Chuyên đề IX: Xác suất: Lý thuyết: 1. Phép thử và biến cố - sự kiện: + Phép thử ngẫu nhiên: Việc thực hiện một số điều kiện nào đó. + Không gian mẫu: Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra. VD: Gieo hai con xúc xắc ( KGM có 62 = 36 phần tử. + Biến cố: Là một tập con của không gian mẫu. + Biến cố sơ cấp: Là tập con chỉ có đúng một phần tử. VD trên: {1}; {5}. + Biến cố chắc chắn, biến cố không thể có. Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố bù, biến cố xung khắc. 2. Biến cố sơ cấp đồng khả năng - xác xuất: P(A) =
(m - số phần tử của tập A, n- số PT của mẫu) + Các tính chất: 0 ( P(A) ( 1; P(() = 0; P(E) = 1; P(A U B) = P(A) + P(B) nếu A, B xung khắc. + Định lý cộng: P( A U B) = P(A) + P(B) - P(A(B) 3. Xác suất có điều kiện (Định lý nhân): PA(B) = P(B/A) =
( P(A (B) = PA(B).P(A) Bài tập: 1. a. ĐH Cần Thơ. 96 (A + B): Bình đựng 5 bi xanh và 3 bi đỏ. Lấy một viên không hoàn lại, lấy tiếp viên nữa. Tính XS: +. Lần thứ nhất được bi xanh, lần hai được bi đỏ: p =
+. Lần hai được bi xanh: p =
. b. ĐH Cần Thơ. 96 (D): Bình đựng 4 bi xanh và 3 bi đỏ. Lấy hai viên bi đồng thời. Tính xác suất để: +. Được 2 bi xanh: p =
. +. Hai bi đỏ (Tương tự). +. Hai bi khác màu: p =
c. ĐH Nông Nghiệp I. 96: Bình đựng 5 bi xanh, 3 bi vàng, 4 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tính xác suất: 1. A = “ Được 3 bi xanh” ( P(A) =
. 2. B = “ ít nhất có một bi vàng” ( P(B) = 1 -
3. C = “ 3 bi cùng màu” ( P(C) =
. d. ĐH An Ninh (C). 97: Thùng 20 bi = 12 đỏ + 8 xanh. Lấy 3 viên bi. 1. Cả 3 viên đỏ. 2. Cả 3 viên xanh. 3. Có ít nhất một viên đỏ. Bạn tự giải tiếp. e. SHSP 2. 97: Thùng kín có 10 bi = 7 xanh + 3 ẵị. Lấy 3 viên bi. Tính xác suất để: 1. Có 2 viên xanh. 2. Lấy từng viên một liên tíêp hai lần. Tính xác suất được bi đỏ lần một, bi xanh lần hai. f. TCKT. 98: Thùng kín có 7 bi = 4 xanh + 3 ẵị. Lấy 3 viên bi. Tính xác suất được: +. 2bi đỏ và 1 bi xanh. +. Cả ba bi xanh. g. ĐH TCKToán. 96: Bình đựng 5 bi đen và 7 bi trắng. 1. Lấy 3 bi. Tính xác suất có 2 bi trắng ( p =
2. Lấy không hoàn lại hai lần, mỗi lần một bi. Tính xác suất bi 1 trắng và bi 2 đen: p =
. 2. a. ĐH Đà Nẵng. 96: Hai máy điện thoại A, B độc lập. Xác suất máy A làm việc tốt là P(A) = 0,96. Xác suất máy B làm việc tốt là P(B) = 0,85. Tính xác suất để: +. Hai máy cùng làm việc tốt: p = P(A).P(B) = 0,96.0,85 +. ít nhất một máy làm việc tốt: p = 1 - 0,04.0,15. b. ĐH Đà Nẵng. 97: Tung hai con xúc xắc. Tính xác suất B = “ Tổng số điểm là 8”. ( P(B) =
Tính xác suất tổng số điểm lẻ hay chia hết cho 3: ( p =
3. ĐH Huế. 96: Bát giác đều ABCDEFGH. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của bát giác. Tính xác suất để: a. Được tam gíac cân: (Vẽ hình) Xét các khả năng: + Đáy là hai đỉnh liên tiếp: Không có ( cân. + Đáy AC có hai ( cân: ACB, ACF ( có 16 tam giác cân kiểu này. + Đáy AD: Không có ( cân. + Đáy AE (Đường chéo qua tâm) có 2 ( cân: AGE, ACE ( có 8 tam giác cân kiểu này Vậy p =
b. Được tam giác vuông hoặc cân: Có 24 (cân (ở trên) và 16 ( vuông không cân vì mỗi cạnh cho 2 ( vuông: Chẳng hạn cạnh AB thì có: ABF, ABE ( p =
. 5. a. HVKT Quân Sự. 96: Có ba thùng đựng các quả cầu. Thùng I: 4 trắng + 2đen. Thùng II: 3 trắng + 5 đen. Thùng III: 2 trắng + 2 đen. Lấy 1 quả ở thùng I cho vào thùng II; sau đó lấy 1 quả ở thùng II cho vào thùng III; sau đó lấy một quả ở thùng III cho vào thùng I . +. Tính xác xuất để thùng I có 3 trắng + 3 đen. +. Với xác suất lớn nhất thì thùng một có mấy quả T, Đ. Giải: +. Quả ở thùng I chuyển sang thùng II là trắng p1 =
. Khả năng 1: Quả ở thùng II chuyển sang III là trắng có: PT =
, Thùng III chuyển sang I phải là đen PĐ =
Khả năng này có xác suất P1 =


. Khả năng 2: Có PĐ =
và PT =
( P2 =


. Vậy Ycbt ( P =


+


=
+. Còn hai sự kiện nữa là ở thùng I cuối cùng có 1. 5 trắng + 1 đen 2. 4 trắng + hai đen Tính xác suất tương tự như trên thì P(4 trắng + hai đen) =
là lớn nhất (Vẫn như ban đầu). b. HVKT Quân Sự. 97: Có 25 quả cầu đen và trắng để trong 2 thùng. Thùng nào nhiều cầu hơn thì quả trắng nhiều hơn. Lấy từ mỗi thùng một quả. Biết xác suất được hai quả trắng là P(TT) = 0,48. Tính xác xuất được một đen, một trắng. Giải: Giả sử thùng I có m, thùng hai có n quả (m > n > 0). t, s là số quả trắng tương ứng (t > s ) ( P(TT) =
= 0,48 =
. Vì m.n ( 25 (
(
1 Nếu: m = 20, n = 5 Thì: 25.t.s = 12.20.5 ( t.s = 48 = 48.1 = 24.2 = 16.3 = 12.4 = 8.6. Vậy có các khả năng: t = 16, s = 3. t = 12, s = 4. Gọi TĐ = “Một quả đen, một quả trắng” Thì: Nếu: t = 16, s = 3: P(TĐ) =
. Nếu: t = 12, s = 4: P(TĐ) =
2. Nếu: m = 15, n = 10 Thì: 25.t.s = 12.15.15 ( t.s = 72 = 72.1 = 36.2 = 24.3 = 18.4 = 12.6 = 9.8 Vậy có các khả năng: t = 12, s = 6 Hoặc t = 9, s = 8. Nếu: t = 12, s = 6: P(TĐ) =
. Nếu: t = 9, s = 8 Thì: P(TĐ) =
c. ĐH Nông Nghiệp I. 97: Một tổ có 9 nam, 3 nữ: 1. Chọn 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
cách. 2. Tính xác suất để khi chọn một nhóm thì được nhóm có một nữ: Có
cách chọn một nhóm có một nữ ( P =
. 3. Có bao nhiêu cách chia tổ thành 3 nhóm, mỗi nhóm 4 người: Có
cách chọn một nhóm 4 người, còn 8 người ( có
cách chọn 4 ngừơi tiếp, còn lại 4 ( có
cách chọn. KL: Có


cách. 4. Tính xác suất để mỗi nhóm ở 3. có đúng một nữ: Theo 2. thì
= 84.3 cách chọn ra 4 người trong đó có đúng một nữ. Còn lại 6 nam và hai nữ ( có:
cách chọn nhóm hai có đúng một nữ. Còn lại: 3 nam một nữ ( có
= 1 Cách chọn. Vậy P =
=
6. a. ĐH Xây dựng. 96: +. Hộp I có: 2 bi đỏ, 3 bi trắng. Hộp II có: 4 đỏ, 2 trắng, 1 xanh. Gieo đồng thời hai con xúc xắc: 1. Tính xác xuất tổng số chấm ( 6: Có các kết quả đồng khả năng sau. Bạn tự giải tiếp. ( p =
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 2. Nếu tổng số chấm ( 6, ta lấy hộp I, Ngược lại lấy hộp II, sau đó lấy 1 bi. Tính xác suất để được bi đỏ. Gọi Đ = “ Được bi đỏ “ H1 = “Được bi ở hộp I”. H2 = “Được bi ở hộp II”. ( H1, H2 là nhóm đầy đủ. ( P(Đ) = PH1(Đ).P(H1) + PH2(Đ).P(H2) =
3. Gọi A = “4 < x + y < y”; B = “x + y lẻ và x + y < 8”. Tính: P(A U B) = P(A) + P(B) - P( A ( B) = P(B) =
b. Xuân, Thu chơi trò chơi: Gieo 2 con xúc xắc. Nếu tổng số chấm là một số lẻ > 5. Hoặc chỉ có một mặt 1 Thì Xuân thắng. Ai có hy vọng thắng nhiều hơn. Giải: Không gian mẫu như trên: Số kết quả thuận lợi cho Xuân thắng là: 16 của Thu là: 20. c. Gieo hai xúc xắc: Gọi x là số chấm con xúc xắc xanh, y đỏ. Nếu A = “x > y”; B = “x + y = 7” C = “x lẻ, y chẵn”; D = “x + y = 6”. Tính: P(AUB) =
. P(B) =
; P(C) =
; P(D) =
; P(B/C) =
=
=
; P(D/C) = 0. d. ĐH Xây dựng. 97: Gieo một con xúc xắc 3 lần. a. Tính xác suất để ít nhất hai lần gieo mà số chấm xuất hiện như nhau Giải : Không gian mẫu có 63 = 216 phần tử. Gọi B = “ Số chấm 3 lần gieo đôi một khác nhau”. Vậy số lần B xảy ra là số cách chọn 3 trong 6 phần tử (1, 2, 3, 4, 5, 6) có thứ tự ( có
= 6.5.4 = 120 cách ( P(B) =
. KL: P(ít nhất hai lần gieo mà số chấm xuất hiện như nhau) = 1- P(B) =
=
. Gọi: A = “Có ít nhất một lần mặt 6 chấm xuất hiện”; B = “Số chấm xuất hiện ở 3 làn gieo khác nhau”. Tính P(A/B) =
=
. Trong đó A.B = A ( B xảy ra khi có 3 số khác nhau trong đó có số 6 . Chọn 6 vào một trong 3 số ( có 3 cách chọn. Sao đó chọn 2 số trong 5 số (1, 2, 3, 4, 5) có thứ tự ( có
= 5.4 = 20 Vậy có 3.20 = 60 cách chọn: ( P(A/B)
=
=
=
e. ĐH Giao thông vận tải. 97: Có 20.000 vé số. Trong đó có 1 giải nhất, 100 nhì, 200 ba, 1000 tư và 5000 giải khuyến khích. Một người mua 3 vé. Tính xác suất trúng một giải nhì, hai giải khuyến khích. ( p =
. f. Báck Khoa. 98: Trong 100 vé số có 1 vé trúng 10.000đ, 5 vé trúng 5.000đ, 10 vé trúng 1000đ. Mua 3 vé. Tính xác suất trúng 3.000: P =
; Trúng ít nhất 3000đ: Có khả năng: + Cả ba vé trúng 1000 + Hai vé trúng. + Môt vé trúng. Bạn tự giải tiếp. g. ĐH Thuỷ lợi. 97: Trong hộp kín có 10 cầu trắng, 8 cầu đỏ. Lấy hú hoạ 5 quả cầu. Tính xác suất có đúng 3 quả đỏ: P =
7.a. Y Hà Nội.97: 1. Cho mười chữ số: 0, 1, 2, . . ., 9. Có thể lập bao nhiêu số lẻ 6 chữ số khác nhau, nhỏ hơn 600.000. Gọi chữ số thoã mãn đề bài là
. ( A ( {1, 2, 3, 4, 5}; H ( {1, 3, 5, 7, 9}; + Nếu: A là 2 hoặc 4 (Có hai cách chọn) thì H Có 5 cách chọn: 1, 3, 5, 7, 9. Còn B, C, D, G là chọn 4 trong các số: 0, 1, . . ., 9 loại đi 2 số A, H (còn 8 số) ( có:
cách chọn. Vậy có: 2.5.
số kiểu này. + Nếu: A là 1, 3, 5 (Có 3 cách) thì H là các số: 1, 2, 3, 5, 7, 9 loại đi số A (Còn 4 cách) . Lúc đó: B, C, D, G có
cách chọn. Vậy có: 3.4.
cách chọn số dạng này ( KL có: 2.5.
+ 3.4.
= 36960 số. b. Một bà mẹ muốn sinh bằng được con gái. Xác suất sinh con gái là 0,486. Tính xác xuất sinh