CHƯƠNG III. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bài 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. Lý thuyết phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng: ax + by = c. Trong đó a,b,c  là những số cho trước a ≠ 0 hoặc b ≠ 0.
- Nếu các số thực x0,y0 thỏa mãn ax + by = c thì cặp số (x0,y0) được gọi là nghiệm của phương trình ax + by = c.
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm (x0,y0) của phương trình ax + by = c được biểu diễn bới điểm có tọa độ (x0,y0).
2. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng d: ax + by = c.
+ Nếu a ≠ 0 và b = 0 thì phương trình có nghiệm
 và đường thẳng d song song hoặc trùng với trục tung.
+ Nếu a = 0 và b ≠ 0  thì phương trình có nghiệm 
và đường thẳng d song song hoặc trùng với trục hoành.
+ Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 thì phương trình có nghiệm 
và đường thẳng d là đồ thị hàm số 

II. Các dạng toán thường gặp về phương trình bậc nhất hai ẩn
Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để một cặp số cho trước là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn.
Phương pháp:
Nếu cặp số thực (x0,y0) thỏa mãn ax + by = c thì nó được gọi là nghiệm của phương trình ax + by = c.
Dạng 2: Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn. Biểu diễn tập nghiệm trên hệ trục tọa độ.
Phương pháp:
Xét phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c.
1. Để viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình, trước tiên ta biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) rồi đưa ra công thức nghiệm tổng quát.
2. Để biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d có phương trình ax + by = c.
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng ax + by = c thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp:
Ta có thể sử dụng một số lưu ý sau đây khi giải dạng toán này:
1. Nếu a ≠ 0 và b = 0 thì phương trình đường thẳng d: ax + by = c có dạng 
.  Khi đó d song song hoặc trùng với Oy .
2. Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình đường thẳng d: ax + by = c có dạng 
.  Khi đó d song song hoặc trùng với Ox .
3. Đường thẳng d: ax + by = c đi qua điểm M(x0,y0) khi và chỉ khi ax0 + by0 = c.
Dạng 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương pháp:
Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c, ta làm như sau:
Cách 1:
Bước 1: Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn
Bước 2:  Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x ) theo ẩn kia.
Bước 3:  Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x
Bước 4:  Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của x bằng một số nguyên t, ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn y và t
-  Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên.
Cách 2:
Bước 1. Tìm một nghiệm nguyên(x0,y0) của phương trình.
Bước 2. Đưa phương trình về dạng a(x − x0) + b(y − y0) = 0 từ đó dễ dàng tìm được các nghiệm nguyên của phương trình đã cho.
III. Một số ví dụ về phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ 1. Chứng tỏ cặp số (1; 1) là nghiệm của phương trình 2x - y = 1.
Giải:
Ta có: VT = 2.1 - 1 = 1 = VP.
Vậy cặp số (1; 1) là nghiệm của phương trình 2x - y = 1.
Ví dụ 2. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau:
a) 3x - y = 2 b) 4x - 3y = -1
Giải:
a) Ta có: 3x - y = 2 <=> y = 3x - 2.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là

b)