TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
Trong chủ đề này, chúng tôi xin giới thiệu một chuyên đề hình học lớp 10 nữa, đó là phép nhân vô hướng của hai vecto. Phép nhân này cho kết quả là một số, số đó gọi là tích vô hướng của hai vecto. Để có thể xác định tính vô hướng của hai vecto ta cần đến khái niệm giá trị lượng giác của một góc bất kì với là mở rộng của khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn đã biết ở lớp 9.

§1. Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ đến
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa
Với mỗi góc ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Tung độ của điểm M là sin của góc , kí hiệu là
Hoành độ của điểm M là côsin của góc , kí hiệu .
Giả sử điểm M có tọa độ . Khi đó
Khi , tỉ số được gọi là tang của góc , kí hiệu .
Khi , tỉ số được gọi là cotang của góc , kí hiệu .
Các số được gọi là các giá trị lượng giác của góc .
Nhận xét: Với định nghĩa này, ta thấy:
+ Góc bất kì từ đến có sin thuộc đoạn .
+ Góc bất kì từ đến có cosin thuộc đoạn .
+ Với :
+ Với :
2. Các hệ thức lượng giác cơ bản
1. . 4.
2. . 5.
3. . 6.
3.Tính chất
a) Hai góc phụ nhau
1. . 4.
2. . 5.
b) Hai góc bù nhau
1. . 4.
2. . 5.
4. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Giá trị lượng giác






0



1

1



0

0

1

||

||

1

0
Ghi nhớ:
Cách 1: Quy tắc bàn tay trái.
- Bước 1: Ghi các góc đặc biệt lên các ngón tay như hình vẽ (lòng bàn tay hứng vào trong).
Tính giá trị lượng giác của góc nào, ta quặp ngón tay đó lại như hình vẽ.
- Bước 2:

Cách 2: Đánh số vị trí cho các góc lần lượt theo thứ tự là 0, 1, 2, 3, 3.

Chú ý: Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.
Chẳng hạn:

5. Góc giữa hai vectơ
a) Định nghĩa
Cho hai vectơ và đều khác vectơ . Từ một điểm O bất kì ta vẽ và . Góc với số đo từ đến được gọi là góc giữa hai vectơ và . Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ và và . Nếu thì ta nói rằng và vuông góc với nhau, kí hiệu là hoặc
Lời giải
b) Nhận xét:
Từ định nghĩa ta có .
+ khi và chỉ khi và cùng hướng.
+ khi và chỉ khi và ngược hướng.
B. Các dạng toán điển hình
Xác định tọa độ của điểm M
Với dạng toán này, học sinh cần nắm vững định nghĩa..
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là một điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho (như hình vẽ). Tọa độ của điểm M là:
A. B.
C. D.
Lời giải





Vì hoành độ của điểm M là , tung độ của điểm M là nên tọa độ của điểm M là .
Đáp án C.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là một điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho (như hình vẽ). Hoành độ của điểm M là:
A. B. C. D.
Phân tích: Dựa vào ví dụ 1, hoành độ điểm M là .Dùng máy tính cầm tay ta suy ra kết quả là đáp án A. Ta sẽ chuẩn xác lời giải bằng 2 cách sau:
Lời giải
Cách 1: (Dùng hình học)
Xét tam iacs ABC cân tại A, . Khi đó .
Dựng phân giác CD. Suy ra tam giác ACD cân tại D, tam giác BCD cân tại C.
Do đó: .
Kẻ . Đặt
Khi đó .
Do CD là phân giác của góc nên

Vậy . Hoành độ của điểm M là .
Lưu ý: Từ bài toán này ta có thể tính được bằng cách làm tiếp từ bài toán trên như sau:
Kể , do tam giác CDB cân tại C nên
Mà nên
Cách 2: (Sau khi học xong các công thức lượng giác)
Ta có:

Đáp án A
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A, B lần lượt là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho (như hình vẽ). Giá trị của bằng:
A. B.
C. D.
Phân tích: Với bài toán thi trắc nghiệm, với kiểu hỏi này, ta có thể cho . Từ đó ta sẽ cho ra kết quả là đáp án B
Lời giải
Từ giả thiết, ta có: và .
Dựng tam giác MON sao cho , N là giao điểm của nửa đường tròn với trục hoành, M thuộc nửa đường tròn đơn vị.
Suy ra và .
Với cách dựng hình như trên ta có:

Đáp án B
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A, là giao điểm của nửa đường tròn đơn vị với trục Ox (A thuộc tia Ox), M thuộc trục Ox sao cho (như hình vẽ). Dựng điểm N trên nửa đường tròn đơn vị sao cho MN vuông góc với OA. Khi đó bằng:
A. B. C. D.
Lời giải
Do MN vuông góc với OA nên hoành độ điểm N bằng hoành độ điểm M. Do nên . Suy ra
Tung độ điểm N dương do giả thiết bài toán.
Do .
Khi đó
Đáp án A
Tính giá trị của biểu thức lượng giác
Với dạng toán này, ta sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.
Bài toán 1: Biết , tính các giá trị lượng giác còn lại của góc .
Phương pháp:
Ta có:
Biết , ta sẽ tính được
Bài toán 2: Biết , tính các giá trị lượng giác còn lại của góc .
Phương pháp:
Trường hợp 1: Nếu thì giá trị
Do đó ta có thể tính đưuọc 1 trong 3 giá trị như sau:
- Tính được bằng cách sử dụng công thức: , rồi suy ra hai giá trị còn lại.
- Tính được bằng cách sử dụng công thức: , rồi suy ra hai giá trị còn lại.
Trường hợp 2: Nếu thì
Do đó ta có thể tính được 1 trong 3 giá trị như sau:
- Tính được bằng cách sử dụng công thức: , rồi suy ra hai giá trị còn lại.
- Tính được bằng cách sử dụng công thức: , rồi suy ra hai giá trị còn lại.
Bài toán 3: Biết , tính các giá trị lượng giác còn lại của góc . (Trường hợp biết tính tương tự)
Phương pháp:
Trường hợp 1: Nếu thì
Do đó ta có thể tính được 1 trong 3 giá trị như sau:
- Tính được bằng cách sử dụng công thức: , rồi suy ra hai giá trị còn lại.
Trường hợp 2: Nếu
Do đó ta có thể tính được 1 trong 3 giá trị như sau:
- Tính được bằng cách sử dụng công thức: , rồi suy ra hai giá trị còn lại.
Bài toán 4: Biết giá trị của một biểu thức lượng giác theo , tính các giá trị lượng giác của góc
Phương pháp:
- Biến đổi biểu thức lượng giác đã cho về một dạng chỉ chứa một hàm lượng giác, rồi tực hiện phép đặt ẩn phụ (nếu cần) để giải một phương trình đại số.
- Biến đổi biểu thức đã cho về dạng tích.
- Sử dụng bất đẳng thức.
Bài toán 5: Biết giá trị của một biểu thức lượng giác, giả sử là biểu thức A, tính các giá trị của biểu thức lượng giác B.
Phương pháp:
- Biến đổi A rồi thay vào B.
- Biến đổi B rồi sử dụng A.
- Biến đổi đồng thời cả hai biểu thức A, B xuất hiện biểu thức trung gian.
- Sử dụng phương pháp giải phương trình để tính các giá trị.
Ví dụ 1: Biết và
a) Tính các giá trị lượng giác còn lại.
b) Tính giá trị của biểu thức: .
Lời giải
a) Ta có
b) Với câu b, ta có thể thay trực tiếp kết quả tính được ở ý a, cho ra kết quả. Ngoài ra ta có thể làm như sau:

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có
a) Tính ?
b) Tính giá trị của biểu thức: .
Lời giải
a) Vì nên suy ra góc tù. Do đó
Ta co: , .
b) Với ý b, ta có thể thay trực tiếp kết quả từ ý a. Sau đây chúng tôi nêu thêm một cách nữa như sau:

Ví dụ 3: Cho các số m, n dương và số thỏa mãn . Tính .
Lời giải
Với , ta suy ra . Khi đó (vô lí).
Vậy .
Cách 1: (sử dụng bất đẳng thức).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản ta có:


Cách 2: Ta có thể tính như sau:

Cách 3: Đặt . Khi đó (1) trở thành

Ví dụ 4:
a) Với giá trị nào của thì biểu thức xác định.
b) Cho góc thỏa mãn . Tính .
Lời giải
a) Biểu thức xác định thì

b) Ta có:
Cách 1:

Từ đây sẽ dễ dàng tìm ra được
Cách 2:

Do nên . Vậy
Chứng minh, rút gọn biểu thức lượng giác
Vấn đề 1. Chứng minh đẳng thức lượng giác
Phương pháp:
Cách 1. Biến đổi vế phức tạp sang vế rút gọn.
Cách 2. Biến đổi cả hai vế về cùng một biểu thức trung gian.
Cách 3. Biến đổi tương đương đẳng thức cần chứng minh thành một đẳng thức đúng.
- Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản.
- Chú ý tới các hằng đẳng thức đáng nhớ:
1.
2. .
3.
4.
5.
Vấn đề 2. Rút gọn các biểu thức lượng giác.
Phương pháp:
- Đưa về cùng một loại hàm số lượng giác.
- Rút gọn đến biểu thức đơn giản nhất.
- Nếu gặp dạng phân thức thì ta thường phải biến đổi tử và mẫu duwois dạng tích rồi rút gọn cho nhân tử chung.
- Nếu gặp dạng căn thức thì thường nhân và chia cho biểu thức liên hợp, biến đổi biểu thức trong căn dạng lũy thừa rồi rút gọn.
Vấn đề 3. Chúng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến số
Phương pháp:
- Biến đổi và rút gọn biểu thức cho đến khi nhận được biểu thức đơn giản mà không phụ thuộc vào biến số theo yêu cầu bài toán.
- Nếu biểu thức chứa một biến số thì biến đổi nó bằng hằng số.

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau
a) với .
b) .
c) .
Lời giải
a)

b)
Cách 1:




Cách 2:

Cách 3:

c, Đặt Khi đó:
Khi đó


Ví dụ 2: Cho khác 0 và thỏa mãn Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào

Lời giải
Ta xét các trường hợp sau:
Nếu Theo giả thiết ta suy ra
Lúc đó không phụ thuộc vào
Tương tự với các trường hợp Rõ ràng rằng nếu thì
Ta xét trường hợp cả hai giá trị
Ta có:



Ví dụ 3: Cho biểu thức
Xác định để
A không phụ thuộc vào
Lời giải




Để A không phụ thuộc vào điều kiện là
So sánh giá trị của các “hàm” lượng giác
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên nửa đường tròn đơn vị (như hình vẽ) lấy hai điểm M, N sao cho
Ta có:
Với giả thiết ta luôn có:

Trường hợp ta luôn có
Trường hợp ta luôn có:
Khi đó
Trường hợp ta cũng xét tương tự.
Ví dụ: So sánh các cặp số:
a) và
b) và
c) và .
d) và .
e) và
Lời giải
Theo nhận xét trên ta dễ dàng đưa ra được kết quả:
a) Do nên
b)
c)
d)
e)
Hai góc bù nhau, phụ nhau.
Ví dụ 1: Giá trị của:
là:
A. B. C. D.
Ta có:
Tương tự:
Vậy

Đáp án B.
Ví dụ 2: Tính
A. 1. B. 2. C. -1. D.
Lời giải
Ta có:

…

Suy ra
Đáp án A.
Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức:
a)
b)
Lời giải
a) Do
nên
Lại có:

Vậy

b) Ta có:

Vậy
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) b)
c)

Lời giải
Theo giả thiết ta có:
a) Khi đó ta có:
b)
c)

Phương pháp lượng giác hóa để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.
Trong một số trường hợp, nếu để nguyên dạng đại số của phương trình, bất phương trình hay của hàm số đã cho thì việc giải phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sẽ gặp chút khó khăn. Trong trường hợp đó, nếu điều kiện cho phép người ta có thể tàm cách chuyển phương trình, bất phương trình, của hàm số từ dạng đại số thành dạng lượng giác (gọi là phương pháp lượng giác hóa các hàm đại số), với hi vọng dưới dạng mới bài toán sẽ dễ giải hơn.
Các dấu hiệu phép lượng giác hóa:
1. Nếu bài toán có (hiệ hoặc ẩn) điều kiện thì cho phép biến đổi
2. Nếu trong bài toán có biểu thức dạng thì chọn phép biến đổi

3. Nếu trong bài toán có biểu thức dạng thì chọn phép biến đổi

4. Nếu trong bài toán có biểu thức dạng thì chọn phép biến đổi

5. Nếu trong bài toán có biểu thức dạng thì chọn phép biến đổi

Ví dụ 1: Giải phương trình:
Lời giải
Điều kiện:
Với thì
Trong trường hợp này phương trình vô nghiệm. Vậy
Cách 1: Phương trình (1) tương đương

Đặt phương trình trên trở thành:

Do điều kiện của t nên ta có
Kết hợp với điều kiện là hai nghiệm của phương trình.
Cách 2: (phương pháp lượng giác).
Đặt Phương trình (1) trở thành:
Đặt Ta có:
Thay vào phương trình ta được:
Từ đây ta tính được
Như vậy là nghiệm của phương trình:
Từ đây ta tính được hoặc
Tương ứng ta được các nghiệm của phương trình là

Ví dụ 2: Giải phương trình:
Lời giải
Điều kiện:
Đặt thì phương trình trở thành:

Đặt Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

Phương trình nên trở thành:

Với ta có:
Với ta có:
Hay
Vậy phương trình có hai nghiệm là

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A và ba số thực sao cho
Chứng minh rằng: trong đó
Lời giải
Từ giả thiết ta có:
Do tam giác ABC vuông tại A nên Vậy
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
(đpcm).


Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
biết
Lời giải
Do nên
Dấu bằng xảy ra khi hoặc
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng
Nhận dạng tam giác
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện:

Tính các góc của tam giác ABC.
Lời giải
Ta có:




Do tam giác ABC không tù nên và
Do đó:


Vậy

Ví dụ 2: Tính các góc của tam giác ABC biết và

Lời giải




(*)
Do và nên

Ví dụ 3: Tính các góc của tam giác ABC biết

Lời giải



Xác định góc giữa hai vectơ
Ví dụ: Cho lục giác đều ABCDEF ngoại tiếp đường tròn tâm O.
Tính góc:
Lời giải
Do cùng hướng nên
+ ngược hướng nên
+ Do cùng hướng nên
+ nên
+ Do cùng hướng nên












Câu 1: Cho tam giác ABC đều. G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó góc giữa và bằng:
A. B. C. D.
Câu 2: Giá trị của biểu thức bằng:
A. 1. B. 5. C. D.
Câu 3: Cho hai góc nhọn và Khẳng định nào sau đây sai?
A. B.
C. D.
Câu 4: Bất đẳng thức nào dưới đây là sai?
A. B.
C. D.
Câu 5: Trong hệ trục toạn độ Oxy, cho điểm và nửa đường tròn đơn vị như hình vẽ. Gọi N là giao điểm của đoạn OM với nửa đường tròn. Tọa độ điểm N:

A. B.
C. D.
Câu 6: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm và nửa đường tròn như hình vẽ. Tọa độ giao điểm của đường thẳng OM với nửa đường tròn trên là:

A. B. C. D.
Câu 7: Cho biết Giá trị của bằng bao nhiêu?
A. B.
C. D.
Câu 8: Cho và là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?
A. B.
C. D.
Câu 9: Cho góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
A. B.
C. D.
Câu 10: Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
A. B.
C. D.
Câu 11: Xét các khẳng định sau:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Số khẳng định đúng là:
A. 0 B. 1. C. 2. D. 5.
Câu 12: Cho và các số thực . Mệnh đề nào sau đây đúng:
A. B.
C. D.
Câu 13: Cho biết Tính giá trị của:

A. B. C. D.
Câu 14: Cho các đẳng thức sau:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Số đẳng thức sai
A. 1. B. 2. C. 4. D. 6.
Câu 15: Cho các góc a, b, c, d thuộc sao cho Khi đó: bằng:
A. B.
C. D.
Câu 16: Biết Giá trị của bằng:
A. B. C. -1. D. 0.
Câu 17: Cho với k là số nguyên dương.
Giá trị của biểu thức bằng:
A. B. C. D. 0.
Câu 18: Biểu thức có giá trị bằng:
A. -1. B. 0. C. 2. D. 1.
Câu 19: Cho Giá trị của biểu thức:
là:
A. B. -13. C. D. 13.
Câu 20: Cho biết Giá trị của biểu thức: bằng:
A. B. C. D.
Câu 21: Cho Số các giá trị của m để
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 22: Biểu thức bằng:
A. B.
C. D.
Câu 23: : Đơn giản biểu thức:

A. B. C. D.
Câu 24: Đơn giản biểu thức ta được:
A. B. C. D.
Câu 25: Rút gọn biểu thức sau:

A. A=1. B. A=2. C. A=3. D. A=4.
Câu 26: Rút gọn biểu thức ta được:
A. B.
C. D.
Câu 27: Cho Số nghiệm của phương trình là
A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.
Câu 28: Cho tam giác ABC vuông tại A. Các cạnh của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: Khi đó bằng:
A. B. C. D.
Câu 29: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho BD = AC. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = AD. Tia DC cắt BE tại F. Khi đó bằng:
A. B. C. 1. D.
Câu 30: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thỏa mãn hệ thức Khi đó bằng:
A. B. C. 1. D.
Câu 31: Cho x thỏa mãn Tính giá trị biểu thức:
Bạn Anh Vũ đã làm như sau:
Bước 1: Nếu thì

Nếu thì
Bước 2: Ta có:

Bước 3: Do

Bước 4: Vậy là các giá trị cần tính.
Bạn Anh Vũ sai ở bước nào?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.


































$2. Tích vô hướng của hai vectơ
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa.
Cho hai vectơ và đều khác vectơ Tích vô hướng của và là một số, kí hiệu là được xác định bởi công thức sau:

Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ và bằng vectơ ta quy ước
Chú ý:
+ Với và khác vectơ ta có
+ Khi tích vô hướng được kí hiệu là và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ .
Ta có:
+ là góc nhọn.
là góc vuông.
là góc tù.

2. Các tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ bất kì và mọi số k ta có:
+ (tính chất giao hoán);
+ (tính chất phân phối);
+
+
Nhận xét: Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:
+ ;
+ ;
+ .
3. Định lí hình chiếu.
Cho hai vectơ và Gọi lần lượt là hình chiếu của C, D trên đường thẳng AB. Khi đó:
4. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Trên mặt phẳng tọa độ , cho hai vectơ
Khi đó tích vô hướng là:

5. Ứng dụng.
a) Độ dài của vectơ
Độ dài của vectơ được tính theo công thức:

b) Góc giữa hai vectơ.
Từ định nghĩa tích vô hướng giữa hai vectơ ta suy ra nếu và đều khác thì ta có

c) Khoảng cách giữa hai điểm.
Khoảng cách giữa hai điểm và được tính theo công thức:

B. Các dạng toán điển hình
Tính tích vô hướng – Tính góc.
1. Tính tích vô hướng.
Ta có thể lựa chọn một trong các hướng sau đây:
• Hướng 1: Sử dụng định nghĩa bằng cách đưa 2 vectơ và cùng gốc để xác định chính xác góc , từ đó:
• Hướng 2: Sử dụng các tính chất và các đẳng thức của tích vô hướng của hai vectơ.
Lưu ý:

• Hướng 3: Nếu đề bài cho dạng tọa độ

2. Tính góc. Cho hai vectơ và . Nếu và đều khác thì:

Ví dụ 1:Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh bằng a. Tính:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Lời giải:
a) Do cùng hướng nên
Do đó:
b) Hai vectơ cùng hướng, do đó
Ta có:
c) Hai vectơ ngược hướng, do đó
Suy ra
d)

e)

f)
Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD uông tại A và B có các đáy và cạnh
a) Tính và
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD. Hạ vuông góc với AC.
Tính và độ dài
Lời giải
a) * Tính
Cách 1: (Sử dụng định lí hình chiếu)

Cách 2: (Sử dụng định nghĩa)


*Tính
Cách 1: (Sử dụng định lí hình chiếu)
Gọi E là hình chiếu của D trên BC. Khi đó:
Cách 2: (Sử dụng định nghĩa)


*Tính .
Ta có:
b) Tính .
Cách 1: (Sử dụng định lí hình chiếu).
Gọi F là hình chiếu của C trên IJ. Khi đó tứ giác IBCF là hình chữ nhật.

Cách 2:
*Tính .
Ta có: Từ đó suy ra
Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD có trong đó E, F lần lượt là trung điểm của AC, BD. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AB, CD. Tìm điều kiện để góc là góc tù.
Lời giải
Ta có:

Suy ra:
Vậy
Để là góc tù thì
Chứng minh đẳng thức vectơ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có Gọi O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác ABC. Và R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng:
(Công thức Euler)
Lời giải
Ta có:




Vậy
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có . Điểm M thuộc đoạn AB. Giả sử Chứng minh rằng: .
Lời giải
Giả sử chân đường vuông góc H hạ từ đỉnh C nằm giữa A và M (có thể H trùng M). Ta có:

Tương tự ta có:
Từ hai đẳng thức trên ta có:

Đặc biệt: Trường hợp M trùng với A, B thì đẳng thức vẫn đúng.
*Chú ý:
1. Khi M trung điểm của AB, ta có:

Tương tự,
Đây là công thức trung tuyến trong tam giác ABC.
2.Khi CM là phân giác trong của góc (M thuộc AB).
Ta có: . Từ đó suy ra
Theo công thức trên ta có:


Tương tự .
Đây là công thức tính độ dài đường phân giác.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. M là một điểm bất kì.
Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:

Mặt khác,

Do đó,
Vậy

Ví dụ 4: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Chứng minh rằng với mọi điểm M ta luôn có:
Lời giải
Do tam giác ABC đều nên O là trọng tâm tam giác.
Suy ra:
Mặt khác, ta luôn có:

Tương tự ta cũng có:
Từ đây suy ra:

Ví dụ 4: Chứng minh rằng trong hình bình hành ta có: tổng các bình phương hai đường chéo bằng tổng các bình phương của các cạnh.
Lời giải
Cho hình bình hành ABCD, ta chúng minh:
Ta có:

Do nên
Vậy ta có:
Ví dụ 5: Cho đường tròn O;R và điểm M cố định,
Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Khi đó
Lời giải

Gọi C là điểm đối xứng của A qua O . Ta có hay B là hình chiếu của C trên AM. Khi đó ta có




Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ta cần chứng minh tích vô hướng của chúng bằng 0:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của BC. D là hình chiếu của H lên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh:
Lời giải
*Cần chứng minh:
Ta có: và
Do đó:

Mà


Vậy
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho Gọi N là trung điểm CD. Chứng minh rằng BMN là tam giác vuông cân.
Lời giải
Đặt
Khi đó:
và
Ta có:


Vậy và MB = MN, tam giác BMN vuông cân tại đỉnh M.
Ví dụ 3: Cho tứ giác lồi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi H và K lần lượt là trực tâm các tam giác ABO và CDO. Và I, J lần lượt là trung điểm AD và BC. Chứng minh rằng:
Lời giải
*Cần chứng minh:
Ta có:
Suy ra:

Vậy
Ví dụ 4: Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AK và CD.
1. Chứng minh:
2. Tìm điều kiện của hình chữ nhật để tam giác BMN vuông cân.
*Nhận xét: - Phân tích các vectơ theo các vectơ gốc:
- Chứng tỏ:
Lời giải
1. Đặt và
Ta có:
Do đó:

Vì và nên
2. Ta có:




(1)
Mặt khác: Vì nên
Thay vào (1) ta được:

Vậy điều kiện cần và đủ để tam giác BMN vuông cân là ABCD là hình vuông.
Bài tập rèn luyện kĩ năng:
1. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp , D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm của Chứng minh rằng nếu: AB = AC thì
2. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng:

3. Cho tam giác cân ABC, AB = AC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D là trung điểm cạnh AB và G là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh: .
4. Cho cân tại A. Gọi D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm Chứng minh (I là tâm đường tròn ngoại tiếp
5. Cho hình vuông ABCD, trên DC lấy điểm E, kẻ M, N lần lượt là trung điểm AE và DC. Chứng minh rằng:
6. Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AH và DC. Chứng minh rằng:
7. Cho hình vuông ABCD , trên AB lấy điểm P, trên AD lấy điểm Q sao cho AP = AQ. Kẻ Chứng minh rằng:
Chứng minh bất đẳng thức
Ta đã biết với hai vectơ khác , tchs vô hướng được định nghĩa như sau:

Từ đây ta có thể rút ra một số bất đẳng thức:
hoặc
Sau đây là một số ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC luôn có:

Lời giải
Thiết lập các đơn vị có giá trị lần lượt vuông góc với các cạnh AB, BC, AC của , ta được:



Mặt khác ta luôn có:

đpcm.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC luôn có:

Lời giải
Ta có:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

Đặt Khi đó là ba góc của một tam giác. Theo ví dụ trên ta suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC luôn có:

Lời giải
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , ta nhận được:

Mặt khác:

, điều phải chứng minh.
Ví dụ 4: Chứng minh với mọi số thực x, y ta luôn có:
(*)
Lời giải
Ta có (*)
Đặt: Suy ra:
Do Suy ra (đpcm).
Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình
Ví dụ 1: Giải phương trình:
Lời giải
Điều kiện: Đặt
Ta có:
Ta có:
Thử lại với x = 3, thỏa mãn. Vậy tập nghiệm của phương trình là
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
Lời giải
Điều kiện: Đặt
Ta có:
Ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Thử lại với x = 5, thỏa mãn. Vậy tập nghiệm của phương trình là
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:

Lời giải
Trong mặt phẳng Oxy, đặt
Hệ phương trình trở thành: (I).
Nếu thì Thay vào phương trình (3) ta có:

Nếu thì từ hai phương trình đầu của hệ (I) ta suy ra cùng phương.
Kết hợp với phương trình ba của hệ (I) ta suy ra hoặc
Trường hợp 1:
Thay vào (1) ta có .
Với thì
Với thì
Trường hợp 2:
Thay vào (1) ta có:
Thử lại ta thấy các bộ số

đều là nghiệm của phương trình đã cho.
Tìm tập hợp điểm, bài toán cực trị
Một số bài toán cơ bản:
1. Cho đoạn thẳng AB, tập hợp các điểm M thỏa mãn:
+ là đường thẳng vuông góc với AB tại A.
+ là đường tròn đường kính AB.
2. Cho điểm I cố định và một số k. Tập hợp các điểm M thỏa mãn là:
+ Tập rỗng nếu k < 0.
+ Là điểm I nếu k = 0.
+ Là đường tròn tâm I bán kính nếu k > 0.
Một số ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B cố định. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện: (với k là số cho trước).
Lời giải
Gọi O là trung điểm của đoạn AB. Khi đó:

Theo giả thiết ta có:
Theo bài toán cơ bản 2, ta có tập hợp các điểm M là:
+ Đường tròn tâm O (trung điểm của đoạn AB), bán kính nếu
+ Điểm O (trung điểm đoạn AB) nếu
+ Tập rỗng nếu
Ví dụ 2: Cho hai điểm A, B phân biệt, cố định và một số thức k. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện:
Lời giải
Gọi O là trung điểm đoạn AB và H là hình chiếu của M lên AB. Khi đó:

Theo giả thiết ta có:
Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện: là đường thẳng vuông góc với AB tại điểm H cách trung điểm O của đoạn AB một khoảng được xác định bởi hệ thức:
Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M là điểm bất kỳ. Giả sử M di động trên đường thẳng , tìm các vị trí của M để đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
Ta có:



Do không đổi nên đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi M là hình chiếu của D lên đường thẳng
Xác định tọa độ trực tâm, tâm ngoại tiếp tam giác
1. Bài toán xác định tọa độ trực tâm của khi biết tọa độ đỉnh A, B, C.
Bước 1: Giả sử là trực tâm của tam giác ABC. Từ đây các bạn tính được tọa độ của các vectơ .
Bước 2: suy ra tọa độ điểm H.
2. Bài toán xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ ba đỉnh A, B, C.
Bước 1: Giả sử là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Từ đây các bạn tính được tọa độ các vectơ Suy ra độ dài IA, IB, IC.
Bước 2: , suy ra tọa độ điểm I.
Ngoài ra ta cũng cần nắm dược bài toán sau:
3. Bài toán xác định tọa độ điểm K là hình chiếu của A lên đường thẳng BC.
Từ , ta suy ra tọa độ K.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có điểm
a) Tính chu vi tam giác ABC.
b) Tìm điểm M thuộc trục Oy sao cho M cách đều hai điểm A và B.
c) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.
d) Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
e) Xác định tọa độ điểm N là hình chiếu của A lên đường thẳng IH.
Lời giải
a) Ta có:


Chu vi tam giác ABC bằng:
b) Do M nằm trên Oy nên .
Ta có:

Để M cách đều A và B thì MA = MB

Vậy thoar mãn yêu cầu bài toán.
c) Giả sử là tọa độ điểm H.
Ta có:
H là trực tâm tam giác ABC nên

d) Giả sử là tọa độ của điểm I.
Ta có:
I là tâm ngoại tiếp tam giác ABC nên


Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng
e) Giả sử là tọa độ điểm N.
Ta có:
Ta có:









Câu 1: Cho hai vectơ và ngược hướng và khác vectơ Trong các kết quả sau đây, hãy chọn kết quả đúng:
A. B.
C. D.
Câu 2: Cho hai vectơ và thỏa mãn điều kiện và Độ dài vectơ
A. B. C. 8. D. 124.
Câu 3: Cho 2 vectơ và thỏa mãn và Khi đó bằng:
A. B. C. D.
Câu 4: Cho 2 vectơ và thỏa mãn và hai vectơ và vuông góc với nhau. Khi đó bằng:
A. B. C. D.
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ Khi đó bằng:
A. B. C. 1. D.
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ Khi đó bằng:
A. B.
C. D.
Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ Số giá trị của x để là:
A. 0 B. 1. C. 2 D. 3
Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 vectơ Đẳng thức nào sau đây sai:
A.
B.
C.
D.
Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ và
a) Biết vectơ vuông góc với khi đó k bằng:
A. B.
C. D.
b) Số các giá trị k để độ dài vectơ bằng độ dài vectơ là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
c) Gọi X là tập hợp các giá trị của k thỏa mãn điều kiện góc giữa hai vectơ và bằng Khi đó tập hợp X bằng:
A. B.
C. D.
Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ và với Biết rằng vectơ vuông góc với vectơ Khẳng định nào sau đây đúng?
A. B.
C. D.
Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ và Vectơ thỏa mãn điều kiện thỏa mãn điều kiện và Khi đó có tọa độ là:
A. B.
C. D.
Câu 12: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng a. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của BC, AC. I là hình chiếu của H lên AB. Cho các mệnh đề:






Số các mệnh đề đúng trong mệnh đề nào sau:
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 13: Cho tam giác ABC có
a) bằng:
A. B. C. D.
b) Tọa độ trực tâm H của tam giác ABC là:
A. B. C. D.
c) Tọa độ điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
A. B. C. D.
d) Biết M nằm trên Oy, có tung độ bằng m và cách đều hai điểm A, C. Khi đó m bằng:
A. B.
C. D.
e) N nằm trên Ox và có đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, điểm N có tọa độ là:
A. B.
C. D.
f) Tọa độ điểm đối xứng với A qua BC là:
A. B.
C. D.
g) Gọi D là điểm sao cho tam giác ABD vuông cân tại B và có tung độ dương. Khi đó, điểm D thuộc đường thẳng nào dưới đây?
A. B.
C. D.
Câu 14: Cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp đường tròn đường kính Gọi I là trung điểm AB, H là hình chiếu của B lên AD. K là trung điểm của đoạn HD. Xét các khẳng định sau:



Số các khẳng định sai trong các khẳng định trên là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 15: Cho hai điểm Tìm M trên tia Ox sao cho
A. B.
C. hay D.
Câu 16: Bạn Tùng Chi giải bài toán: “Cho đoạn thẳng và số Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn điều kiện: ” theo các bước sau:
Bước 1: Gọi O là trung điểm của đoạn AB. Kẻ như hình vẽ:

Bước 2: Ta có:



Bước 3: Sử dụng công thức hình chiếu ta có:


Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là tập rỗng.
Theo các bạn, lời giải của bạn Tùng Chi sai ở bước:
A. 1. B. 2.
C. 3. D. Không sai.
Câu 17: Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, ngoại tiếp đường tròn (C) tâm có D là tiếp điểm của (C) trên cạnh AC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt cạnh AB tại điểm E khác B. Các đường thẳng qua A, D và vuông góc với CE cắt các cạnh BC tại và Khi đó bằng:
A. B. 1 C. 2. D.
Câu 18: Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Khi đó bằng:
A. B. C. D.
Câu 19: Cho tam giác cân tại A, AH là đường cao. Gọi D là trung điểm của AH. Kẻ HE vuông góc với CD tại E. Khi đó bằng:
A. B. C. D.
Câu 20: Cho hình chữ nhật ABCD. Đường thẳng qua D vuông góc với AC cắt BC tại N. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của CD, CN. T là điểm trên NC sao cho CN = 3NT. Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng:
A. DN. B. DT. C. DF. D. DC.
Câu 21: Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình:

Số phần tử của tập hợp S là:
A. 0. B. 1. C. Vô số. D. 2.
Câu 22: Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:

Bước 1:


Bước 2:

Bước 3:
Bước 4: Điều này tương đương với tứ giác ABCD là hình bình hành
Điều này tương đương với tứ giác ABCD là hình bình hành
Lời giải trên sai ở bước nào?
A. Bước 1. B. Bước 2.
C. Bước 3. D. Bước 4.
Câu 23: Cho hai vectơ có và Số các số x thỏa mãn là:
A. 0 B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 24: Cho ba vectơ khác thỏa mãn điều kiện: (1). Gọi Có bao nhiêu bộ thỏa mãn điều kiện (1)?
A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.
Câu 25: Cho tam giác ABC có Khi đó bằng:
A. B. C. D.
Câu 26: Cho tam giác ABC đều cạnh Lấy các điểm M, N, P lần lượt trên các cạnh BC, CA, AB sao cho Để thì x bằng:
A. B. C. D.
Câu 27: Cho hình thang cân ABCD có CD = 2AB = , AH vuông góc với CD tại H. Khi đó bằng:
A. B.
C. D.
Câu 28: Cho hình thoi ABCD cạnh ,
Khi đó bằng
A. B.
C. D.

$3. Các hệ thức lượng trong tam giác
A. Lý thuyết
1. Một số kí hiệu
Cho tam giác ABC có và
+ lần lượt là trung tuyến kẻ từ A, B, C
+ là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB;
+ R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;
+ r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;
+ là nửa chu vi tam giác.
+ S là diện tích tam giác.
2. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu của A lên BC.
Đặt Khi đó:
1.
2.
3.
4. .
5.
3. Định lí côsin
Trong tam giác ABC bất kì, ta luôn có:

*Hệ quả:

*Nhận xét: Định lí này cho phép ta xét được tam giác nhọn, tù hay vuông thông qua các yếu tố cạnh của tam giác.
A nhọn
A tù
A vuông
Từ đây đưa đến cách nhận dạng tam giác ABC thông qua yếu tố cạnh của nó.
-Tam giác ABC có 3 góc nhọn .
-Tam giác ABC có 1 góc tù .
-Tam giác ABC có 1 góc vuông .
4. Định lí sin.
Trong tam giác ABC bất kì, ta luôn có:

Định lí sin được dùng để giải tam giác khi biết góc và độ dài cạnh đối diện và biết một góc hoặc một cạnh khác. Các bạn linh hoạt sử dụng định lí cosin và định lí sin để giải tam giác khi có các thông tin hợp lí.
5. Độ dài đường trung tuyến

*Nhận xét:
6. Công thức tính diện tích tam giác







*Nhận xét: Từ định lí cosin và công thức tính diện tích ta có thể xây dựng được công thức sau:

Tương tự:
B. Các dạng toán điển hình.
Giải tam giác

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có và Độ dài cạnh BC là:
A. BC= B.
C. D.
Lời giải
Cách 1: Áp dụng định lí cosin trong tam giác ta có:

Cách 2: Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có:
hoặc
• Với suy ra Ta có:

• Với suy ra Ta có:


Ví dụ 2: Tam giác ABC có Điểm M thuộc đoạn BC sao cho MC = 2MB.
a) Cosin của góc có số đo lớn nhất bằng:
A. B. C. D.
b) Độ dài cạnh AM là:
A. B. C. D.
Lời giải
a) Do nên có số đo lớn nhất.
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ta có:

Đáp án A.
b) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

Ta có:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABM ta có:
Đáp án C.
Nhận xét: Cho tam giác ABC, gọi M là điểm trên BC sao cho Khi đó:

Chứng minh: Ta có:




*Tính diện tích tam giác, bán kính đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp tam giác. Công thức tính độ dài đường trung tuyến


Ví dụ 3: Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau và có BC = 3, góc
a) Diện tích tam giác ABC là:
A. B.
C. D.
b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là:
A. B. 3. C. D.
c) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:
A. B.
C. D.
d) Giả sử Độ dài đường trung tuyến ứng với góc C bằng:
A. B. C. D.
Lời giải
a) Ta có:
Do tam giác BMC vuông tại M nên


Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:


Đáp án A.
b) Ta có:
Đáp án B.
c) Thay ý a) ta có:
Theo công thức tính diện tích tam giác ta có:
Đáp án C.
d) Do nên
Ta có: là nghiệm phương trình:
Suy ra
Cách 1:
Gọi N là trung điểm của AB. Áp dụng định lí cosin trong tam giác ACN ta có:


Cách 2: Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến ta có:

Đáp án A.
Ví dụ 4: Tam giác ABC có là đường cao kẻ từ B và Bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC được tính theo a, b và là:
A. B.
C. D.
Lời giải
Xét tam giác có:
Diện tích tam giác ABC bằng:
Lại có:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

Vậy
Đáp án A.
Ví dụ 5: Tam giác ABC có AB