TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP HÌNH HỌC LỚP 9
Bài 1: Cho đường tròn (O). Một cung AB và S là điểm chính giữa của cung đó. Trên dây cung AB lấy hai điểm E và H. Các đường thẳng SH và SE cắt đường tròn tại C và D. Chứng minh rằng EHCD là một tứ giác nội tiếp.
HDẫn:
Ta có:
góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn)

(góc nội tiếp)


Vậy tứ giác HECD nội tiếp đường tròn.
Bài 2: Cho tam giác ABC ; Các đường phân giác của các góc B và C gặp nhau tại S, Các đường thẳng chứa phân giác của hai góc ngoài B và C gặp nhau tại E . Chứng minh rằng:
BSCE là một tứ giác nội tiếp.
Ba điểm A, S và E thẳng hàng
Hướng dẫn:
a)
(tính chất phân giác của hai góc kề bù)

(tính chất phân giác của hai góc kề bù)
nên

Vậy tứ giác BSCE nội tiếp đường tròn.
b) Ta chứng minh A, S, E cùng nằm trên phân giác của góc A.
Bài 3: Các đường cao hạ từ A và B của một tam giác ABC cắt nhau tại H, các đường cao ấy kéo dài cắt đường tròn tại D và E. Chứng minh rằng:
CD = CE.
H và D đối xứng nhau qua BC; H và E đối xứng nhau qua AC.
Hướng dẫn:
Ta chứng minh

suy ra

Từ

Tam giác BHD có BC vừa là đường cao vừa là phân giác nên nó là tam giác cân
Do đó BC là trung trực của DH . Vậy D, H đối xứng nhau qua BC.
Chứng minh tượng tự: E, H đối xứng nhau qua BC.
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tia phân giác của góc A gặp đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH và bán kính OA. Chứng minh rằng:
đường thẳng OM đi qua trung điểm của dây BC.
AM là phân giác của góc OAH.
Hướng dẫn:
Ta chứng minh

và OB = OC (= R) nên OM là trung trực của BC, do đó đường
OM đi qua trung điểm của BC.
b) Ta chứng minh

Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm là H. Tia AH cắt đường tròn (O) ở E. Kẻ đường kính AOF.
Chứng minh: BC // EF.
Chứng minh:

Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm H, I, F thẳng hàng.
Hướng dẫn:
Ta chứng minh BC và EF cùng vuông góc với AE.
BC // EF suy ra

Ta chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành
BH//CF (vì cùng vuông góc với AC) và CH//BF(cùng vuông góc với AB): H, I, F
nằm trên đường chéo do đó H, I, F thẳng hàng.
Bài 6: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là trực tâm của tam giác. K là trung điểm AC. Phân giác góc A cắt (O) tại M. Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng:
OM đi qua trung điểm N của BC.




Hướng dẫn:
Phần a) và b) tương tự bài tập 4
c)AB//NK(tính chất đường trung bình tam giác)
AH//ON ; BI//OK nên
( góc có cạnh tương ứng //)
Vây
(g – g)

.
Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường phân giác của góc A và B cắt nhau ở I và cắt đường tròn theo thứ tự ở D và E. Tia CI cắt đường tròn ở F.
Chứng minh F là điểm chính giữa của cung AB.
Chứng minh tam giác CDI cân.
DF Cắt AB ở K. Chứng minh hai tam giác AKF và DKB đồng dạng.
Hướng dẫn:
CI là tia phân giác của góc ACB, CI cắt đường tròn tại F suy ra

nên F là điểm chính giữa cung AB.
Ta chứng minh


(góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Vậy hai tam giác AKF và DKB đồng dạng (g – g)
Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O), có ba đường cao AD, BE, CF và trực tâm H. Gọi I, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của B, C trên đường thẳng EF. Chứng minh:
H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Điểm đối xứng của