Phần 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
Chương IV: GIỚI HẠN

§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I. Tóm tắt lý thuyết:

1. Giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực:
a). Giới hạn hữu hạn
(
un = a

(un – a) = 0
b). Giới hạn vô cực:
(
un = +

(
un = –


(–un ) = +

( Chú ý: Thay vì viết:
un = a;

un =
, ta viết tắt:
un = a;

un =

2. Các giới hạn đặc biệt:
a). lim
; lim
; limnk = +

( với k nguyên dương)
b).

c). limc = c ( với c là hằng số )
3. Định lí về giới hạn hữu hạn:
a). Nếu limun = a và limvn = b, thì:
( lim(un.vn) = a.b
(
( nếu
)
b). Nếu
, và limun = a, thì
.
4. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực:
a). Nếu
un = a và
vn =
thì
.
b). Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0
n thì

c). Nếu limun = +
và limvn = a > 0 thì lim(un.vn) =

5. Cấp số nhân lùi vô hạn:
a). Định nghĩa: CSN lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa mãn
.
b). Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:




II. Các dạng bài tập áp dụng:

Bài 1: Tìm giới hạn sau:
a). lim(2n2 + 3n – 1) b). lim(– n2 – n + 3) c). lim(3n3 – n2 + n + 5)
Bài 2 Tìm giới hạn sau:
a).
b).
c).

d).
e).
f).

g).
h).
i).

j).
k).
l).

m).
n).
o).

p).
q).
r).

s).
t).
x).

Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
a).
b).
c).
d).

Bài 4: Tìm các giới hạn sau:
a).
b).
c).

d).
e).
f).

g).
h).
i).

Bài 5: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
a).

b).

c).




§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

I. Tóm tắt lý thuyết:

1). Giới hạn hữu hạn:
2). Giới hạn vô cực:
3). Các giới hạn đặc biệt:
():Định lí 1:
a).
b).
c).

d).
e).

(với k nguyên dương)
f).

4). Định lí về giới hạn hữu hạn:
a). Nếu
và
, thì:
(

(

(

(
;
b). Nếu
và
,
thì:

Chú ý: ĐL1 vẫn đúng khi
hoặc

():Định lí 2:


5). Quy tắc về giới hạn vô cực:

;

a). Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x):








L > 0











L < 0











b). Quy tắc tìm giới hạn của thương
:




Dấu của g(x)



L


Tùy ý
0

L > 0
0
+





–



L < 0
0
+





–






II. Các dạng bài tập áp dụng:
A. Tìm giới hạn hàm số: bằng cách thay số trực tiếp:
1/
2/
3/
4/

B. Các dạng vô định:
khử dạng vô định.
I. Dạng vô định:

* Đặc điểm: là phân thức,
số:

* Cách làm:
Nếu tử, mẫu không chứa căn thức: ta phân