NHỊ THỨC NEWTON
A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi nN và với mọi cặp số a, b ta có:
n

(a  b) n  Cnk a n  k b k
k 0

2. Tính chất:
1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1
2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
k n k k
3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cn a b ( k =0, 1, 2, …, n)
k
n k
4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: Cn Cn
0
n
Cnk  1  Cnk Cnk1
5) Cn Cn 1 ,
* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu
được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn:
0 n
1 n 1
n
0
1
n
n
(1+x)n = Cn x  Cn x  ...  Cn  Cn  Cn  ...  Cn 2
0 n
1 n 1
n
n
0
1
n n
(x–1)n = Cn x  Cn x  ...  ( 1) Cn  Cn  Cn  ...  ( 1) Cn 0
Từ khai triển này ta có các kết quả sau
0
1
n
n
* Cn  Cn  ...  Cn 2
0
1
2
n n
* Cn  Cn  Cn  ...  (  1) Cn 0

B – BÀI TẬP
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC
NEWTON
Phương pháp:

n

ax p  bx q   Cnk ax p 
n

n k

k 0

n

bxq   Cnk a n k bk x np  pk qk
k

k 0

Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: np  pk  qk m .
m  np
Từ đó tìm k 
p q
k n k k
Vậy hệ số của số hạng chứa x m là: Cn a .b với giá trị k đã tìm được ở trên.
Nếu k không nguyên hoặc k  n thì trong khai triển không chứa x m , hệ số phải tìm bằng 0.
Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa x m trong khai triển
m

P  x  a  bx p  cx q  được viết dưới dạng a0  a1 x  ...  a2 n x 2 n .
n

Ta làm như sau:

n

p
q
k n k
p
q
* Viết P  x  a  bx  cx   Cn a bx  cx  ;
n

k

k 0

* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng bx p  cx q  thành một đa thức theo luỹ thừa của x.
k

* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x m .
Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn
Ta làm như sau:
* Tính hệ số ak theo k và n ;
* Giải bất phương trình ak  1 ak với ẩn số k ;
* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.

Câu 1: Trong khai triển 2a  b  , hệ số của số hạng thứ 3 bằng:
A.  80 .
B. 80 .
C.  10 .
D. 10 .
n 6
Câu 2: Trong khai triển nhị thức a  2  , n   . Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng:
A. 17 .
B. 11.
C. 10 .
D. 12 .
5

Câu 3: Trong khai triển 3 x 2  y  , hệ số của số hạng chính giữa là:
10

4
4
A. 3 .C10 .

4
4
B.  3 .C10 .

5
5
C. 3 .C10 .

5
5
D.  3 .C10 .

Câu 4: Trong khai triển 2 x  5 y  , hệ số của số hạng chứa x 5 . y 3 là:
A.  22400 .
B.  40000 .
C.  8960 .

D.  4000 .

2 

3
Câu 5: Trong khai triển  x 
 , hệ số của x ,  x  0  là:
x

A. 60 .
B. 80 .
C. 160 .

D. 240 .

8

6

7

1

Câu 6: Trong khai triển  a 2   , số hạng thứ 5 là:
b

6 4
A. 35.a .b .
B.  35.a 6 .b  4 .

C. 35.a 4 .b  5 .

Câu 7: Trong khai triển 2a  1 , tổng ba số hạng đầu là:

D.  35.a 4 .b .

6

A. 2a 6  6a 5  15a 4 .
C. 64a 6  192a 5  480a 4 .



Câu 8: Trong khai triển x 
A.  16 x y15  y 8 .

y



B. 2a 6  15a 5  30a 4 .
D. 64a 6  192a 5  240a 4 .

16

, tổng hai số hạng cuối là:
C. 16 xy15  y 4 .

B.  16 x y15  y 4 .

D. 16 xy15  y8 .

6

1 

Câu 9: Trong khai triển  8a 2  b  , hệ số của số hạng chứa a 9b 3 là:
2 

9 3
A.  80a .b .
B.  64a 9 .b 3 .
C.  1280a 9 .b3 .

D. 60a 6 .b 4 .

9

8 

Câu 10: Trong khai triển  x  2  , số hạng không chứa x là:
x 

A. 4308 .
B. 86016 .
C. 84 .

Câu 11: Trong khai triển 2 x  1 , hệ số của số hạng chứa x8 là:
A.  11520 .
B. 45 .
C. 256 .
8
Câu 12: Trong khai triển a  2b  , hệ số của số hạng chứa a 4 .b 4 là:
A. 1120 .
B. 560 .
C. 140 .
7
4 3
Câu 13: Trong khai triển 3x  y  , số hạng chứa x y là:
10

A.  2835 x 4 y 3 .

B. 2835x 4 y 3 .

C. 945x 4 y 3 .

Câu 14: Trong khai triển 0,2 + 0,8  , số hạng thứ tư là:
A. 0,0064 .
B. 0, 4096 .
C. 0, 0512 .

D. 43008 .
D. 11520 .
D. 70 .
D.  945 x 4 y 3 .

5

Câu 15: Hệ số của x3 y 3 trong khai triển 1  x  1  y  là:
A. 20 .
B. 800 .
C. 36 .
4
Câu 16: Số hạng chính giữa trong khai triển 3x  2 y  là:
6

2 2 2
A. C4 x y .

B. 6 3 x  2 y 
2

2.

D. 0, 2048 .

6

2 2 2
C. 6C4 x y .

D. 400 .
2 2 2
D. 36C4 x y .

Câu 17: Trong khai triển  x  y  , hệ số của số hạng chứa x8 . y 3 là
11

3
A. C11 .

3
B.  C11 .

5
C.  C11 .

8
D. C11 .

Câu 18: Tìm hệ số của x 7 trong khai triển biểu thức sau: f ( x ) (1  2 x)10
A.  15360
B. 15360
C.  15363
D. 15363
9
7
Câu 19: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: h( x)  x(2  3 x)
A. 489889
B. 489887
C.  489888
D. 489888
7
8
7
Câu 20: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: g ( x) (1  x)  (1  x)  (2  x)9
A. 29
B. 30
C. 31
D. 32
10
7
Câu 21: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: f ( x ) (3  2 x )
A. 103680
B. 1301323
C. 131393
D. 1031831
9
7
Câu 22: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: h( x )  x(1  2 x )
A.  4608
B. 4608
C.  4618
D. 4618
2
10
8
Câu 23: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x ) (3x  1)
A. 17010
B. 21303
C. 20123
D. 21313
8
2

Câu 24: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f ( x )   5 x 3 
x

A. 1312317
B. 76424
C. 427700
D. 700000
12
 3 x
Câu 25: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau: f ( x)   
 x 2
297
29
27
97
A.
B.
C.
D.
512
51
52
12
2 10
8
Câu 26: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x ) (1  x  2 x )
A. 37845
B. 14131
C. 324234
D. 131239
8
8
Câu 27: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau: f ( x ) 8(1  8 x )  9(1  9 x)9  10(1 10 x)10
0 8
1 8
8
8
A. 8.C8 .8  C9 .9  10.C10 .10

0 8
1 8
8
8
B. C8 .8  C9 .9  C10 .10

0 8
1 8
8
8
C. C8 .8  9.C9 .9  10.C10 .10

0 8
1 8
8
8
D. 8.C8 .8  9.C9 .9  10.C10 .10

Câu 28: Tìm hệ số của x8 trong khai triển biểu thức sau: g ( x) 8(1  x)8  9(1  2 x)9  10(1  3 x)10
A. 22094
B. 139131
C. 130282
D. 21031
Câu 29: Hệ số đứng trước x 25 . y10 trong khai triển  x 3  xy  là:
15

A. 2080 .

B. 3003 .

C. 2800 .

D.  3200 .

18

1 

Câu 30: Số hạng không chứa x trong khai triển  x 3  3  là:
x 

10 .
9 .
8
A. C18
B. C18
C. C18 .

Câu 31: Khai triển 1  x  , hệ số đứng trước x 7 là:

3
D. C18 .

12

A. 330 .

B. – 33 .

C. –72 .

Câu 32: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: f ( x ) ( x 
A. 59136

B. 213012

C. 12373

Câu 33: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: g ( x ) ( 3
A. 24310

B. 213012

C. 12373

2 12
)
x
1
x

2

D. –792 .

(x 0)
D. 139412

 4 x 3 )17

( x  0)

D. 139412
n

 1

Câu 34: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của  3  x5  biết
x

n 1
n
Cn 4  Cn 3 7 n  3 .
A. 495
B. 313
C. 1303
D. 13129
8

n

1

Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức    x  x 2  với n là số
x

nguyên dương thoả mãn
Cn3  2n  An21 .( Cnk , Ank tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k của n phần tử).
A.  98
B. 98
C.  96
D. 96
40

1 

Câu 36: Trong khai triển f  x   x  2  , hãy tìm hệ số của x31
x 

A. 9880
B. 1313
C. 14940
18
1

Câu 37: Hãy tìm trong khai triển nhị thức  x3  3  số hạng độc lập đối với x
x 

A. 9880
B. 1313
C. 14940
12
 x 3
4
Câu 38: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển   
 3 x
55
13
621
A.
B.
C.
9
2
113

Câu 39: Tính hệ số của x 25 y10 trong khai triển  x 3  xy 

15

D. 1147

D. 48620

D.

1412
3123

A. 300123
B. 121148
C. 3003
D. 1303
2
20
Câu 40: Cho đa thức P  x  1  x   2 1  x   ...  20 1  x  có dạng khai triển là
P  x  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a20 x 20 .

Hãy tính hệ số a15 .
A. 400995

B. 130414

Câu 41: Tìm số hạng của khai triển
A. 8 và 4536



33 2

B. 1 và 4184
1 20
Câu 42: Xét khai triển f ( x) (2 x  )
x
1. Viết số hạng thứ k  1 trong khai triển
k
20  k 20  k
A. Tk 1 C20 .2 .x
k
20  4 k 20  2 k
.x
C. Tk 1 C20 .2



9

C. 511313

D. 412674

là một số nguyên
C. 414 và 12

D. 1313

k
20  k 20  2 k
B. Tk 1 C10 .2 .x
k
20  k 20  2 k
D. Tk 1 C20 .2 .x

2. Số hạng nào trong khai triển không chứa x
1
10
10 10
A. C20 .2
B. A20 .2

10 4
C. C20 .2

10 10
D. C20 .2

Câu 43: Xác định hệ số của x 4 trong khai triển sau: f ( x ) (3 x 2  2 x  1)10 .
A. 8089
B. 8085
C. 1303
D. 11312
2n
7
Câu 44: Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của (2  3x) , biết n là số nguyên dương thỏa mãn :
C21n 1  C23n 1  C25n 1  ...  C22nn11 1024 .
A. 2099529
B.  2099520
C.  2099529
D. 2099520
9
10
14
9
Câu 45: Tìm hệ số của x trong khai triển f ( x ) (1  x)  (1  x)  ...  (1  x)
A. 8089
B. 8085
C. 3003
D. 11312
5
10
2
5
Câu 46: Tìm hệ số của x trong khai triển đa thức của: x 1  2 x   x 1  3 x 
A. 3320

B. 2130

C. 3210
8
Câu 47: Tìm hệ số cuả x8 trong khai triển đa thức f ( x ) 1  x 2 1  x 
A. 213
B. 230
C. 238

D. 1313
D. 214

Câu 48: Đa thức P  x  1  3 x  2 x 2  a0  a1 x  ...  a20 x 20 . Tìm a15
10

10
5
5
9
6 3
8
7
A. a15 C10 .C10 .3  C10 .C9 .3  C10 .C8 .3.
10
5
5
9
6 6
8
7 7
B. a15 C10 .C10 .2  C10 .C9 .2  C10 .C8 .2
10
5
5 5
9
6 3 6
8
7 7
C. a15 C10 .C10 .3 .2  C10 .C9 .3 .2  C10 .C8 .2
10
5
5 5
9
6 3 6
8
7
7
D. a15 C10 .C10 .3 .2  C10 .C9 .3 .2  C10 .C8 .3.2

2 n
) , biết rằng Cnn  1  Cnn  2 78 với x  0
x
C.  112643
D. 112643
3n  3
là hệ số của x
trong khai triển thành đa thức của

3
Câu 49: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau ( x 

A.  112640
B. 112640
Câu 50: Với n là số nguyên dương, gọi a3n  3
( x 2  1) n ( x  2) n . Tìm n để a3n  3 26n
A. n=5
B. n=4

C. n=3

D. n=2
n
 1

Câu 51: Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Newton của  4  x 7  , biết
x

1
2
n
20
C2 n 1  C2n 1  ...  C2n 1 2  1 .
A. 210
B. 213
C. 414
D. 213
n
n
Câu 52: Cho n   * và (1  x) a0  a1 x  ...  an x . Biết rằng tồn tại số nguyên k ( 1 k n  1 ) sao cho
ak  1 ak ak 1
 
. Tính n ? .
2
9
24
A. 10
B. 11
C. 20
D. 22
1 2 10
Câu 53: Trong khai triển của (  x) thành đa thức
3 3
2
9
10
a0  a1 x  a2 x  ...  a9 x  a10 x , hãy tìm hệ số ak lớn nhất ( 0 k 10 ).

210
210
210
210
B.
C.
D.
a

3003
a

3003
a

3003
5
4
9
315
315
315
315
n
2
n
Câu 54: Giả sử (1  2 x) a0  a1 x  a2 x  ...  an x , biết rằng a0  a1  ...  an 729 . Tìm n và số lớn nhất
trong các số a0 , a1 ,..., an .
A. a10 3003

A. n=6, max  ak  a4 240
C. n=4, max  ak  a4 240

B. n=6, max  ak  a6 240

D. n=4, max  ak  a6 240

n
n
Câu 55: Cho khai triển (1  2 x) a0  a1 x  ...  an x , trong đó n   * . Tìm số lớn nhất trong các số
a
a
a0 , a1 ,..., an , biết các hệ số a0 , a1 ,..., an thỏa mãn hệ thức: a0  1  ...  nn 4096 .
2
2
A. 126720
B. 213013
C. 130272
D. 130127