UD Tam thuc B2 vao tam gia
- 0 / 0
-
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn: Tự soạn
Người gửi: Nguyễn Văn Điển
Ngày gửi: 17h:16' 02-06-2008
Dung lượng: 423.0 KB
Số lượt tải: 98
Nguồn: Tự soạn
Người gửi: Nguyễn Văn Điển
Ngày gửi: 17h:16' 02-06-2008
Dung lượng: 423.0 KB
Số lượt tải: 98
Số lượt thích:
0 người
Lời nói đầu
Các bài toán về tam giac lượng được đề cập nhiều trong các sách tham khảo và SGK với đa dạng các nội dung và thể loại khác nhau. Trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và thi học sinh giỏi, thường xuyên xuất hiện những loại bài tập về tam giác lượng. Khi đứng trước những bài toán đó không ít học sinh đã lúng túng và gặp khó khăn trong việc định hướng và giải bài toán. Trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu ở bậc trung học phổ thông và với cách ra đề thi tuyến sinh ĐH trong những năm gần đây tôi muốn đưa ra một kỹ thuật giải các bài toán tam giác lượng bằng cách dựa vào tam thức bậc 2, cùng với kỹ thuật đó là một số kỹ thụât đánh giá khác được thể hiện trong đề tài. Hi vọng rằng với đề tài này sẽ giúp ích phần nào cho học sinh có kỹ năng chuẩn bị thi vào các trường ĐH & C Đ.
1) Các ký hiệu thông thường sử dụng thường xuyên trong đề tài.
A,B,C: số đo các góc của ABC hay các đỉnh của ABC
a,b,c: độ dài các cạnh đối diện các góc A,B,C.
ha, hb,hc: độ dài các đường cao xuất phát từ các đỉnh A,B,C.
ma, mb,mc: độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A,B,C.
R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
r : bán kính đường tròn nội tiếp ABC.
S: diện tích tam ABC.
p: nửa chu vi ABC.
2) Một số đẳng thức cơ bản được sử dụng trong đề tài.
sin= cos; sin= cos; sin= cos.
cos=sin;cos=sin; cos=sin.
tg=cotg;tg=cotg; tg=cotg.
sin(A-B)=sinC; sin(B-C)=sinA; sin(C-A)=sinB.
cos(A-B)=-cosC; cos(B-C)=-cosA; cos(C-A)=-cosB.
tg(A-B)=-tgC; tg(B-C)=-tgA; tg(C-A)=-tgB.
3) Sử dụng tam thức bậc hai để giải một số bài toán tam giác lượng.
Bài 1: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:
CosA+CosB+CosC.
Chứng minh:
Ta có: CosA+CosB+CosC= cosA+2coscos
1-2sin2+2sin (do cos1)
=-2(sin2 - sin + ) + =-2(sin - )2.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đều.
Nhận xét: Trong bài toán trên ta sử dụng hai kỹ thuật đó là: Đánh giá cos1 và sử dụng tam thức bậc hai, ta sử dụng hai cách đánh giá này đẻ giải tiếp một số bài toán sau.
Bài 2: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:
sin+sin+sin.
Chứng minh:
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
sin+2sincos
cos+2sincos
1-2Sin2+2sincos
2Sin2-2sincos+0. (*)
Vì cos1 nên ta có:
VT 2Sin2-2sin+
=2(Sin-)20.(đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đều.
Bài 3: T ìm các góc của tam giác ABC biết:
CosA +Cos(B - ) + Cos = (1)
Gi¶i :
VT (1) = CosA+ 2Cos .Cos CosA + 2sin
= 1 - 2Sin 2 + 2Sin = -2( Sin2 - Sin + ) +
=-2(Sin - ) +
VT (1)
(1) X¶y ra
Bài 4: Tìm các góc của tam giác ABC biết:
Sin.Sin ( ).Sin = ( 1)
Giải:
Vt (1) = Sin.
= Sin.Cos - Sin.Cos
= Sin.Cos - Sin2 (*)
Sin - Sin2 = - + (2*)
VT
X¶y ra
Dùa vµo c¸ch ®¸nh gi¸ cos1 hoÆc Cos(A-B) 1 ta cã thÓ gi¶i ®îc c¸c bµi tËp t¬ng tù sau.
Bµi 5 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:
Chøng minh:
§Ó ý r»ng vai trß cña A, B, C trong bµi to¸n nh nhau, trong trêng hîp ®ã ®¼ng thøc x¶y ra thêng lµ tam gi¸c ®Òu. Khi ®ã trong qu¸ tr×nh gi¶i sÏ xuÊt hiÖn ®¸nh gi¶ ®Ó ®¼ng thøc x¶y ra khi A=B, B=C. Tõ ®ã ta ®a ra c¸ch gi¶I nh sau.
Ta chøng minh:
ThËt vËy
T¬ng tù ta cã:
Céng c¸c bÊt ®¼ng thøc võa chøng minh ta suy ra ®pcm.
Bµi 6. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:
CotgA + CotgB+CotgC
Chøng minh:
Víi c¸ch nhËn xÐt nh bµi 5 ta cã:
CotgA + CotgB =
=
T¬ng tù: CotgB+CotgC
CotgC + CotgA
Céng c¸c bÊt ®¼ng thøc võa chøng minh ta suy ra ®pcm.
Trong một số bài toán xuất hiện cos hoặc cos(A-B) nhưng nếu sử dụng đánh giá trên sẽ đưa bài toán theo hướng khác do đó việc sử dụng nó không phải lúc nào cũng áp dụng được. Cách sử dụng như thế nào ta xét bài toán sau:
Bµi 7: Cho biÕt Q = Sin2A + Sin2B - Sin2C ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
TÝnh c¸c gãc cña .
Gi¶i :
Q = + - Sin2C
= 1 - - Sin2C
= Cos2C - Cos( A+B ).Cos( A- B )
= Cos2C + CosC.Cos( A- B )
Do Q nhá nhÊt nªn ta cÇn ®¸nh gi¸ Q h»ng sè ( 1 *)
NÕu sö dông Cos( A- B )1
Q Cos2C + CosC M©u thuÉn víi (1 * )
Khi ®ã ta cÇn biÕn ®æi tiÕp nh sau :
Q= Cos2C + CosC.Cos(A-B)+Cos2(A-B)- Cos2(A-B)
= [Cos2C + Cos(A-B)]2 - Cos2(A-B)
- Cos2(A-B) -
Min(Q)= -
4) Mét sè bµi to¸n liªn quan tíi tÝnh ch©t cña tam gi¸c.
Trong nhiÒu trêng hîp, viÖc ®¸nh gi¸ tõ gi¶ thiÕt bµi to¸n cho ta tÝnh chÊt cña tam gi¸c ( tï, nhän hay vu«ng). Khi ®ã ngoµi viÖc ®¸nh gi¸ nh trªn ta ph¶i cã kü n¨ng ®¸nh gi¸ dùa vµo tÝnh chÊt cña gãc. Tríc hÕt ta x¸t bµi tËp sau.
Bµi 8 Cho tam gi¸c ABC. §Æt T= Sin2A+Sin2B+Sin2C
Chønh minh r»ng: i) T > 2 th× ABC nhän.
ii) T < 2 th× ABC tï.
iii) T = 2 th× ABC vu«ng.
Chøng minh:
Ta cã T -2 = Sin2A + + -2
= Sin2A –1- (Cos2B-Cos2C)
=Sin2A-1-Cos(B+C)Cos(B-C)
= - Cos2A + CosA.Cos(B-C)
=CosA[Cos(B+C) + Cos(B-C)]
=2 CosA.CosB.CosC.
T>2 CosA.CosB.CosC>0Trong 3 sè h¹ng CosA; CosB; CosC cã hai sè ©m vµ mét sè d¬ng hoÆc c¶ ba sè cïng d¬ng. Khi ®ã ta cã:
Trêng hîp 1: Gi¶ sö cã hai gãc tï nªn kh«ng x¶y ra.
Trêng hîp 2: nhän.
iii) §îc chøng minh t¬ng tù.
Bµi 9: Cho ABC cã ba gãc tháa m·n:
Cos2A + Cos2B + Cos2C +10. (1)
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña: F = CosA + CosB + CosC.
Gi¶i. Ta cã:
(1)1 – 2 Sin2A + 1- 2Sin2B + 1 – 2Sin2C +10.
Sin2A + Sin2B + Sin2C 2. Theo bµi 8 ABC kh«ng cã gãc nhän.
MÆt kh¸c: F= CosA + 2
= 1 – 2 + 2
Do ABC kh«ng cã gãc nhän
XÐt hµm sè: f(t) = -2t2 +2t + 1 trªn [)
f’(t) = - 4t + 2 > 0 t [)
suy ra f(t) f() =
VËy Max(F) = ABC vu«ng c©n t¹i A.
Bµi 10: Cho ABC tháa m·n b2 + c2 = a2.
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña: F = SinA + SinB + SinC.
Gi¶i.
Ta cã CosA=
MÆt kh¸c: F =
V×
Suy ra F
Max(F) = khi vµ chØ khi
ABC vu«ng c©n t¹i A.
Bµi 11: Cho ABC tháa m·n:
T×m c¸c gãc cña tam gi¸c ABC.
Gi¶i:
Tõ gi¶ thiÕt (1) ta suy ra ABC kh«ng cã gãc tï.
MÆt kh¸c VT(2) =
Ta cÇn biÕn ®æi vÒ tam thøc bËc hai cña Sin.
Ta cã: SinA = 2SinCos
Do ABC kh«ng cã gãc tï nªn A
Nªn SinA
VËy
XÐt hµm sè: f(t) = trªn
f’(t) = -8t + 4
Nªn f(t) lµ hµm ®ång biÕn trªn suy ra f(t)
Khi ®ã (2) x¶y ra khi vµ chØ khi: vu«ng c©n t¹i A.
Bµi 12: X¸c ®Þnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC biÕt:
Giải.
Ta có (1)
osA
suy ra A
Mặt khác VT(2) =
=
Do suy ra
XÐt hµm sè: f(t) = trªn
f’(t) = -t +
nªn f(t) lµ hµm nghÞch biÕn trªn suy ra f(t)
Khi ®ã (2) x¶y ra khi vµ chØ khi: .
Bµi tËp t¬ng tù.
X¸c ®Þnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC biÕt:
(p - a)Sin2A + (p - b)Sin2B=c.CosA.CosB
Chøng minh r»ng trong mäi tam gi¸c ABC ta cã:
Sin.Sin.Sin
Sin2A + Sin2B + Sin2C
Cã tån t¹i hay kh«ng tam gi¸c ABC tháa m·n mét trong c¸c ®IÒu kiÖn sau:
CosA + 2CosB + 2CosC < 3.
CosA - CosB – CosC < .
Cho tam gi¸c ABC cã gãc A vµ B lµ hai gãc nhän. T×m gãc C biÕt:
Sin2A + Sin2B = .
Các bài toán về tam giac lượng được đề cập nhiều trong các sách tham khảo và SGK với đa dạng các nội dung và thể loại khác nhau. Trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và thi học sinh giỏi, thường xuyên xuất hiện những loại bài tập về tam giác lượng. Khi đứng trước những bài toán đó không ít học sinh đã lúng túng và gặp khó khăn trong việc định hướng và giải bài toán. Trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu ở bậc trung học phổ thông và với cách ra đề thi tuyến sinh ĐH trong những năm gần đây tôi muốn đưa ra một kỹ thuật giải các bài toán tam giác lượng bằng cách dựa vào tam thức bậc 2, cùng với kỹ thuật đó là một số kỹ thụât đánh giá khác được thể hiện trong đề tài. Hi vọng rằng với đề tài này sẽ giúp ích phần nào cho học sinh có kỹ năng chuẩn bị thi vào các trường ĐH & C Đ.
1) Các ký hiệu thông thường sử dụng thường xuyên trong đề tài.
A,B,C: số đo các góc của ABC hay các đỉnh của ABC
a,b,c: độ dài các cạnh đối diện các góc A,B,C.
ha, hb,hc: độ dài các đường cao xuất phát từ các đỉnh A,B,C.
ma, mb,mc: độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A,B,C.
R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
r : bán kính đường tròn nội tiếp ABC.
S: diện tích tam ABC.
p: nửa chu vi ABC.
2) Một số đẳng thức cơ bản được sử dụng trong đề tài.
sin= cos; sin= cos; sin= cos.
cos=sin;cos=sin; cos=sin.
tg=cotg;tg=cotg; tg=cotg.
sin(A-B)=sinC; sin(B-C)=sinA; sin(C-A)=sinB.
cos(A-B)=-cosC; cos(B-C)=-cosA; cos(C-A)=-cosB.
tg(A-B)=-tgC; tg(B-C)=-tgA; tg(C-A)=-tgB.
3) Sử dụng tam thức bậc hai để giải một số bài toán tam giác lượng.
Bài 1: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:
CosA+CosB+CosC.
Chứng minh:
Ta có: CosA+CosB+CosC= cosA+2coscos
1-2sin2+2sin (do cos1)
=-2(sin2 - sin + ) + =-2(sin - )2.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đều.
Nhận xét: Trong bài toán trên ta sử dụng hai kỹ thuật đó là: Đánh giá cos1 và sử dụng tam thức bậc hai, ta sử dụng hai cách đánh giá này đẻ giải tiếp một số bài toán sau.
Bài 2: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:
sin+sin+sin.
Chứng minh:
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
sin+2sincos
cos+2sincos
1-2Sin2+2sincos
2Sin2-2sincos+0. (*)
Vì cos1 nên ta có:
VT 2Sin2-2sin+
=2(Sin-)20.(đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đều.
Bài 3: T ìm các góc của tam giác ABC biết:
CosA +Cos(B - ) + Cos = (1)
Gi¶i :
VT (1) = CosA+ 2Cos .Cos CosA + 2sin
= 1 - 2Sin 2 + 2Sin = -2( Sin2 - Sin + ) +
=-2(Sin - ) +
VT (1)
(1) X¶y ra
Bài 4: Tìm các góc của tam giác ABC biết:
Sin.Sin ( ).Sin = ( 1)
Giải:
Vt (1) = Sin.
= Sin.Cos - Sin.Cos
= Sin.Cos - Sin2 (*)
Sin - Sin2 = - + (2*)
VT
X¶y ra
Dùa vµo c¸ch ®¸nh gi¸ cos1 hoÆc Cos(A-B) 1 ta cã thÓ gi¶i ®îc c¸c bµi tËp t¬ng tù sau.
Bµi 5 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:
Chøng minh:
§Ó ý r»ng vai trß cña A, B, C trong bµi to¸n nh nhau, trong trêng hîp ®ã ®¼ng thøc x¶y ra thêng lµ tam gi¸c ®Òu. Khi ®ã trong qu¸ tr×nh gi¶i sÏ xuÊt hiÖn ®¸nh gi¶ ®Ó ®¼ng thøc x¶y ra khi A=B, B=C. Tõ ®ã ta ®a ra c¸ch gi¶I nh sau.
Ta chøng minh:
ThËt vËy
T¬ng tù ta cã:
Céng c¸c bÊt ®¼ng thøc võa chøng minh ta suy ra ®pcm.
Bµi 6. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:
CotgA + CotgB+CotgC
Chøng minh:
Víi c¸ch nhËn xÐt nh bµi 5 ta cã:
CotgA + CotgB =
=
T¬ng tù: CotgB+CotgC
CotgC + CotgA
Céng c¸c bÊt ®¼ng thøc võa chøng minh ta suy ra ®pcm.
Trong một số bài toán xuất hiện cos hoặc cos(A-B) nhưng nếu sử dụng đánh giá trên sẽ đưa bài toán theo hướng khác do đó việc sử dụng nó không phải lúc nào cũng áp dụng được. Cách sử dụng như thế nào ta xét bài toán sau:
Bµi 7: Cho biÕt Q = Sin2A + Sin2B - Sin2C ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
TÝnh c¸c gãc cña .
Gi¶i :
Q = + - Sin2C
= 1 - - Sin2C
= Cos2C - Cos( A+B ).Cos( A- B )
= Cos2C + CosC.Cos( A- B )
Do Q nhá nhÊt nªn ta cÇn ®¸nh gi¸ Q h»ng sè ( 1 *)
NÕu sö dông Cos( A- B )1
Q Cos2C + CosC M©u thuÉn víi (1 * )
Khi ®ã ta cÇn biÕn ®æi tiÕp nh sau :
Q= Cos2C + CosC.Cos(A-B)+Cos2(A-B)- Cos2(A-B)
= [Cos2C + Cos(A-B)]2 - Cos2(A-B)
- Cos2(A-B) -
Min(Q)= -
4) Mét sè bµi to¸n liªn quan tíi tÝnh ch©t cña tam gi¸c.
Trong nhiÒu trêng hîp, viÖc ®¸nh gi¸ tõ gi¶ thiÕt bµi to¸n cho ta tÝnh chÊt cña tam gi¸c ( tï, nhän hay vu«ng). Khi ®ã ngoµi viÖc ®¸nh gi¸ nh trªn ta ph¶i cã kü n¨ng ®¸nh gi¸ dùa vµo tÝnh chÊt cña gãc. Tríc hÕt ta x¸t bµi tËp sau.
Bµi 8 Cho tam gi¸c ABC. §Æt T= Sin2A+Sin2B+Sin2C
Chønh minh r»ng: i) T > 2 th× ABC nhän.
ii) T < 2 th× ABC tï.
iii) T = 2 th× ABC vu«ng.
Chøng minh:
Ta cã T -2 = Sin2A + + -2
= Sin2A –1- (Cos2B-Cos2C)
=Sin2A-1-Cos(B+C)Cos(B-C)
= - Cos2A + CosA.Cos(B-C)
=CosA[Cos(B+C) + Cos(B-C)]
=2 CosA.CosB.CosC.
T>2 CosA.CosB.CosC>0Trong 3 sè h¹ng CosA; CosB; CosC cã hai sè ©m vµ mét sè d¬ng hoÆc c¶ ba sè cïng d¬ng. Khi ®ã ta cã:
Trêng hîp 1: Gi¶ sö cã hai gãc tï nªn kh«ng x¶y ra.
Trêng hîp 2: nhän.
iii) §îc chøng minh t¬ng tù.
Bµi 9: Cho ABC cã ba gãc tháa m·n:
Cos2A + Cos2B + Cos2C +10. (1)
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña: F = CosA + CosB + CosC.
Gi¶i. Ta cã:
(1)1 – 2 Sin2A + 1- 2Sin2B + 1 – 2Sin2C +10.
Sin2A + Sin2B + Sin2C 2. Theo bµi 8 ABC kh«ng cã gãc nhän.
MÆt kh¸c: F= CosA + 2
= 1 – 2 + 2
Do ABC kh«ng cã gãc nhän
XÐt hµm sè: f(t) = -2t2 +2t + 1 trªn [)
f’(t) = - 4t + 2 > 0 t [)
suy ra f(t) f() =
VËy Max(F) = ABC vu«ng c©n t¹i A.
Bµi 10: Cho ABC tháa m·n b2 + c2 = a2.
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña: F = SinA + SinB + SinC.
Gi¶i.
Ta cã CosA=
MÆt kh¸c: F =
V×
Suy ra F
Max(F) = khi vµ chØ khi
ABC vu«ng c©n t¹i A.
Bµi 11: Cho ABC tháa m·n:
T×m c¸c gãc cña tam gi¸c ABC.
Gi¶i:
Tõ gi¶ thiÕt (1) ta suy ra ABC kh«ng cã gãc tï.
MÆt kh¸c VT(2) =
Ta cÇn biÕn ®æi vÒ tam thøc bËc hai cña Sin.
Ta cã: SinA = 2SinCos
Do ABC kh«ng cã gãc tï nªn A
Nªn SinA
VËy
XÐt hµm sè: f(t) = trªn
f’(t) = -8t + 4
Nªn f(t) lµ hµm ®ång biÕn trªn suy ra f(t)
Khi ®ã (2) x¶y ra khi vµ chØ khi: vu«ng c©n t¹i A.
Bµi 12: X¸c ®Þnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC biÕt:
Giải.
Ta có (1)
osA
suy ra A
Mặt khác VT(2) =
=
Do suy ra
XÐt hµm sè: f(t) = trªn
f’(t) = -t +
nªn f(t) lµ hµm nghÞch biÕn trªn suy ra f(t)
Khi ®ã (2) x¶y ra khi vµ chØ khi: .
Bµi tËp t¬ng tù.
X¸c ®Þnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC biÕt:
(p - a)Sin2A + (p - b)Sin2B=c.CosA.CosB
Chøng minh r»ng trong mäi tam gi¸c ABC ta cã:
Sin.Sin.Sin
Sin2A + Sin2B + Sin2C
Cã tån t¹i hay kh«ng tam gi¸c ABC tháa m·n mét trong c¸c ®IÒu kiÖn sau:
CosA + 2CosB + 2CosC < 3.
CosA - CosB – CosC < .
Cho tam gi¸c ABC cã gãc A vµ B lµ hai gãc nhän. T×m gãc C biÕt:
Sin2A + Sin2B = .
Các ý kiến mới nhất