CHUYÊN ĐỀ: SỐ HỌC
PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Giải phương trình nghiệm nguyên.
Giải phương trình f(x, y, z, ...) = 0 chứa các ẩn x, y, z, ... với nghiệm nguyên là tìm tất cả các bộ số nguyên (x, y, z, ...) thỏa mãn phương trình đó.
2. Một số lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên.
Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn. Các phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên là:

Phương pháp dùng tính chất chia hết

Phương pháp xét số dư từng vế

Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

Phương pháp dùng tính chất của số chính phương

Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn.
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT
Dạng 1: Phát hiện tính chia hết của một ẩn
Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình
(1).
Hướng dẫn giải
Ta có
và
nên
(vì (2,13) = 1).
Đặt
thay vào (1) ta được:

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:

Bài toán 2. Giải phương trình nghiệm nguyên
.
Hướng dẫn giải
Ta có

Ta phải biến đổi tiếp phân số
để sao cho hệ số của biến y là 1.
Phân tích: Ta thêm, bớt vào tử số một bội thích hợp của 23


Từ đó
, Để
, do (7,23) = 1.
Đặt

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:

Bài toán 3. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

Hướng dẫn giải
Ta có:

Từ (2) suy ra
, mặt khác


Thay
vào (2) ta có:

Ta có:
.Suy ra:

Với t = 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với t = 1 ta có:
. Mặt khác x, y nguyên dương nên x = 3, y = 2.
Vậy phương trình có nghiệm (x, y) = (3, 2).
Dạng 2: Phương pháp đưa về phương trình ước số
* Cơ sở phương pháp:
Ta tìm cách đưa phương trình đã cho thành phương trình có một vế là tích các biểu thức có giá trị nguyên, vế phải là hằng số nguyên.
Thực chất là biến đổi phương trình về dạng:
trong đó
là các biểu thức nguyên, c là một số nguyên.
Xét các trường hợp
theo ước của c.
* Ví dụ minh họa:
Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
.
Hướng dẫn giải


(2x + 3) và (2y - 5) là các ước số của 7 nên ta có:
2x + 3
1
-1
7
-7

2y - 5
7
-7
1
-1

x
-1
-2
2
-5

y
6
-1
3
2

Vập phương trình có các nguyện nguyên là (x, y) = (-1, 6); (-2, -1); (2, 3); (-5, 2).
Bài toán 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
.
Hướng dẫn giải






Vì x, y nguyên nên từ PT(*) ta có các trường hợp sau:
1)

2)


3)

4)


Vậy các nghiệm nguyên (x; y) của phương trình là: (-2; -3); (2; 1); (5; 1);(1; -3).
Bài toán 3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Hướng dẫn giải
Phương trình tương đương với :


Suy ra (x + y + 6) và (x – y + 6) là ước của 36.
Kết quả ta tìm được các nghiệm nguyên là

Dạng 3: Phương pháp tách ra các giá trị nguyên.
* Cơ sở phương pháp:
Trong nhiều bài toán phương trình nghiệm nguyên ta tách phương trình ban đầu thành các phần có giá trị nguyên để dễ dàng đánh giá tìm ra nghiệm, đa số các bài toán sử dụng phương pháp này thường rút một ẩn (có bậc nhất) theo ẩn còn lại.
* Ví dụ minh họa:
Bài toán 1. Tìm các số nguyên x và y thoả mãn phương trình:

Hướng dẫn