tr­êng ®¹i häc s­ ph¹m hµ néi
khoa to¸n – tin
====***===







®Ò tµi nghiÖp vô s­ ph¹m
mét sè vÊn ®Ò vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi trong tr­êng thcs







Gi¶ng viªn h­íng dÉn: GS.TS.Tèng TrÇn Hoµn.
Ng­êi thùc hiÖn: Vò ThÞ Hoa













H¶i D­¬ng n¨m 2006
môc lôc


A. nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
Trang
3

I: C¸c ®Þnh nghÜa
II: C¸c tÝnh chÊt
B. c¸c d¹ng bµi to¸n vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi trong ch­¬ng tr×nh THCS
Chñ ®Ò I: Gi¶i ph­¬ng tr×nh, hÖ ph­¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
I. KiÕn thøc cÇn l­u ý
II. Bµi tËp ®iÓn h×nh
Chñ ®Ò II: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
I. KiÕn thøc cÇn l­u ý
II. Bµi tËp ®iÓn h×nh
Chñ ®Ò III: §å thÞ hµm sè chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
I. §å thÞ hµm sè y = f(
)
II. §å thÞ
= f(x)
III. §å thÞ y =

IV. §å thÞ y =

V. §å thÞ
=

Chñ ®Ò IV: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
I. KiÕn thøc cÇn lu ý
II. Bµi tËp ®iÓn h×nh
c. §¸p ¸n
d. tµi liÖu tham kh¶o
e.kÕt luËn
f. gi¸o ¸n thùc nghiÖm



3
6
9

9

9
10

14
14
14
17

17
18
19
20
20
24

24
24
26
30
31
32


PhÇn I: Lêi nãi ®Çu

Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lµ mét kh¸i niÖm ®­îc phæ biÕn réng r·i trong c¸c ngµnh khoa häc To¸n - LÝ, Kü thuËt,...Trong ch­¬ng tr×nh To¸n ë bËc THCS, kh¸i niÖm gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét sè ®­îc gÆp nhiÒu lÇn, xuyªn suèt tõ líp 6 ®Õn líp 9. ë líp 6, häc sinh b¾t ®Çu lµm quen víi kh¸i niÖm " Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi" qua bµi 2: " Thø tù trong Z", häc sinh n¾m ®­îc c¸ch t×m gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét sè nguyªn vµ b­íc ®Çu hiÓu ý nghÜa h×nh häc cña nã. Nhê ®ã s¸ch gi¸o khoa dÇn dÇn ®­a vµo c¸c quy t¾c tÝnh vÒ sè nguyªn råi ®Õn sè h÷u tû. ë líp 8, tuy kh«ng cã trong ch­¬ng tr×nh gi¶ng d¹y song bµi: " Gi¶i ph­¬ng tr×nh cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi" ®­îc rÊt nhiÒu gi¸o viªn quan t©m vµ trang bÞ ®Çy ®ñ cho häc sinh nhÊt lµ c¸c häc sinh kh¸ giái. §Õn líp 9, khi xÐt c¸c tÝnh chÊt cña c¨n thøc bËc hai, kh¸i niÖm gi¸ trÞ tuyÖt ®èi l¹i cã thªm øng dông míi( ®­a mét thõa sè ra ngoµi c¨n, ®­a mét thõa sè vµo trong c¨n, khö mÉu cña biÓu thøc lÊy c¨n,...)
Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lµ mét kh¸i niÖm trõu t­îng vµ quan träng v× nã ®­îc sö dông nhiÒu trong qu¸ tr×nh d¹y To¸n ë THCS còng nh­ THPT vµ §¹i Häc,...ViÖc n¾m v÷ng kh¸i niÖm nµy ë bËc THCS sÏ lµ nÒn t¶ng c¬ b¶n cÇn thiÕt ®Ó c¸c em cã thÓ tiÕp thu nh÷ng kiÕn thøc cao h¬n ë c¸c bËc häc sau.
Tr­íc nhu cÇu n©ng cao kiÕn thøc cña b¶n th©n còng nh­ n©ng cao kiÕn thøc cho ng­êi d¹y còng nh­ ng­êi häc vÒ kh¸i niÖm " Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi", chóng t«i quyÕt ®Þnh chän ®Ò tµi: " Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi trong trêng THCS".
T«i mong r»ng ®Ò tµi nµy cña t«i sÏ gióp cho gi¸o viªn còng nh­ häc sinh trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vµ häc tËp cña m×nh.
T«i xin tr©n träng c¶m ¬n GS. TS Tèng TrÇn Hoµn ®· h­íng dÉn vµ gióp ®ì t«i hoµn thµnh tèt ®Ò tµi nµy !
V× hoµn thµnh trong mét thêi gian ng¾n nªn ®Ò tµi cßn nhiÒu h¹n chÕ, thiÕu sãt. T«i rÊt mong nhËn ®­îc sù quan t©m, ®ãng gãp ý kiÕn cña thÇy c« gi¸o vµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp.


A. nhøng kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi

I. C¸c ®Þnh nghÜa
1. 1. §Þnh nghÜa 1
Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi thùc chÊt lµ mét ¸nh x¹
f: R R+
a a
víi mçi gi¸ trÞ a
R cã mét vµ chØ mét gi¸ trÞ f(a) = a
R+

1.2. §Þnh nghÜa 2
Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét sè thùc a, ký hiÖu
lµ:
a nÕu a
0

=
-a nÕu a < 0
VÝ dô1:






*Më réng kh¸i niÖm nµy thµnh gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét biÓu thøc A(x), kÝ hiÖu
lµ:
A(x) nÕu A(x)
0

=
-A(x) nÕu A(x) < 0
VÝ dô 2:
2x - 1 nÕu 2x- 1
0 2x - 1 nÕu


= =
-(2x - 1) nÕu 2x - 1 < 0 1 - 2x nÕu x <


1.3. §Þnh nghÜa 3:
Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña sè nguyªn a, kÝ hiÖu lµ
, lµ sè ®o( theo ®¬n vÞ dµi ®­îc dïng ®Ó lËp trôc sè) cña kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm a ®Õn ®iÓm gèc 0 trªn trôc sè ( h×nh 1).





H×nh 1

VÝ dô 1:

= 3


Do ®ã ®¼ng thøc ®· cho ®­îc nghiÖm ®óng bëi hai sè t­¬ng øng víi hai ®iÓm trªn trôc sè ( h×nh 2)



H×nh 2

Tæng qu¸t:
;


VÝ dô 2:
a
3 nÕu a
0 0
a
3


3


-3
a
3
-a
3 nÕu a < 0 -3
a < 0
Do bÊt ®¼ng thøc ®· ®­îc nghiÖm ®óng bëi tËp hîp c¸c sè cña ®o¹n
vµ trªn trôc s«d th× ®­îc nghiÖm ®óng bëi tËp hîp c¸c ®iÓm cña ®o¹n
( h×nh 3)



H×nh 3
VÝ dô 3:
a
3 nÕu a
0 a
3 nÕu a
0


3


3
a hoÆc a
3
-a
3 nÕu a < 0 a
-3 v nÕu a < 0
Do bÊt ®¼ng thøc ®· ®îc nghiÖm ®óng bëi tËp hîp c¸c sè cña hai nöa ®o¹n (-
; 3] vµ [3; +
) vµ trªn trôc sè th× ®îc nghiÖm ®óng bëi hai nöa ®o¹n t­¬ng øng víi c¸c kho¶ng sè ®ã. (h×nh 4)



H×nh 4

Tæng qu¸t:



bµi tËp tù luyÖn
Bµi 1. T×m tÊt c¶ c¸c sè a tho¶ m·n mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau:
a) a =

b) a <

c) a >

d)
= -a
e)

a
f)
+ a = 0
g)

Bµi 2:T×m c¸c vÝ dô chøng tá c¸c kh¼ng ®Þnh sau ®©y kh«ng ®óng:
a)
a
Z

> 0
b)
a
Q

> a
c)
a, b
Z,
=

a = b
d)
a, b
Q,
>

a > b
Bµi 3: Bæ sung thªm c¸c ®iÒu kiÖn ®Ó c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ ®óng
a)
=

a = b
b) a > b

>

Bµi 4: T×m tÊt c¶ c¸c sè a tho¶ m·n mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau, sau ®ã biÓu diÔn c¸c sè t×m ®­îc lªn trôc sè:
a)

1
b)

3
c)
- 6 = 5
d) 1 <

3
Bµi 5:
a) Cã bao nhiªu sè nguyªn x sao cho
< 50
b) Cã bao nhiªu cÆp sè nguyªn (x, y) sao cho
+
= 5
( C¸c cÆp sè nguyªn (1, 2) vµ (2,1)lµ hai cÆp kh¸c nhau)
c) Cã bao nhiªu cÆp sè nguyªn (x, y) sao cho
+
< 4






II - mét sè tÝnh chÊt vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
2.1. TÝnh chÊt 1:

0
a

2.2. TÝnh chÊt 2:
= 0
a = 0

2.3. TÝnh chÊt 3: -

a



2.4 TÝnh chÊt 4:
=


Dùa trªn ®Þnh nghÜa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ng­êi ta rÔ thÊy ®­îc c¸c tÝnh chÊt 1, 2, 3, 4.

2.5. TÝnh chÊt 5:

ThËt vËy: -

a

; -

a


-(
+
)
a + b

+


2.6. TÝnh chÊt 6:

-



ThËt vËy:
=
(1)

(2)
Tõ (1) vµ (2)
®pcm.

2.7. TÝnh chÊt 7:


ThËt vËy:
(1)

(2)

(3)
Tõ (1), (2) vµ (3)

(4)

(5)
Tõ (4) vµ (5)
®pcm.

2.8. TÝnh chÊt 8:


ThËt vËy: a = 0, b = 0 hoÆc a = 0, b
0 hay a
0, b= 0


(1)
a > 0 vµ b > 0

= a,
= b vµ a.b > 0


(2)
a < 0 vµ b < 0

= -a,
= -b vµ a.b > 0


(3)
a > 0 vµ b < 0

= a,
= -b vµ a.b < 0


(4)
Tõ (1), (2), (3) vµ (4)
®pcm.
2.9. TÝnh chÊt 9:


ThËt vËy: a = 0

(1)
a > 0 vµ b > 0

= a,
= b vµ
(2)
a < 0 vµ b < 0

= -a,
= -b vµ
(3)
a > 0 vµ b < 0

= a,
= -b vµ
(4)
Tõ (1), (2), (3) vµ (4)
®pcm.

















bµi tËp tù luyÖn
Bµi 6:
§iÒn vµo chç trèng c¸c dÊu
, = ®Ó kh¼ng ®inh sau ®óng
a, b
a)
...
+

b)
...
-
víi



c)

d)


Bµi 7:
T×m c¸c sè a, b tho¶ m·n mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau:
a) a + b =
+

b) a + b =
-


Bµi 8:
Cho
,
Chøng minh r»ng



Bµi 9:
Rót gän biÓu thøc:
a)
+a
b)
- a
c)
.a
d)
: a
e)

f)










B. c¸c d¹ng to¸n vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi trong ch­¬ng tr×nh THCS

chñ ®Ò i: gi¶i ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi

I. c¸c kiÕn thøc cÇn l­u ý
1.1 A(x) nÕu A(x)
0

= ( A(x) lµ biÓu thøc ®¹i sè)
-A(x) nÕu A(x) < 0
1.2. §Þnh lÝ vÒ dÊu cña nhÞ thøc bËc nhÊt ax + b (a
0)
NhÞ thøc bËc nhÊt ax + b (a
0) sÏ:
+ Cïng dÊu víi a víi c¸c gi¸ trÞ cña nhÞ thøc lín h¬n nghiÖm cña nhÞ thøc.
+ Tr¸i dÊu víi a víi c¸c gi¸ trÞ cña nhÞ thøc nhá h¬n nghiÖm cña nhÞ thøc.
Gi¶ sö x0 lµ nghiÖm cña nhÞ thøc ax + b khi ®ã:
+ NhÞ thøc cïng dÊu víi a
x > x0
+ NhÞ thøc tr¸i dÊu víi a
x < x0
1.3. §Þnh lÝ vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai
XÐt tam thøc bËc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a
0)
- NÕu
< 0, th× f(x) cïng dÊu víi a
x
- NÕu

0 th×:
+ f(x) cïng dÊu víi a
x n»m ngoµi kho¶ng hai nghiÖm
+ f(x) tr¸i dÊu víi a
x n»m trong kho¶ng hai nghiÖm
Hay
- NÕu
< 0
a.f(x) > 0
x
- NÕu

0
f(x) cã hai nghiÖm x1
x2
nÕu x1 < x < x2
a.f(x) < 0
nÕu x
x1 hoÆc x
x2
a.f(x) > 0
NhËn xÐt: Gi¶ trÞ tuyÖt ®èi cña mét biÓu thøc banõg chÝnh nã( nÕu biÓu thøc kh«ng ©m) hoÆc b»ng biÓu thøc ®èi cña nã( nÕu biÓu thøc ©m). V× thÕ khi khö dÊu gi¸ tÞ tuyÖt ®èi cña mét biÓu thøc, cÇn xÐt gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña biÕn lµm cho biÓu thøc d­¬ng hay ©m( dùa vµo ®Þnh lÝ vÒ dÊu cña nhÞ thøc bËc nhÊt hoÆc ®Þnh lÝ vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai). DÊu cña biÓu thøc th­êng ®­îc viÕt trong b¶ng xÐt dÊu.

II. c¸c bµi tËp ®iÓn h×nh
2.1 Rót gän biÓu thøc A = 2(3x - 1) -

ThËt vËy:
+ Víi ( x - 3)
0 hay x
3 th×
= x - 3
+ Víi ( x- 3) < 0 hay x < 3 th×
= -(x - 3) = 3 - x
ta xÐt hai tr­êng hîp øng víi hai kho¶ng cña biÕn x
+ NÕu x
3 th× A = 2(3x - 1) -

= 2(3x - 1) - (x - 3)
= 6x - 2 - x + 3
= 5x + 1
+ NÕu x < 3 th× A = 2(3x - 1) -

= 2(3x - 1) - (3 - x)
= 6x - 2 - 3 + x
= 7x - 5
2.2 Rót gän biÓu thøc B =
-

ThËt vËy
Víi x-1
0 hay x
1th×
=x-1
Víi x-1<0 hay x<1th×
= -(x-1)=1-x
Víi x-5
0 hay x
5 th×
= x+5
Víi x-5<0 hay x<5 th×
=-(x-5) =5-x
¸p dông ®Þnh lý vÒ dÊu cña nhÞ thøc bËc bËc nhÊt ta cã b¶ng xÐt dÊu sau:
X
 1 5

x-1
 - 0 + +

x-5
 - - 0 +

 Tõ b¶ng xÐt dÊu ta xÐt ba tr­êng hîp øng víi ba kho¶ng cña biÕn x
NÕu x<1 th× B =
-

=1-x-( 5-x)
=1-x-5+x
=