BẤT ĐẲNG THỨC
I/ KẾ HOẠCH CHUNG:

Phân phối thời gian Tiến trình dạy học

Tiết 1

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG
HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

Tiết 2
Tiết 3

KT1: Bđt và tính chất
KT2: Bđt Cô Si và hệ quả

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG
HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI, MỞ RỘNG

II/KẾ HOẠCH DẠY HỌC:
1/Mục tiêu bài học:
a. Về kiến thức:
 Hiểu được các khái niệm, tính chất của bất đẳng thức.
 Nắm vững các bất đẳng thức cơ bản, bđt Cô Si và các hệ quả.
b. Về kỹ năng:
 Chứng minh được các bất đẳng thức cơ bản
 Vận dụng thành thạo các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để biến đổi, từ đó chứng minh bất đẳng
thức.
Vận dụng các bất đẳng thức cơ bản,bất đẳng thức Cô – si để giải các bài toán liên quan
c. Thái độ:
- Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập và hợp tác trong hoạt động nhóm
- Say sưa, hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn
- Bồi dưỡng đạo đức nghề nghiệp, tình yêu thương con người, yêu quê hương, đất nước.
d. Các năng lực chính hướng tới hình thành và phát triển ở học sinh:
- Năng lực hợp tác
- Năng lực tự học, tự nghiên cứu
- Năng lực giải quyết vấn đề
- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin
- Năng lực thuyết trình, báo cáo
- Năng lực tính toán
*Bảng mô tả các mức độ nhận thức và năng lực được hình thành
- Bảng mô tả các mức độ nhận thức
Nội dung
Nhận biết
Thông hiểu
Vận dụng thấp
Vận dụng cao
Bất đẳng thức
K/n Bđt
Tính chất của Bđt Cm các bđt cơ
Cm bđt dựa vào các
bản.
bđt cơ bản.
Bđt Cô-Si
Nd bđt Cô Si
Các hệ quả
Áp dụng Cô si
Áp dụng Cô si cho
cho hai số
nhiều số
2/ Phương pháp dạy học tích cực có thể sử dụng:
+ Nêu vấn đề và giải quyết vấn đề qua tổ chúc hoạt động nhóm
3/ Phương tiện dạy học:
+ Phấn, bảng phụ, bút dạ, máy chiếu, máy tính.
4/ Tiến trình dạy học:

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

Tổ Toán - Tin

Trang | 1

*Mục tiêu: Tạo sự chú ý của học sinh để vào bài mới, liên hệ với bài cũ.
*Nội dung: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2
000 000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và nếu cứ tăng giá thuê mỗi căn hộ lên 100
000 đồng một tháng thì có 1 căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì công ty đó phải cho
thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng? Khi đó số căn hộ đc thuê và tổng thu nhập của công ty mỗi
tháng?
*Kỹ thuật tổ chức: Chia nhóm, mỗi nhóm đề xuất một phương án và thuyết trình cho phương án
mình đưa ra.
*Sản phẩm: Dự kiến các phương án giải quyết được tình huống.
HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC.
*Mục tiêu: Học sinh nắm được 2 đơn vị kiến thức của bài.
*Nội dung: Đưa ra các phần lý thuyết và có ví dụ ở mức độ NB, TH.
*Kỹ thuật tổ chức: Thuyết trình, Tổ chức hoạt động nhóm.
*Sản phẩm: HS nắm được định lý, các hệ quả và giải các bài tập mức độ NB,TH.
I. Hình thành kiến thức 1: Khái niệm bđt, tính chất và các bất đẳng thức cơ bản đã học.
+) HÐI.1: Khởi động(Tiếp cận).

GỢI Ý

H1. Để so sánh 2 số a và b, ta thường xét biểu thức nào?

Đ1.

H2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Đ2.

a)

b)

c) –

≤3

a) Đ

b) S

c) Đ

 GV nêu các định nghĩa về BĐT hệ quả, tương đương.
H3. Xét quan hệ hệ quả, tương đương của các cặp BĐT Đ3.
sau:
a) x > 2  x2 > 22
a) x > 2;
x2 > 22
b) x > 2  > 2
b)
> 2;
x>2
c) x > 0  x2 > 0
2
c) x > 0;
x >0
d) x > 0  x + 2 > 2
d) x > 0;
x+2>2
+) HĐI.2: Hình thành kiến thức:
1. Khái niệm bất đẳng thức:
Các mệnh đề dạng "a < b" hoặc "a > b" được gọi là bất đẳng thức (BĐT).
2. BĐT hệ quả, tương đương:

 Nếu mệnh đề "a < b  c < d" đúng thì ta nói BĐT c < d là BĐT hệ quả của a < b.
Ta viết: a < b  c < d.

 Nếu a < b là hệ quả của c < d và ngược lại thì hai BĐT tương đương nhau. Ta viết: a < b  c <
d

Tổ Toán - Tin

Trang | 2

3. Tính chất:



a


a < b  ac < bc

( c > 0)

a < b  ac > bc

( c < 0)

Cộng hai vế của BĐT với một số
Nhân hai vế của BĐT với một số



a < b và c < d  a + c < b + d

Cộng hai vế BĐT cùng chiều



a < b và c < d  ac < bd
dương

Nhân hai vế BĐT cùng chiều với các số



a < b  a2n+1 < b2n+1

( a > 0, c > 0)
(n nguyên dương)

Nâng hai vế của BĐT lên một luỹ thừa

0 < a < b  a2n < b2n



a
( a > 0)

Khai căn hai vế của một BĐT

a4. Bđt cơ bản đã học
a) Bđt có chứa dấu giá trị tuyệt đối

b)



 0,



 a  –a  x  a;

–



 x,



 –x
 a  x  –a hoặc x  a

(a>0)

+

c) Bđt tổng bình phương:
d) Bđt hình học
Ví dụ 1(NB). H3. Điền dấu thích hợp (=, <, >) vào ô trống?
a) 2

 3

c) 3 + 2

b)

 (1 +

)2



d) a2 + 1  0 (với a  R)

Ví dụ 2(TH). Dấu bằng trong các bđt cơ bản xảy ra khi nào?
+) HĐI.3: Củng cố:
Bài 1. Cho
;

Tổ Toán - Tin

. Số nào trong các số sau đây là số nhỏ nhất?
;

;

Trang | 3

Bài 2: Cho

Chứng minh rằng

II. HTKT2: BĐT CÔ SI.
+) HÐII.1: Khởi động.

GỢI Ý
 Các nhóm thực hiện yêu cầu, từ đó rút ra nhận xét:

 GV cho một số cặp số a, b  0. Cho
HS tính

và

, rồi so sánh.
 CM:

 Hướng dẫn HS chứng minh.
 Khi nào A2 = 0 ?
Đ. A2 = 0  A = 0
+) HĐII.2: Hình thành kiến thức:

1. Bất đẳng thức Cô Si :

, a, b  0

Dấu "=" xảy ra  a = b.

2. Các hệ quả
HQ1: a +

 2, a > 0

HQ2: Nếu x, y cùng dương và có tổng x + y không đổi thì tích x.y lớn nhất khi và chỉ khi x = y.
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn
nhất.
HQ3: Nếu x, y cùng dương và có tích x.y không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi nhỏ
nhất.
+) HĐII.3: Củng cố.
HÐII.3.1. Chứng minh các hệ quả của
bđt Cô Si

GỢI Ý

 Tích xy lớn nhất khi x = y.

Tổ Toán - Tin

Trang | 4

 x + y  chu vi hcn;
hình vuông

x.y  diện tích hcn;

x=y

HĐII.3.2. CMR với 2 số a, b dương ta 
có:


HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP.
Hoạt động của HS

Hoạt động của GV

Nội dung

Hoạt động 1: Bài tập 3 SGK trang 79
a) Gọi HS thực hiện Nghe hiểu nhiệm vụ và thực hiện theo
yêu cầu của GV

Bài 3. Cho a, b, c là dộ dài ba cạnh
của một tam giác
a) Chứng minh rằng
b) Từ đó suy ra

b) GV hướng dẫn

Tìm cách giải, trình bày cách giải
Chỉnh sửa hoàn thiện

Giải
a)

Thực hiện theo dõi hướng dẫn của học
sinh
Từ đó suy ra:

(1)

b) Tương tự ta có

Cộng vế với vế của BĐT (1), (2)
và (3) lại ta được

Hoạt động 2: Bài tập 5 sgk
GV hướng dẫn học sinh

Bài tập 5

Bài 5. Hướng dẫn học sinh
Đặt

Đặt

=t

Xét 2 trường hợp: *

Tổ Toán - Tin

<1

*x

HS thực hiện theo dõi
hướng dẫn của giáo viên

thay vào ta được

Trang | 5

Bài 6. Gọi H là tiếp điểm của đường thẳng
AB và đường tròn . Áp dụng BĐT Cô – si:

Bài tập 6.

AB = HA + HB

Đoạn AB nhỏ nhất khi

AB ngắn nhất khi đẳng thức xảy ra khi nào

Bài

toán

1.

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG.
Cho 4 số
. Chứng minh rằng: Gợi ý: Áp dụng bđt Cô Si
cho hai số, hai lần.
dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi

Bài toán 2. Cho 3 số

. Chứng minh rằng:

dấu

''='' xảy ra khi và chỉ khi

Gợi ý: Áp dụng Bài toán
1 với

HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG.
* Mục tiêu: Cm bđt Cô Si tổng quát bằng phương pháp quy nạp Cô Si lùi.
* Nội dung:
- ND1: Giới thiệu Bđt Cô Si tổng quát và phương pháp quy nạp Cô Si lùi.
- ND2: Sử dụng phương pháp quy nạp Cô Si lùi chứng minh Bđt Cô Si
* Kỹ thuật tổ chức: Thuyết trình, đặt yêu cầu, cho hs đăng kí nghiêm cứu và nộp sản phẩm.
* Sản phẩm: Cm bđt Cô Si tổng quát bằng phương pháp quy nạp Cô Si lùi.
* Tiến trình:
-ND1: Giới thiệu Bđt Cô Si tổng quát và phương pháp quy nạp Cô Si lùi.
.
+Bđt Cô Si tổng quát: Cho n số

. Khi đó:

dấu ''=''

xảy ra khi và chỉ khi
+Phương pháp quy nạp Cô Si lùi:
 Bài toán: Cho mệnh đề chứa biến
Chứng minh P(n) luôn đúng.
 Phương pháp:
Bước 1: chứng minh P(n) đúng với nào đó và nhận xét lớn tùy ý.
Bước 2: giả sử P(n) đúng với n=k+1, ta chứng minh P(n) đúng với n=k.
Bước 3: vì k lớn tùy ý nên P(n) đúng với
- ND2: Sử dụng phương pháp quy nạp Cô Si lùi chứng minh Bđt Cô Si
Các câu hỏi trắc nghiệm:
1.

2.

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
a) a < b

b) a < b

ac < bc

c)

d) Cả a, b, c đều sai.

Mệnh đề nào sau đây sai ?

a  b
 ac bd
c  d

a) 

Tổ Toán - Tin

b)

Trang | 6

c)

3.

4.

d) ac

( c > 0)

Với m, n > 0, bất đẳng thức: mn(m+n) < m + n tương đương với bất đẳng thức:
a) (m + n) ( m

b) (m + n) ( m

c) (m+n) ( m

d) Tất cả đều sai.

Bất đẳng thức:
đẳng thức nào sau đây:

a, b, c, d, e. Tương đương với bất

a)
b)
c)
d)

5.

Cho a, b > 0 và ab > a + b. Mệnh đề nào đúng ?
a) a + b = 4
b) a + b > 4
c) a + b < 4
d) Một kết quả khác

6.

Cho a, b, c > 0. và P =

7.

a) 0 < P < 1.
b) 2 < P < 3
c) 1< P < 2
d) Một kết quả khác
Cho x, y >0. Tìm bất đẳng thức sai:
a) (x + y)

4xy

c)

8.

.Khi đó:

b)
d) Có ít nhất một trong ba đẳng thức trên sai:

Với hai số x, y dương thoả xy = 36. Bất đẳng thức nào sau đây đúng?
a) x + y

b)

c)

d) Tất cả đều đúng.

9.

Cho bất đẳng thức

10.

a) a = b
b) ab
c) ab
Cho a, b, c >0. Xét các bất đẳng thức sau:

+

. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
d) ab = 0

I)
II)
III) (a+b) (
Kết luận nào sau đây đúng??
a) Chỉ I) đúng
c) Chỉ III) đúng

Tổ Toán - Tin

b) Chỉ II) đúng
d) Cả ba đều đúng

Trang | 7

11.

Cho x, y, z > 0. Xét các bất đẳng thức sau:
I)
II)
III)

12.

Bất đẳng thức nào đúng ?
a) Chỉ I) đúng
b) Chỉ I) và III) đúng
c) Cả ba đều đúng
d) Chỉ III) đúng
Cho a, b, c >0. Xét các bất đẳng thức sau:
(I)
(II)
(III)

13.

Bất đẳng thức nào đúng?
a) Chỉ I) đúng
b) Chỉ II) đúng
c) Chỉ III) đúng
d) Cả ba đều đúng.
Cho a, b, c > 0. Xét các bất đẳng thức:
I) (1+

)(1+

)(1+

)

II)
III) a+ b + c
.
Bất đẳng thức nào đúng:
a) Chỉ II) đúng
c) Chỉ I) và II) đúng

14.

Cho a, b > 0. Chứng minh
I)

15.

b) Chỉ II) đúng
d) Cả ba đều đúng
. Một học sinh làm như sau:
(1)

II)

(1)

III)

và (a–b)

đúng

nên

Cách làm trên :
a) Sai từ I)
b) Sai từ II)
c) Sai ở III)
d) Cả I), II), III) đều dúng
Cho a, b, c > 0. Xét các bất đẳng thức:
(I) a+ b + c
(II) (a + b + c)
Bất đẳng thức nào đúng:
a) Chỉ I) và II) đúng
c) Chỉ I) đúng

Tổ Toán - Tin

(III) (a + b)(b + c)(c + a)
b) Chỉ I) và III) đúng
d) Cả ba đều đúng

Trang | 8

16.

Cho ba số a, b, c thoả mãn đồng thời: a + b – c > 0,
b + c – a > 0,
c + a– b > 0. Để ba số a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì cần thêm đều kiện gì ?
a) Cần có cả a, b, c
b) Cần có cả a, b, c
c) Chỉ cần một trong ba số a, b, c dương
d) Không cần thêm điều kiện gì.

Tổ Toán - Tin

Trang | 9