Lê Quang Hải

Véctơ

KHÁI NIỆM VÉCTƠ, CÁC PHÉP TOÁN VÉCTƠ
A. Kiến thức cơ bản
1. Các định nghĩa
- Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB .
- Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.
- Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB .
- Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0 .
- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
- Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
- Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu a , b ,... để biểu diễn vectơ.
+ Qui ước: Vectơ 0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
Mọi vectơ 0 đều bằng nhau.
2. Các phép toán trên vectơ
a) Tổng của hai vectơ
Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB  BC  AC .
Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: AB  AD  AC .
 a  b   c  a  b  c  ; a  0  a
Tính chất: a  b  b  a ;
b) Hiệu của hai vectơ
Vectơ đối của a là vectơ b sao cho a  b  0 . Kí hiệu vectơ đối của a là a .
Vectơ đối của 0 là 0 .
Hiệu của hai vectơ : a  b  a   b  .
Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB  OA  AB .
c) Tích của một vectơ với một số
Cho vectơ a và số k  R. ka là một vectơ được xác định như sau:
+ ka cùng hướng với a nếu k  0, ka ngược hướng với a nếu k < 0.
+ ka  k . a .
Tính chất: + k  a  b   ka  kb ; (k  l )a  ka  la ; k  la   (kl )a ;
+ ka  0  k = 0 hoặc a  0 .
- Điều kiện để hai vectơ cùng phương: a vaø b  a  0  cuøng phöông  k  R : b  ka
- Điều kiện ba điểm thẳng hàng:
A, B, C thẳng hàng  k  0: AB  k AC .
- Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng
phương a , b và x tuỳ ý. Khi đó ! m, n  R: x  ma  nb .
Chú ý:
- Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:
M là trung điểm của đoạn thẳng AB  MA  MB  0  OA  OB  2OM (O tuỳ ý).
- Hệ thức trọng tâm tam giác:
G là trọng tâm ABC  GA  GB  GC  0  OA  OB  OC  3OG (O tuỳ ý).

toanc3.online

Lê Quang Hải

Véctơ

VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ
Ví dụ 1. Cho hình thoi ABCD . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD . Xét
các cặp vectơ: AB và DC , DA và BC , BC và CD , OA và CO , BO và DO .
a) Hãy chỉ ra mối quan hệ về phương, hướng và độ dài của các vectơ trong mỗi cặp trên.
b) Trong các cặp trên, có bao nhiêu cặp gồm hai vectơ bằng nhau?
Giải
a) Do tứ giác ABCD là hình thoi, nên các cặp cạnh đối diện
song song và bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung
điểm của mỗi đường. Từ đó
- Hai vectơ AB và DC cùng hướng và cùng độ dài.
- Hai vectơ DA và BC ngược hướng và cùng độ dài.
- Hai vectơ BC và CD không cùng phương nhưng có độ dài
bằng nhau.
- Hai vectơ OA và CO cùng hướng và cùng độ dài.
- Hai vectơ BO và DO cùng độ dài, nhưng ngược hướng.
b) Theo kết quả câu a)
- Do hai vectơ AB và DC cùng hướng và cùng độ dài, nên AB  DC .
- Do hai vectơ OA và CO cùng hướng và cùng độ dài, nên OA  CO .
- Do hai vectơ DA và BC có cùng độ dài, nhưng ngược hướng nên DA và BC không
bằng nhau. Tương tự BO và DO không bằng nhau.
- Do hai vectơ BC và CD không cùng phương, vì vậy BC và CD không bằng nhau.
Vậy trong những cặp vectơ được xét, có 2 cặp gồm hai vectơ bằng nhau, đó là AB và
DC ; OA và CO .
Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0 ) có điểm đầu
và điểm cuối là các điểm A, B, C, D ?
Bài 2. Cho ABC có A, B, C lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
a) Chứng minh: BC  C A  AB .
b) Tìm các vectơ bằng BC  , C  A .
Bài 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD,
AD, BC. Chứng minh: MP  QN ; MQ  PN .

toanc3.online

Lê Quang Hải

Véctơ
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ

Phương pháp giải: Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo
hai vectơ không cùng phương, ta thường sử dụng:
– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ.
– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác.
– Tính chất của các hình.
Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật ABCD với AB  a , AD  a 2 .
a) Tính độ dài của vectơ DC  BD  AB .
b) Xác định điểm M sao cho DC  BD  AB  BM .
Giải
a) Do hình chữ nhật ABCD có AB  a, AD  a 2 nên độ dài



của hai đường chéo: AC  BD  a 2  a 2



2

 a 3.

Theo tính chất giao hoán và kết hợp phép cộng vectơ, ta có:
DC  BD  AB  AB  BD  DC  AB  BD  DC  AD  DC  AC .





Do đó DC  BD  AB  AC  a 3 .
b) Do DC  BD  AB  AC nên DC  BD  AB  BM
 AC  BM
Ta có: AC  BM tương đương với tứ giác ABMC là hình bình
hành. Từ đó CM  AB  DC .
Vậy điểm M cần tìm đối xứng với điểm D qua C .
Ví dụ 2. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O , Độ dài các cạnh bằng 1
a) Chứng minh rằng OA  OB  OC  OD  OE  OF  0
b) Tính độ dài của các vec tơ AB  OE , AB  CD  EF .
Giải
a) Do O là tâm của lục giác đều ABCDEF nên O là trung điểm
của các đường chéo AD, BE , CF
Khi đó OA  OD  0, OB  OE  0, OF  OC  0
Suy ra OA  OB  OC  OD  OE  OF  0 .
b) AB  OE  FO  OE  FE
Từ đó, do độ dài các cạnh của lục giác ABCDEF bằng 1 nên AB  OE  EF  1.
Bài 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh:
a) AB  DC  AC  DB
b) AD  BE  CF  AE  BF  CD .
Bài 2. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng
minh:
a) Nếu AB  CD thì AC  BD
b) AC  BD  AD  BC  2 I J .
c) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh: GA  GB  GC  GD  0 .

toanc3.online

Lê Quang Hải

Véctơ

Bài 3. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng
minh: 2( AB  AI  JA  DA)  3DB .
Bài 4. Cho ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS.
Chứng minh: RJ  IQ  PS  0 .
Bài 5. Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM.
a) Chứng minh: 2IA  IB  IC  0 .
b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA  OB  OC  4OI .
Bài 6. Cho ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm
đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh:
a) AH  2OM
b) HA  HB  HC  2HO
c) OA  OB  OC  OH .
Bài 7. Cho hai tam giác ABC và ABC lần lượt có các trọng tâm là G và G.
a) Chứng minh AA  BB  CC  3GG .
b) Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm.
Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh:
1
2
AM  AB  AC .
3
3
Bài 8. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là
điểm thuộc AC sao cho CN  2 NA . K là trung điểm của MN. Chứng minh:
1
1
1
1
a) AK  AB  AC
b) KD  AB  AC .
4
6
4
3
Bài 9. Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh
rằng:
1
1
1
a) AM  OB  OA
b) BN  OC  OB
c) MN   OC  OB  .
2
2
2
Bài 10. Cho ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng:
2
4
4
2
1
1
a) AB   CM  BN
b) AC   CM  BN c) MN  BN  CM .
3
3
3
3
3
3
Bài 11. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G.
2
1
1
a) Chứng minh: AH  AC  AB và CH    AB  AC  .
3
3
3
1
5
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: MH  AC  AB .
6
6
Bài 12. Cho hình bình hành ABCD, đặt AB  a , AD  b . Gọi I là trung điểm của CD, G
là trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích các vectơ BI , AG theo a , b .
Bài 13. Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích
vectơ AM theo các vectơ OA, OB, OC .
Bài 14. Cho ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P
sao cho MB  3MC , NA  3CN , PA  PB  0 .
a) Tính PM , PN theo AB, AC

b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng.
toanc3.online

Lê Quang Hải

Véctơ
VẤN ĐỀ 3: Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ

Phương pháp giải: Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đó đối với
hình vẽ. Thông thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng OM  a , trong đó O
và a đã được xác định. Ta thường sử dụng các tính chất về:
– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k.
– Hình bình hành.
– Trung điểm của đoạn thẳng.
– Trọng tâm tam giác, …
Bài 1. Cho ABC . Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA  MB  MC  0 .
Bài 2. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I. M là điểm tuỳ ý không nằm trên đường
thẳng AB . Trên MI kéo dài, lấy 1 điểm N sao cho IN = MI.
a) Chứng minh: BN  BA  MB .
b) Tìm các điểm D, C sao cho: NA  NI  ND ; NM  BN  NC .
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD.
a) Chứng minh rằng: AB  AC  AD  2 AC .
b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 3 AM  AB  AC  AD .
Bài 4. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
1
a) Chứng minh: MN  ( AB  DC ) .
2
b) Xác định điểm O sao cho: OA  OB  OC  OD  0 .
Bài 5. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là
trung điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta có: SA  SB  SC  SD  4SO .
Bài 6. Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
a) 2 IB  3IC  0
b) 2 JA  JC  JB  CA
c) KA  KB  KC  2 BC
d) 3LA  LB  2LC  0 .
Bài 7. Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
a) 2IA  3IB  3BC
b) JA  JB  2 JC  0
c) KA  KB  KC  BC
d) LA  2LC  AB  2 AC .
Bài 8. Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau:
a) IA  IB  IC  BC
b) FA  FB  FC  AB  AC
c) 3KA  KB  KC  0
d) 3LA  2LB  LC  0 .
Bài 9. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các
đẳng thức sau:
a) IA  IB  IC  4ID
b) 2FA  2FB  3FC  FD
c) 4KA  3KB  2KC  KD  0 .
Bài 10. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý.
a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD  MC  AB , ME  MA  BC ,
MF  MB  CA . Chứng minh D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
b) So sánh 2 véc tơ MA  MB  MC và MD  ME  MF .

toanc3.online

Lê Quang Hải

Véctơ

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng nhau
Phương pháp chứng minh:
- Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó thoả mãn đẳng
thức AB  k AC , với k  0.
- Để chứng minh hai điểm M, N trùng nhau ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức
OM  ON , với O là một điểm nào đó hoặc MN  0 .
Bài 1. Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : OA  2OB  3OC  0 . Chứng tỏ rằng A, B, C
thẳng hàng.
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho:
1
1
BH  BC , BK  BD . Chứng minh: A, K, H thẳng hàng.
5
6
Hướng dẫn: BH  AH  AB; BK  AK  AB .
1
Bài 3. Cho ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: IB  2IC , JC   JA ,
2
KA   KB .
4
a) Tính IJ , IK theo AB , AC . (Hướng dẫn: IJ  AB  AC )
3
b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (Hướng dẫn: J là trọng tâm AIB).
Bài 4. Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M,
N, P sao cho MB  3MC , NA  3CN , PA  PB  0 .
a) Tính PM , PN theo AB, AC .
b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD. Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao
1
1
cho AD = AF, AB = AE. Chứng minh:
2
2
a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng.
b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành.
Bài 6. Cho ABC. Hai điểm I, J được xác định bởi: IA  3IC  0 , JA  2 JB  3JC  0 .
Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng.
Bài 7. Cho ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi: 3MA  4MB  0 , NB  3NC  0 .
Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm của ABC.
Cho ABC. Lấy các điểm M N, P: MB  2MC  NA  2 NC  PA  PB  0
a) Tính PM , PN theo AB, AC .
b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng.
Bài 8. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho
BD  DE  EC .
a) Chứng minh AB  AC  AD  AE .
b) Tính AS  AB  AD  AC  AE theo AI . Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng.

toanc3.online

Lê Quang Hải

Véctơ

VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
Phương pháp giải: Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi
đẳng thức vectơ đó để đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết. Chẳng hạn:
– Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của
đoạn thẳng đó.
– Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng không đổi đường tròn có tâm là
điểm cố định và bán kính là khoảng không đổi.
Bài 1. Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a) MA  MB  MA  MB
b) 2MA  MB  MA  2MB .
Hướng dẫn: a) Đường tròn đường kính AB; b) Trung trực của AB.
Bài 2. Cho ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
3
a) MA  MB  MC  MB  MC
b) MA  BC  MA  MB
2
c) 2MA  MB  4MB  MC
d) 4MA  MB  MC  2MA  MB  MC .
Hướng dẫn:
a) Trung trực của IG (I là trung điểm của BC, G là trọng tâm ABC).
b) Dựng hình bình hành ABCD. Tập hợp là đường tròn tâm D, bán kính BA.
Bài 3. Cho ABC.
a) Xác định điểm I sao cho: IA  3IB  2IC  0 .
b) Xác định điểm D sao cho: 3DB  2DC  0 .
c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.
d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA  3MB  2MC  2MA  MB  MC .

toanc3.online

Lê Quang Hải

Véctơ
VÉC TƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

A. Kiến thức cần nhớ
1. Trục toạ độ, toạ độ đối với trục
Trục tọa độ (còn gọi là trục hay trục số) là một đường thẳng, mà trên đó đã xác định một
điểm O và một vectơ e có độ dài bằng 1 . Điểm O gọi là gốc toạ độ, vectơ e gọi là
vectơ đơn vị của trục.
Điểm M trên trục biểu diễn số x0 nếu OM  x0e
2. Hệ trục tọa độ, tọa độ đối với hệ trục tọa độ
Hệ trục toạ độ là một hệ gồm hai trục Ox (với vectơ đơn vị
i ) và trục Oy (với vectơ đơn vị j ) vuông góc với nhau tại
gốc chung O . Trục Ox được gọi là trục hoành, trục Oy được
gọi là trục tung.
Với mỗi vectơ u trên mặt phẳng Oxy , có duy nhất cặp số
thực  x0 ; y0  sao cho u  x0i  y0 j .
Cặp số  x0 ; y0  ở đây được gọi là toạ độ của vectơ u đối
với hệ trục. Ta viết u   x0 ; y0  hay u  x0 ; y0  để chỉ rằng
vectơ u có tọa độ là  x0 ; y0  đối với hệ trục toạ độ. Các số x0 , y0 tương ứng gọi là hoành
độ, tung độ của vectơ u .
Nếu điểm M có toạ độ  x0 ; y0  thì vectơ OM có toạ độ  x0 ; y0  và OM  x02  y02 .
Với hai điểm M ( x; y ) và N  x; y  thì MN   x  x; y  y  và khoảng cách giữa hai
điểm M , N bằng MN | MN |  x  x    y  y  .
3. Tính chất
Cho hai vectơ u   x; y  , v   x; y  và cho số thực k . Khi đó
u  v   x  x; y  y ; u  v   x  x; y  y  ; ku   kx; ky 
2

2

 x  x
 x   x
u v 
; u  v  
 y   y.
 y  y
4. Dấu hiệu cùng phương của hai vectơ
Vectơ v  x; y  cùng phương với vectơ u  x; y   0 khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho
x  kx và y  ky .
5. Tọa độ trung điểm
Cho hai điểm A a1; a2  , B  b1; b2  . Khi đó trung điểm M của đoạn thẳng AB có toạ độ
a b a b 
M  1 1 ; 2 2 .
2 
 2

6. Tọa độ trọng tâm tam giác
Cho tam giác ABC với A  a1; a2  , B  b1; b2  , C  c1; c2  . Khi đó trọng tâm G của tam giác
ABC có toạ độ G  a1  b1  c1 ; a2  b2  c2  .
3
3




toanc3.online

Lê Quang Hải

Véctơ

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A 1;2  và B  3; 4  .
a) Tìm toạ độ trung điểm M của đoạn AB .
b) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA  2 NB .
Giải
 1 3
 x  2  2
a) Gọi M  x; y  là trung điểm của AB . Khi đó 
suy ra M  2; 1 .
2


4


y 
 1

2
b) Do NA  2 NB nên OA  2OB  1  2  ON  ON , suy ra ON  2OB  OA .
Từ đó, do OA  1;2  , OB   3; 4  nên ON   5; 10  . Vậy N  5; 10 .
Nhận xét
Một cách khái quát, với hai điểm A a1; a2  , B  b1; b2  thì điểm P thoả mãn PA  k PB

a1  kb1 a2  kb2 
;
.
1 k 
 1 k
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A  2; 1 , B 1;4  và C  2;3 .
a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC .
Giải
1 5
a) Từ giả thiết suy ra AB   1;5 , AC   4;4  . Do
 nên các vectơ AB và AC
4 4
không cùng phương. Suy ra A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
2  1   2  1


 x 
3
3
b) Gọi G  x; y  là trọng tâm của tam giác ABC . Khi đó 
.

1

4

3


y 
 2.

3
1 
suy ra G  ;2  .
3 
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A, B thoả mãn OA  2i  3 j ,

 k  1 có toạ độ 

OB  3i  2 j .
a) Chứng minh rằng O, A, B không thẳng hàng.
b) Tìm toạ độ của điểm C sao cho tứ giác ABCO là hình bình hành.
c) Tìm tọa độ của điểm D thuộc trục hoành sao cho DA  DB .
Giải
2 3
a) Từ giả thiết suy ra OA   2; 3 và OB   3;2  . Vì 
nên hai vectơ OA và OB
3 2
không cùng phương, hay O, A, B không thẳng hàng.

b) Từ giả thiết suy ra AB  1;5 . Giả sử tìm được điểm C sao cho tứ giác ABCO là
hình bình hành. Khi đó do OC  AB nên OC  1;5 . Suy ra C 1;5 .
toanc3.online

Lê Quang Hải

Véctơ

c) Xét điểm D  d ;0  Ox . Khi đó DA 

 2  d   9, DB   3  d   4 .
2
2
Suy ra DA  DB  DA2  DB2   2  d   9   3  d   4  d  0 .
Vậy điểm D cần tìm trùng với gốc toạ độ O  0;0  .
2

2

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;2) và B(3; 4) . Tìm toạ độ của
điểm C thuộc trục tung sao cho vectơ CA  CB có độ dài ngắn nhất.
Giải
Xét điểm C  0; c   Oy . Khi đó CA  1;2  c  và CB   3; 4  c  .
Do đó CA  CB   4; 2  2c  , suy ra CA  CB  16  4 1  c  .
2

Do 1  c   0 c , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c  1 , nên CA  CB  4 , đẳng
2

thức xảy ra khi và chỉ khi c  1 . Vậy với điểm C  0; 1  Oy thì vectơ CA  CB có
độ dài ngắn nhất.
Nhận xét
- Với mỗi điểm C đều có CA  CB  2CI , với I là trung điểm AB . Suy ra vectơ
CA  CB có độ dài ngắn nhất khi và chỉ khi vectơ CI có độ dài ngắn nhất. Từ đó, do
C thuộc trục tung, nên C là hình chiếu vuông góc của I trên trục tung.
- Khái quát, ta có bài toán tìm được điểm C thuộc đường thẳng  sao cho vectơ
 CA   CB có độ dài ngắn nhất, với  ,  là hai hằng số cho trước.
VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trên hệ trục
Bài 1. Viết tọa độ của các vectơ sau:
1
a) a  2i  3 j ; b  i  5 j ; c  3i ; d  2 j .
3
1
3
b) a  i  3 j ; b  i  j ; c  i  j ; d  4 j ; e  3i .
2
2
Bài 2. Viết dưới dạng u  xi  yj khi biết toạ độ của vectơ u là:
a) u  (2; 3); u  (1;4); u  (2;0); u  (0; 1) .
b) u  (1;3); u  (4; 1); u  (1;0); u  (0;0) .
Bài 3. Cho a  (1; 2), b  (0;3) . Tìm toạ độ của các vectơ sau:
a) x  a  b ; y  a  b ; z  2a  3b .

1
b) u  3a  2b ; v  2  b ; w  4a  b .
2

 1
Bài 4. Cho a  (2;0), b   1;  , c  (4; 6) .
 2
a) Tìm toạ độ của vectơ d  2a  3b  5c .
b) Tìm 2 số m, n sao cho: ma  b  nc  0 .
c) Biểu diễn vectơ c theo a , b .

toanc3.online

Lê Quang Hải

Véctơ

Bài 5. Cho hai điểm A(3; 5), B(1;0) .
a) Tìm toạ độ điểm C sao cho: OC  3 AB .
b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C.
c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.
Bài 6. Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0).
a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB.
Bài 7. Cho ba điểm A(1; 2), B(0; 4), C(3; 2).
a) Tìm toạ độ các vectơ AB, AC , BC .
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.
c) Tìm tọa độ điểm M sao cho: CM  2 AB  3 AC .
d) Tìm tọa độ điểm N sao cho: AN  2BN  4CN  0 .
Bài 8. Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2).
a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C.
b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A, B, C.
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

toanc3.online

Lê Quang Hải

Véctơ

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Góc giữa hai vectơ
Cho a, b  0 . Từ một điểm O bất kì vẽ OA  a, OB  b .
Khi đó  a, b   AOB với 00  AOB  1800.
Chú ý:
+  a , b  = 900  a  b

a
a

b

A

O
b

B

+  a , b  = 00  a, b cùng hướng

+  a , b  = 1800  a, b ngược hướng
+  a, b    b , a 
2. Tích vô hướng của hai vectơ
 Định nghĩa: a.b  a . b .cos  a, b  .

Đặc biệt:
a.a  a 2  a .
 Tính chất: Với a, b , c bất kì và kR, ta có:
2

+ a.b  b .a ;

a  b  c   a.b  a.c ;
 ka .b  k  a.b   a. kb  ;
a 2  0;

+  a  b   a 2  2a.b  b 2 ;
a 2  b 2   a  b  a  b  .
+ a.b > 0   a , b  nhoïn
2

a.b = 0   a , b  vuoâng.
3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
 Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2). Khi đó:
 a  a12  a22 ;

a2  0  a  0 .

 a  b 2  a 2  2a.b  b 2 ;
+ a.b < 0   a , b  tuø

a.b  a1b1  a2b2 .
a1b1  a2b2
cos(a , b ) 
; a  b  a1b1  a2b2  0
a12  a22 . b12  b22

 Cho A( xA ; y A ), B( xB ; yB ) . Khi đó: AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2 .
Ví dụ 1. Cho tam giác đều ABC tâm O , có độ dài các cạnh bằng 1.
a) Xác định góc giữa các cặp véctơ AB và AC , AB và BC , OA và BC , OB và CB .
b) Tính tích vô hướng của các cặp vectơ sau: AB và AC , AB và BC , OA và OB , OA
và BC , OB và CB .
Giải
a) Do tam giác ABC đều, nên CAB  ABC  BCA  60 .
Suy ra AB; AC  CAB  60 .





Gọi D là điểm đối xứng với B qua CA  H.4.13 . Khi đó tứ giác ABCD là một hình
thoi, do đó AD  BC và BAD  180  ABC  120 .
toanc3.online

Lê Quang Hải



Véctơ

 



Suy ra AB; BC  AB; AD  BAD  120 .
Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm của OA, P là điểm đối xứng với M
qua C . Khi đó, do O là tâm của tam giác đều ABC , nên A, N , O, M thẳng hàng,
AM  BC, MN  OA và MP  BC .



 



Suy ra OA; BC  MN ; MP  90 . Lấy điểm Q đối xứng với O qua M . Khi đó tứ giác

BOCQ là một hình thoi, có OCQ  60 .



 



Suy ra OB; CB  CQ; CB  BCQ  30 .
2

3
1
b) Do AM  BC nên AM  AB  BM  1    
.
2
2
2
2 3
3

Do O là tâm của tam giác đều ABC , nên OA  OB  OA  AM  
.
3
3 2
3
1
Suy ra AB  AC  AB  AC  cos AB; AC  1  1  cos60  ;
2
1
AB  BC  AB  BC  cos AB; BC  1  1  cos120   ;
2
3 3
1
OA  OB  OA  OB  cos OA; OB 

 cos120   ;
3 3
6
3
OA  BC  OA  BC  cos OA; BC 
 1  cos90  0 ;
3
3
1
OB  CB  OB  CB  cos OB; CB 
 1  cos30  .
3
2
Nhận xét. Ta có thể xác định góc giữa hai vectơ OB, CB như sau: Lấy O đối xứng với
O qua B và C  đối xứng với C qua B  H.4.14  .
2

2



2





















 



Khi đó, do BO  OB, BC  CB , nên OB; CB  BO;BC   OBC   OBC  30 .

toanc3.online

Lê Quang Hải

Véctơ

Ví dụ 2. Cho nửa đường tròn với đường kính AB  2R . Gọi M và N là hai điểm trên
nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại một điểm I .
a) Chứng minh rằng AI  AM  AI  AB .
b) Tính AI  AM  BI  BN theo R .
Giải

a) Do M thuộc nửa đường tròn với đường kính AB nên AMB  90  H.4.15a  .





Suy ra AM  AB  cos BAM . Từ đó, để ý rằng BAM  Al ; AB , ta có





AI  AM  AI  AM  cos AI ; AM  AI  AM  AI  AB  cos BAM  AI  AB.

b) Tương tự như phần a), ta cũng được BI  BN  BI  BA   BI  AB .
Suy ra AI  AM  BI  BN  AI  AB  BI  AB  AB  AI  BI









2

 AB  AI  IB  AB  4 R 2 .

Nhận xét. Một cách khái quát, ta chứng minh được a  b  a  b , trong đó b là hình chiếu
vuông góc của vectơ b trên giá của vectơ a  H.4.15 b  . Kết quả này được gọi là định lí
chiếu.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cân tại A , có A  120, AB  3.
a) Tính AB. AC , AB.CB , AC.CB.
b) Tính độ dài cạnh BC.
c) Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho MB  2MC. Tính MA.MB.
Giải
a) Do tam giác ABC cân tại A, A  120 , AB  3. nên







AB. AC  AB . AC .cos AB; AC  3.3.cos120 

9
2

Theo quy tắc ba điểm ta có CB  AB  AC và do đó
2
 9  27
2
AB.CB  AB. AB  AC  AB  AB. AC  3     
;
 2 2





toanc3.online

Lê Quang Hải



Véctơ



2  9 2
27
AC.CB.  AC. AB  AC  AC. AB  AC      3   .
2
 2

b) Theo quy tắc ba điểm ta có BC  AC  AB. Từ đó
2



BC  BC  AC  AB
2



2

2
2
 9
2
2
 AC  AB  2 AC . AB  3  3  2.     27 .
 2

Suy ra BC  3 3.
c) Gọi I là trung điểm của BC . Do M thuộc cạnh BC và MB  2MC , I là trung điểm
2

1

3

2

BC , nên theo kết quả của Ví dụ 2, Bài 9, ta có MB  CB, IB  CB.
1
2 1
Suy ra MI  MB  BI  MB  IB     .CB  CB
6
3 2
Từ đó, theo định lí chiếu, ta được
2
1 2
MA.MB  MI .MB  . .CB  3.
6 3

Nhận xét
- Để tính độ dài của một đoạn thẳng XY , trước hết ta biểu thị vectơ XY theo hai vectơ
không cùng phương a, b đã biết, rồi tính bình phương vô hướng của vectơ XY
- Nhờ vào kết quả của Ví dụ 2, bài 9, ta chứng minh được MA 
MA.MB 

2
9

1
3

 BA  2CA. Suy ra

 BA.CB  2CA.CB . Bởi vậy cũng có thể tính tích vô hướng MA.MB nhờ vào việc

tính các tích vô hướng BA.CB và CA.CB.
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng:
a) AB. AC
b) AC.CB
c) AB.BC
Bài 2. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:
a) AB. AC
b) AC.CB
c) AB.BC
Bài 3. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì.
a) Chứng minh: DA.BC  DB.CA  DC. AB  0 .
b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".
Bài 4. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh:
BC. AD  CA.BE  AB.CF  0 .
Bài 5. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) AB. AC
b) ( AB  AD)( BD  BC )
c) ( AC  AB)(2 AD  AB)

d) AB.BD
toanc3.online

Lê Quang Hải

Véctơ

e) ( AB  AC  AD)( DA  DB  DC )
Đáp số: a) a 2
b) a 2
c) 2a 2
d) a 2
e) 0
Bài 6. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.
a) Tính AB. AC , rồi suy ra cosA.
b) Gọi G là trọng tâm của ABC. Tính AG.BC .
c) Tính giá trị biểu thức S = GAGB
.  GB.GC  GC.GA .
d) Gọi AD là phân giác trong của góc BAC (D  BC). Tính AD theo AB, AC , suy ra
AD.
Hướng dẫn
5
29
3
1
a) AB. AC   , cos A  
b) AG.BC 
c) S  
6
3
2
4
54
AB
3
2
.DC  AD  AB  AC , AD 
d) Sử dụng tính chất đường phân giác DB 
AC
5
5
5
0
Bài 7. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 60 . M là trung điểm của BC.
a) Tính BC, AM.
b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi: 2 IA  IB  0, JB  2 JC .
7
2
133
b) IJ =
2
3
Bài 8. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0).
a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC.
b) Tìm toạ độ điểm M biết CM  2 AB  3 AC .
c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 9. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).
a) Tính AB. AC . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.
f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.
g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.
h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.
i) Tìm toạ độ điểm T thoả TA  2TB  3TC  0
k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B.
l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ABC.
Bài 9. Cho tam giác ABC. tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a) MA2  2MA.MB
b) ( MA  MB)(2 MB  MC )  0

Hướng dẫn: a) BC = 19 , AM =

c) ( MA  MB)( MB  MC )  0
d) 2MA2  MA.MB  MA.MC
Bài 10. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a) MA.MC  MB.MD  a2
b) MA.MB  MC.MD  5a 2
c) MA2  MB 2  MC 2  3MD 2
d) ( MA  MB  MC )( MC  MB )  3a 2
toanc3.online

Lê Quang Hải

Véctơ

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I
Trắc nghiệm
Câu 1. Cho hình bình hành ABCD tâm O . Xét các vectơ có hai điểm mút lấy từ các
điểm A , B , C , D và O . Số các vectơ khác vectơ – không và cùng phương với AC là
A. 6 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 2 .
Câu 2. Cho đoạn thẳng AC và B là một điểm nằm giữa A , C . Trong các khẳng định
sau, khẳng định nào là một khẳng định đúng?
A. Hai vectơ AB và CB cùng hướng.
B. Hai vectơ CA và BC cùng hướng.
C. Hai vectơ AB và AC cùng hướng.
D. Hai vectơ AC và BA cùng hướng.
Câu 3. Cho hình bình hành ABCD tâm O . Gọi K , L, M , N tương ứng là trung điểm các
cạnh AB, BC, CD, DA . Trong các vectơ có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, K , L, M , O
có bao nhiêu vectơ bằng vectơ AK ?
A. 2 .
B. 6 .
C. 4 .
D. 8 .
0
Câu 4. Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 và DAB  120 . Khẳng định nào
sau đây là đúng ?
A. AB  CD .
B. BD  AC .
C. BD  1 .
D. AC  1 .
Câu 5. Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G , có độ dài các cạnh bằng 3 . Độ dài của vectơ
AG bằng?
3 3
3
A. 3 .
B.
.
C.
.
D. 2 3 .
2
2
Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A và AB  3, AC  4 . Độ dài của vectơ CB  AB
bằng ?
A. 13 .
B. 2 13 .
C. 4 .
D. 2 .
Câu 7. Cho tam giác ABC có AB  2, BC  4 và ABC  60 . Độ dài của vecto AC  BA
bằng
19
A. 2 .
B. 19 .
C. 4 .
D.
.
2
Câu 8. Cho tam giác ABC và điểm I sao cho IB  2IC  0 . Khẳng định nào sau đây là
một khẳng định đúng ?
A. AI  2 AC  AB .
B. AI  AB  2 AC .
AB  2 AC
AB  2 AC
C. AI 
.
D. AI 
.
3
3
Câu 9. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm cạnh BC . Khẳng định
nào sau đây là một khẳng định đúng ?
A. GA  2GM .
B. AB  AC  3 AG .
C. AM  3MG .
D. 3GA  2 AM .

toanc3.online

Lê Quang Hải

Véctơ

Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(3;1) , B(2; 1) , C (4;6) . Trọng
tâm G của tam giác ABC có tọa độ là
A. (1;2) .
B. (2;1) .
C. (1; 2) .
D. (2;1). .
Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(3;3) , B(5; 2) và G(2;2) . Tọa độ
của điểm C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC là
A. (5;4) .
B. (4;5) .
C. (4;3) .
D. (3;5) .
Câu 12. Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a . Tích vô hướng AB. AC bằng
a2
a2
2
2
A. a 2 .
B.
.
C. a .
D.
.
2
2
Câu 13. Cho hai vectơ a, b cùng khác 0 . Khi đó a, b  a . b tương đương với
A. a và b cùng phương.
B. a và b ngược hướng.
C. a và b cùng hướng
.
D. a  b .
Câu 14. Cho hai vecto a, b cùng khác 0 . Khi đó a, b   a . b tương đương với
A. a và b cùng phương.
B. a và b ngược hướng.
C. a và b cùng hướng
.
D. a  b .
Câu 15. Cho tam giác ABC có AB  1, BC  2 và ABC  60 . Tích vô hướng BC.CA
bằng
A. 3 .
B.  3 .
C. 3 .
D. 3 .
Câu 16. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A 2; 1 , B  1;5 và C  3m;2m  1 .
Tất cả các giá trị của tham số m sao cho AB  OC là
A. m  2 .
B. m  2 .
C. m  2 .
D. m  3 .
Câu 17. Cho tam giác ABC vuông tại A với AB  1, AC  2 . Lấy M , N , P tương ứng
thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho 2BM  MC, CN  2NA, AP  2PB . Giá trị của tích
vô hướng AM .NP bằng
2
1
A. .
B.  .
C. 0 .
D. 1 .
3
2
Câu 18. Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy M , N , P lần lượt thuộc
AP
các cạnh BC, CA, AB sao cho BM  2MC, CN  2NA và AM  NP . Tỉ số của
bằng
AB
5
7
5
7
A.
.
B.
.
C. .
D. .
7
5
12
12
Câu 19. Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a . Lấy điểm M thuộc cạnh
BC sao cho MB  2MC . Tích vô hướng của hai vectơ MA và MC bằng
a2
a2
A.
.
B.  .
C. a 2 .
D. a 2 .
2
2
Câu 20. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thoả mãn MC  MB  MC  AC là
A. đường tròn tâm A bán kính BC .
B. đường thẳng đi qua A và song song với BC .
toanc3.online

Lê Quang Hải

Véctơ

C. đường tròn đường kính BC .
D. đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC .
Tự luận
Bài...