −1
+ cos 3 + k 2 π =¿ cos 3 = 2 ; ¿

c) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác kπ , (k ∈ Z):
‒ Nếu k là số chẵn, tức k =2 n ,(n ∈ Z) thì kπ =2...