TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO LỚP 7
A.PHẦN ĐẠI SỐ:

Bài toán 1. So sánh:
và
.
Bài toán 2. Tính tỉ số
, biết:


Bài toán 3. Cho x, y, z, t
N
.
Chứng minh rằng: M =
có giá trị không phải là số tự nhiên.
Bài toán 4. Tìm x; y
Z biết:
25 –
= 8( x – 2009)


=

+ 1997
x + y + 9 = xy – 7.
Bài toán 5. Tìm x biết : 
a.

b.
.
Bài toán 6. Chứng minh rằng :
< 1

Bài toán 7. Cho n số x1, x2, ..., xn mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu x1.x2 + x2.x3
+ ...+ xn.x1 = 0 thì n chia hết cho 4.
Bài toán 8. Chứng minh rằng:
S =
< 0,2
Bài toán 9. Tính giá trị của biểu thức A =
+
giả sử
.
Bài toán 10. Tìm max của biểu thức:
.
Bài toán 11. Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh rằng :
D =

Bài toán 12. Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức :
A(x) = ( 3 - 4x + x2 )2004 .( 3 + 4x + x2 )2005
Bài toán 13. Tìm các số a, b, c nguyên dương thỏa mãn :
và a + 3 =

Bài toán 14. Cho x = 2005. Tính giá trị của biểu thức :


Bài toán 15. Rút gọn biểu thức : N =

Bài toán 16. Trong 3 số x, y, z có 1 số dương, 1 số âm và một số 0. Hỏi mỗi số đó thuộc loại nào biết :

Bài toán 17. Tìm hai chữ số tận cùng của tổng sau :
B =

Bài toán 18. Cho 3x – 4y = 0. Tìm min của biểu thức : M =
.
Bài toán 19. Tìm x, y, z biết :
.
Bài toán 20. Tìm x, y biết rằng : x
+ y
+
= 4
Bài toán 21. Cho a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n + 1 chữ số 1, c là số gồm n chữ số 6. Chứng minh rằng a + b + c + 8 là số chính phương.
Bài toán 22. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a, tồn tại số tự nhiên b sao cho ab + 4 là số chính phương.
Bài toán 23. Chứng minh rằng nếu các chữ số a, b, c thỏa mãn điều kiện
thì
.
Bài toán 24. Tìm phân số
khác 0 và số tự nhiên k, biết rằng
.
Bài toán 25. Cho hai số tự nhiên a và b (a < b). Tìm tổng các phân số tối giản có mẫu bằng 7, mỗi phân số lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b.
Bài toán 26. Chứng minh rằng: A = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + n là số chính phương (n lẻ).
Bài toán 27. Tìm n biết rằng: n
- n
+ 2n + 7 chia hết cho n
+ 1.
Bài toán 28. Chứng minh rằng: B =
là hợp số với mọi số nguyên dương n.
Bài toán 29. Tìm số dư khi chia (n
- 1)111 . (n
- 1)333 cho n.
Bài toán 30. Tìm số tự nhiên n để 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 5.
Bài toán 31. a. Chứng minh rằng: Nếu a không là bội số của 7 thì a6 – 1 chia hết cho 7.
Cho f(x + 1)(x2 – 1) = f(x)(x2 +9) có ít nhất 4 nghiệm.
Chứng minh rằng: a5 – a chia hết cho 10.
Bài toán 32. Tính giá trị của biểu thức: A =
tại (x2 – 1) + (y – z)2 = 16.
Bài toán 33. Chứng minh rằng:
a. 0,5 ( 20072005 – 20032003 ) là một số nguyên.
b. M =
không thể là số nguyên.
c. Khi viết dưới dạng thập phân thì số hữu tỉ
có ít nhất 4000 chữ số 0 đầu tiên sau dấu phẩy.
Bài toán 34. So sánh A và B biết :
A =
và B =
.
Bài toán 35. Tìm x biết :
a.

b. (4x – 3)4 = (4x –