ỦY BAN NHÂN DÂN HUYỆN ĐỨC HÒA
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ HẬU NGHĨA

CHUYÊN ĐỀ:
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI –
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

Đơn vị: Tổ Toán -Tin.
Tháng 04 năm 2023

PHẦN MỞ ĐẦU
Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét được áp dụng rất nhiều trong viêc giải toán. Song,
trong quá trình giảng dạy thấy các em vận dụng chưa linh hoạt, lập luận chưa chặt chẽ, có
nhiều thiếu sót trong quá trình giải. Để giải các bài toán về hệ thức Vi-ét học sinh cần tích
hợp nhiều kiến thức về đại số, có cách nhìn khác về nghiệm phương trình bậc hai thông qua
các hệ số,... Tuy nhiên lượng bài tập này trong sách giáo khoa rất ít về số lượng, và chất lượng
bài tập cũng chưa phong phú, đa dạng.
Vậy nên Nhóm Toán chúng tôi xây dựng chuyên đề này nhằm mục đích giúp học sinh nắm
vững và sử dụng thành thạo về giải phương trình bậc hai, hệ thức Vi-ét và ứng dụng đồng thời
làm tăng khả năng, năng lực học toán và kích thích hứng thú cho học sinh.
Làm thế nào để học sinh có thể nhận dạng và vận dụng lý thuyết giải được bài tập một cách
nhanh nhất? Đó là câu hỏi luôn trăn trở của người giáo viên dạy lớp.
Toán học là môn học đòi hỏi học sinh phải có hiểu biết, một chút thông minh, chịu khó và
trên hết là sự hứng thú với môn học. Do đó giáo viên cần phải có phương pháp gọn, rõ ràng, cụ
thể để giúp các em tiếp cận kiến thức nhanh từ đó mới tạo sự ham học, hứng thú với bộ môn.
Đa số học sinh trung bình, yếu khả năng vận dụng, phân tích đề bài của các em rất hạn chế.
Thông thường các em dễ nhầm lẫn giữa các dạng bài tập với nhau, chẳng hạn giữa hai dạng bài
tập tìm tham số và chứng minh phương trình luôn có nghiệm. Khi làm bài, các em thường không
phân biệt được các dạng bài tập. Do đó, bài làm thường không đạt kết quả tốt. Để giúp các em
định hình phương pháp giải khác nhau đối với từng dạng bài tập, chúng ta cần phân loại các bài
tập trong mỗi phần kiến thức, mỗi loại hình thành phương pháp giải cụ thể làm nền tảng cơ sở
cho các em. Điều này rất cần thiết khi chúng ta tiến hành việc dạy cho các em giải được tốt các
dạng bài tập.

Trang 1

PHẦN NỘI DUNG
A. Giải quyết vấn đề
Đặc trưng của phân môn đại số là đòi hỏi học sinh cần tính toán nhiều và chính xác. Nhưng
nếu học sinh không nắm được các dạng toán sẽ làm cho bài toán trở nên dài dòng và phức tạp,
thậm chí bế tắc trong cách giải và đặc biệt hơn là sự nhầm lẫn trong hướng giải quyết và thiếu
điều kiện để có thể kết luận chính xác kết quả của bài toán. Do vậy, để giúp học sinh giải quyết
vấn đề này đòi hỏi người giáo viên cần phải phân loại các dạng bài tập, đưa từ lý thuyết sang
bài toán cụ thể, từ đó đưa ra hướng giải toán thích hợp và rèn luyện cho học sinh thói quen nhận
dạng bài tập, tránh sự nhầm lẫn trong quá trình giải toán để đạt được sự hứng thú và kết quả cao
hơn trong học tập.
Trước tình hình trên, chúng tôi nhận thấy đối với các kiến thức được học nếu chúng ta phân
dạng bài tập cụ thể, mỗi dạng bài hình thành một phương pháp giải rõ ràng thì các em có thể
vận dụng làm bài tập một cách tốt nhất và giúp các em thích thú học bộ môn.
Theo quan điểm trên chúng tôi phân loại bài tập để củng cố, rèn luyện kiến thức trong phần
phương trình bậc hai - hệ thức Vi-ét và ứng dụng vào việc giải các dạng bài tập.
B. Nội dung
I. Kiến thức cần nhớ
1. Phương trình bậc hai một ẩn
1.1. Định nghĩa
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax 2 + bx + c = 0 , trong đó x là ẩn;
a , b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ¹ 0 .
1.2. Giải phương trình bậc hai
Trường hợp 1. Phương trình bậc hai một ẩn dạng khuyết:
- Với c = 0 , phương trình có dạng:
éx = 0
ax + bx = 0 Û x(ax + b) = 0 Û ê
ê x = -b (a ¹ 0)
a
ë
- Với b = 0 , phương trình có dạng:
-c
ax 2 + c = 0 Û x 2 =
(*)
a
éc = 0
-c
³0Ûê
Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
a
ëac < 0
2

Trường hợp 2: Giải phương trình bậc hai một ẩn đầy đủ:
a. Công thức nghiệm:
Đối với phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0(a ¹ 0) và biệt thức D = b 2 - 4 ac
-b + D
-b - D
; x2 =
.
2a
2a
b
+ Nếu D = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - .
2a
+ Nếu D < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Chú ý: Nếu phương trình có a và c trái dấu thì D > 0 . Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân

+ Nếu D > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 =

biệt.
b. Công thức nghiệm thu gọn
Đối với phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0(a ¹ 0) và b = 2b¢, D¢ = b¢2 - ac .

Trang 2

-b¢ + D¢
-b¢ - D¢
; x2 =
a
a
b¢
+ Nếu D¢ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - .
a
+ Nếu D¢ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu D¢ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 =

2. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng:
2.1. Hệ thức Vi-ét
Định lí Vi-ét :
b
ì
x1 + x2 = ï
a
Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) thì ïí
ïx x = c
ïî 1 2 a

*Chú ý: Định lí Vi-ét chỉ được sử dụng khi một phương trình là phương trình bậc hai và có
nghiệm (nghĩa là a ¹ 0; D ³ 0 ) do đó, GV cần ghi nhớ cho HS kể cả khi đề bài không yêu cầu
tìm điều kiện có nghiệm thì cũng phải tìm điều kiện có nghiệm trước khi áp dụng định lí Vi-ét.
2.2. Ứng dụng của hệ thức Vi-ét:
Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) (1)
a) Nếu phương trình (1) có dạng a + b + c = 0 thì x1 = 1; x2 =

c
.
a
c
a

b) Nếu phương trình (1) có dạng a - b + c = 0 thì x1 = -1; x2 = - .
Ứng dụng 2: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng:
Nếu có hai số x1 , x2 mà x1 + x2 = S và x1 x2 = P thì x1 , x2 là các nghiệm (nếu có) của phương trình
x 2 - Sx + P = 0 .

+ Điều kiện tồn tại hai nghiệm x1; x2 là: S 2 ³ 4 P .

Ứng dụng 3: Xét dấu các nghiệm x1 , x2 (mà không cần tính x1 , x2 ).
- Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu là x1 . x2 < 0 , trong đó:
+ Nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm còn lại thì x1 + x2 > 0
+ Nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm còn lại thì x1 + x2 < 0
ìD ³ 0

- Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu là: í
î x1 . x2 > 0
ìD ³ 0
ï
- Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm dương là: í x1 . x2 > 0
ïx + x > 0
2
î 1
ìD ³ 0
ï
- Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm âm là: í x1 . x2 > 0
ïx + x < 0
2
î 1

Ứng dụng 4:
Tính giá trị các biểu thức đối xứng của các nghiệm x1 , x2 (mà không cần tính x1 , x2 )
Một số biểu thức đối xứng:
2
a) x12 + x22 = ( x1 + x2 ) - 2 x1 x2
b) x13 + x23 = ( x1 + x2 ) - 3x1 x2 ( x1 + x2 )
3

Trang 3

c) x1 - x2 =
d)

( x1 + x2 )

2

- 4 x1 x2

1 1 x1 + x2
+ =
x1 x2
x1 x2

f) ( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - 4 x1 x2
2

2

(

)

g) x14 + x24 = ( x12 + x22 ) - 2 x12 x22 = ( x1 + x2 ) - 2 x1 x2 - 2 x12 x22
2

2

2

h) ( x1 - a )( x2 - a ) = x1 x2 - a ( x1 + x2 ) + a 2
i)

1
1
x1 + x2 - 2a
x1 + x2 - 2a
+
=
=
x1 - a x2 - a ( x1 - a )( x2 - a ) x1.x2 - a ( x1 + x2 ) + a 2

II. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
1. Đối với phương trình bậc hai:
Dạng 1: Giải phương trình bậc hai một ẩn.
* Dạng bài này thường được đưa vào cấu trúc đề thi tuyển sinh vào lớp 10 .
* Định hướng cho HS quy trình giải:
- Nếu phương trình khuyết b hoặc c thì giải theo cách riêng.
- Đối với phương trình bậc hai đầy đủ thì:
+ Ưu tiên phương pháp nhẩm nghiệm bằng cách sử dụng hệ quả định lí Vi-ét (nếu được).
+ Nếu hệ số b chẵn sử dụng công thức nghiệm thu gọn.
+ Nếu hệ số b lẻ sử dụng công thức nghiệm.
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
a) 2 x 2 + 6 x = 0 ;
b) 3 x 2 + 5 x - 2 = 0 ;
c) x 2 + 4 x - 1 = 0 ;
d) 5 x 2 - 6 x + 1 = 0 ;
e) 2 x 2 + 5 x + 3 = 0 .
Hướng dẫn giải:
a)

éx = 0
éx = 0
2 x 2 + 6 x = 0 Û x( 2 x + 6) = 0 Û ê
Ûê
ë x = -3 2
ëê 2 x + 6 = 0

b) Ta có D = b 2 - 4ac = 52 - 4 × 3 × (-2) = 25 + 24 = 49 > 0
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:
-b + D -5 + 49 -5 + 7 2 1
=
=
= =
2a
2.3
6
6 3
-b - D -5 + 49 -5 - 7 -12
x2 =
=
=
=
= -2
2a
2.3
6
6
c) x 2 + 4 x - 1 = 0
Ta có: D¢ = b¢2 - ac = 22 - 1.(-1) = 5 > 0
x1 =

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
-2 + 5
= -2 + 5
1
-2 - 5
x2 =
= -2 - 5
1
d) 5 x 2 - 6 x + 1 = 0
Ta có a = 5; b = -6; c = 1 và a + b + c = 5 + ( -6) + 1 = 0 .
x1 =

Trang 4

Nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là x1 = 1; x2 =

c 1
= .
a 5

e) 2 x 2 + 5 x + 3 = 0
Ta có : a - b + c = 2 - 5 + 3 = 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm là x1 = -1; x2 =

- c -3
=
a
2

Dạng 2: Giải phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn
1 Giải phương trình trùng phương
- Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ax 4 + bx 2 + c = 0(a ¹ 0) .
- Cách giải:
Bước 1. Đặt ẩn phụ t = x 2 (t ³ 0) để đưa phương trình về phương trình bậc hai: at 2 + bt + c = 0
( a ¹ 0 ).
Bước 2. Giải phương trình bậc hai ẩn t từ đó ta tìm được các nghiệm của phương trình trùng
phương đã cho.
Bài tập áp dụng
1. Giải các phương trình sau:
a) x 4 + 5 x 2 - 6 = 0 ;
b) ( x + 1) 4 - 5( x + 1)2 - 84 = 0 .
2. Giải các phương trình sau:
a) 2 x 4 + 7 x 2 + 5 = 0 ;
b) 4 x 4 + 8 x 2 - 12 = 0 .
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Phương pháp giải:
Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta có các bước giải như sau:
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của ẩn.
Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.
Bước 3. Giải phương trình bậc hai nhận được ở Bước 2.
Bước 4. So sánh các nghiệm tìm được ở Bước 3 với điều kiện xác định và kết luận.
Bài tập áp dụng
1. Giải các phương trình sau:
2x - 5
3x
=
a)
;
x -1 x - 2
x+5 x-3
5
3
=
b)
;
3
5
x -3 x +5
3
æ 1+ x 1- x ö æ 1+ x ö
- 1÷ =
c) ç
.
÷:ç
è 1 - x 1 + x ø è 1 - x ø 14 - x
2. Giải các phương trình sau:
2 x - 1 3x - 1 x - 7
+
=
+3;
a)
x +1 x + 5 x -1
x 2 - 3x + 5
1
=
b) 2
;
x - x-6 x -3
2x
5
5
c)
.
= 2
x - 2 x - 3 x - 5x + 6
3. Phương trình đưa về dạng tích
Phương pháp giải:
Để giải phương trình đưa về dạng tích, ta có các bước giải như sau:
Bước 1. Chuyển vế và phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0 .
Bước 2. Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm.
Bài tập áp dụng
1. Giải các phương trình sau:
a) x 3 - 3x 2 - 3 x - 4 = 0 ;
b) ( x - 1)3 + x3 + ( x + 1)3 - ( x + 2)3 = 0 .
Trang 5

2. Giải các phương trình sau:
a) 2 x3 - 7 x 2 + 4 x + 1 = 0 ;
b) ( x 2 + 2 x - 5)2 = ( x 2 - x + 5)2 .
Dạng 3. Giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp giải:
Bước 1. Đặt điều kiện xác định (nếu có);
Bước 2. Đặt ẩn phụ, đặt điểu kiện của ẩn phụ (nếu có) và giải phương trình theo ẩn mới;
Bước 3. Tìm nghiệm ban đầu và so sánh với điều kiện xác định và kết luận.
Bài tập áp dụng
1. Giải các phương trình sau:
a) x( x + 1)( x + 2)( x + 3) = 8 ;
b) ( x 2 + 16 x + 60)( x 2 + 17 x + 60) = 6 x 2 ;
2x
7
c) 2
- 2
= 1.
3x - x + 2 3x + 5x + 2
2. Giải các phương trình sau:
a) ( x 2 - 3x) 2 - 6( x 2 - 3x) - 7 = 0 ;
b) x 6 + 61x3 - 8000 = 0 ;
x
10( x + 1)
= 3.
c)
x +1
x
Dạng 4. Phương trình chứa biếu thức trong dấu căn
Phương pháp giải: Làm mất dấu căn bằng cách đặt ẩn phụ hoặc lũy thừa hai vế.
ìB ³ 0
Chú ý: A = B Û í
.
2
îA = B
Bài tập áp dụng
1. Giải các phương trình sau:
a)

x - 6 x +9 = 3- x ;

b) x 2 + x + 1 = 3 - x .
2. Giải các phương trình sau:
a) x 2 - 3x + 2 = (1 - x) 3x - 2 ;
b) x - 1 + 7 x + 1 = 14 x - 6 .

Dạng 5: Phương trình bậc hai một ẩn có chứa tham số m.
1. Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép, có nghiệm, có hai
nghiệm, vô nghiệm.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính D hoặc D¢
- Bước 2: Chứng minh D > 0 (hoặc D ³ 0; D = 0; D < 0 ) theo yêu cầu đề bài. Trường hợp D¢ làm
tương tự .
- Bước 3: Kết luận.
Chú ý: Khi biệt thức D hoặc D¢ có dạng là tam thức bậc hai thì cần biến đổi về dạng ( A ± B)2
hoặc ( A ± B)2 + k (k > 0) .
Ví dụ 1: Cho phương trình: x 2 + 2 x - m 2 - 1 = 0 ( m là tham số).
Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
Hướng dẫn giải
Ta có D¢ = 12 - 1× ( -m 2 - 1) = 1 + m 2 + 1 = m 2 + 2 > 0 , với mọi m .
Vì D¢ > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
Ví dụ 2: Cho phương trình x 2 - 2(m - 1) x + m - 3 = 0 ( m là tham số) .
Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
Trang 6

Hướng dẫn giải
æ

3ö

2

7

Vì D = [-(m - 1)]2 - 1.(m - 3) = m2 - 3m + 4 = ç m - ÷ + > 0, "m .
2ø 4
è
Suy ra phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Ví dụ 3: Cho phương trình x 2 + 4 mx - 4m - 1 = 0 ( m là tham số).
Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m .
Hướng dẫn giải
Vì D¢ = (2m)2 - (-4m - 1) = 4m2 + 4m + 1 = (2m + 1) 2 ³ 0, "m .
Suy ra phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m .
2. Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép, có
nghiệm (có hai nghiệm), vô nghiệm.
- Bước 1: Tính D hoặc D¢ .
- Bước 2: Căn cứ yêu cầu đề bài để suy ra điều kiện của D hoặc D¢ . Từ đó tìm điều kiện của
tham số.
+ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt D > 0 (hoặc D¢ > 0 ).
+ Phương trình có nghiệm kép D = 0 (hoặc D¢ = 0 ).
+ Phương trình có nghiệm (có hai nghiệm) D ³ 0 (hoặc D¢ ³ 0 ).
+ Phương trình vô nghiệm D < 0 (hoặc D¢ < 0 )
- Trường hợp đặc biệt: Nếu tích a.c < 0 thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
giá trị của tham số mà không cần phải tính và biện luận theo D hoặc D¢ .
- Bước 3: Kết luận.
* Một số chú ý:
- Trong một số bài toán tìm điều kiện để phương trình có nghiệm mà hệ số a chứa tham số ta
phải xét trường hợp a = 0 . Sau đó xét trường hợp a ¹ 0 và làm các bước ở trên. Trong một số
bài toán tìm điểu kiện của m để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm, có 2
nghiệm phân biệt mà hệ số a chứa tham số ta phải tìm điều kiện để phương trình đó là phương
trình bậc hai ( a ¹ 0) .
* Đối với dạng 3.2, một số học sinh chưa phân biệt được điều kiện phương trình có hai nghiệm
và phương trình có hai nghiệm phân biệt nên dẫn tới việc xét sai điều kiện của D hoặc D¢ . Do
đó giáo viên cần chú ý giúp HS tránh mắc sai lầm trong trường hợp này.
Ví dụ 1: Cho phương trình: x 2 - 2(2m - 1) x + 8(m - 1) = 0 ( x là ẩn số, m là tham số)
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
Hướng dẫn giải:
Ta có: D¢ = (2m - 1)2 - 8(m - 1) = (2m - 3) 2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi D¢ > 0
Û (2m - 3) 2 > 0 Û 2m - 3 ¹ 0 Û m ¹

Vậy với m ¹

3
2

3
thì pt có 2 nghiệm phân biệt.
2

Sai lầm của HS ở dạng bài này là chưa phân biệt được điều kiện để phương trình có nghiệm
( D ³ 0 ) và phương trình có hai nghiệm phân biệt ( D > 0 ).
Do đó, giáo viên cần khắc sâu cho HS khi gặp dạng bài toán tìm điều kiện để phương trình có
hai nghiệm phân biệt mà D hoặc D¢ có dạng ( A ± B)2 để suy ra A ± B ¹ 0 .
Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì phương trình x 2 + mx + 1 = 0 ( x là ẩn số, m là tham số) có
nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
Hướng dẫn giải
Trang 7

Ta có: D = m 2 - 4
Phương trình có nghiệm kép khi D = 0
Û m 2 - 4 = 0 Û m = ±2
- m -2
=
= -1 .
2
2
-m 2
Với m = -2 thì x3 = x4 =
= = 1.
2
2

Với m = 2 thì x1 = x2 =

Ví dụ 3: Với giá trị nào của m thì phương trình 3 x 2 + 2 mx + 4 = 0 ( x là ẩn số, m là tham số) có
nghiệm?
Hướng dẫn giải:
Ta có: D¢ = m 2 - 12
Phương trình đã cho có nghiệm khi D¢ ³ 0
é m ³ 12
Û m 2 - 12 ³ 0 Û (m - 12)(m + 12) ³ 0 Û ê
êë m £ - 12

Vậy m ³ 12 hoặc m £ - 12 .
3. Một số dạng khác
Phương pháp giải:
Ngoài các phương pháp trên, ta còn dùng các phương pháp hằng đẳng thức, thêm bớt hạng tử,
hoặc đánh giá hai vế... để giải phương trình.
Bài tập áp dụng
1. Giải các phương trình sau bằng phương pháp thêm bớt hạng tử hoặc dùng hằng đẳng thức:
a) x 4 = 24 x + 32 ;
b) x3 = -3x 2 + 3x - 1 ;
c) x 4 - x 2 + 2 x - 1 = 0 .
2. Giải các phương trình sau bằng phương pháp đánh giá:
a) 1 - x + x = 1 ;
b) 4 x 2 - 4 x + 5 + 12 x 2 - 12 x + 3 = 2 ;
3. Giải các phương trình sau:
a) 4 x 2 - 4 x - 6 | 2 x - 1| +6 = 0 ;
b) x 2 +

25 x 2
= 11 .
( x + 5)2

Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho phương trình (m - 3) x 2 + 4mx + 4m + 1 = 0 ( x là ẩn số, m là tham số)
a) Giải phương trình với m = 2 .
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải
a) Thay m = 2 vào phương trình được: - x 2 + 8 x + 9 = 0 . Suy ra x = -1; x = 9
b) D¢ = ( 2m ) - ( m - 3) . ( 4m + 1)
2

(

= 4m 2 - 4m 2 + m - 12m - 3

)

= 4m 2 - 4m 2 - m + 12m + 3
= 11m + 3
ìm ¹ 3
ìa ¹ 0
ìm - 3 ¹ 0
ï
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi í
Ûí
Ûí
-3
îD ' > 0
î11m + 3 > 0
ïîm > 11

Trang 8

Vậy m >

-3
và m ¹ 3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
11

Sai lầm của HS là không tìm điều kiện của hệ số a khi hệ số a có chứa tham số.
Bài 2: Cho phương trình : (m - 1) x 2 - 2mx + m + 3 = 0 ( x là ẩn số, m là tham số)
a) Giải phương trình với m = -1 .
b) Tìm m để phương trình chỉ có một nghiệm.
Hướng dẫn giải
b)+ Với m = 1, phương trình trở thành -2 x + 4 = 0 Û x = 2 .
+ Với m ¹ 1 , ta có: D ' = -2m + 3
Phương trình chỉ có một nghiệm khi phương trình có nghiệm kép Û D ' = 0
Û -2 m + 3 = 0 Û m =

3
.
2

3
thì pt đã cho chỉ có một nghiệm.
2
Bài 3: Cho phương trình mx 2 - 2(m - 1) x + m + 1 = 0 ( x là ẩn số, m là tham số) .

Vậy m = 1; m =

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt?
b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất?
Hướng dẫn giải
a) Ta có: D¢ = éë - ( m - 1) ùû - m. ( m + 1)
2

= m 2 - 2m + 1 - m 2 - m = -3m + 1
ìa ¹ 0
îD ' > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi í

ìm ¹ 0
ìm ¹ 0
ï
Ûí
Ûí
1
î-3m + 1 > 0
ïîm < 3
1
Vậy m < ; m ¹ 0 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
3
-1
b) + Nếu m = 0 phương trình trở thành: 2 x + 1 = 0 Û x = .
2
+ Nếu m ¹ 0 , Phương trình có một nghiệm duy nhất khi phương trình có nghiệm kép
Û D¢ = 0
Û -3m + 1 = 0
1
Ûm= .
3
1
Vậy nếu m = 0; m = thì phương trình có nghiệm duy nhất.
3
Bài 4: Cho phương trình: x 2 + 2(m + 1) x + m - 4 = 0 ( x là ẩn số, m là tham số)

a) Giải phương trình với m = -5 .
b) Tìm m để phương trình vô nghiệm.
Hướng dẫn giải
a) m = -5 thì phương trình có hai nghiệm x1 = -1; x2 = 9 .
2

1 ö 19
æ
b) Ta có: D¢ = (m + 1) - (m - 4) = m + m + 5 = ç m + ÷ + > 0 với mọi giá trị của m .
2ø
4
è
2

2

Nên không có giá trị m để phương trình vô nghiệm.
Trang 9

Tổng hợp các bài tập liên quan đến hệ thức Vi-ét trong tuyển sinh 10 tỉnh Long An qua các
năm.
a) Cho phương trình x 2 + 2mx + m 2 - m + 1 = 0 ( x là ẩn số, m là tham số) .
Tìm m để phương trình trên có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó với m vừa tìm được.
(TS 10 Long An năm 2012-2013)
b) Cho phương trình x 2 - 2 ( m - 3) x + m 2 + 3 = 0 (với x là ẩn số, m là tham số). Tìm giá trị m để
phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 . (TS 10 Long An năm 2018-2019)
c) Cho phương trình (ẩn x ) x 2 - 6 x + m = 0 ( x là ẩn số, m là tham số) .Tìm giá trị m để phương
trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 . (TS 10 Long An năm 2019-2020)
2. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có một nghiệm x = a , tìm nghiệm
còn lại.
Ví dụ 1:
a. Phương trình: x 2 - 2 px + 5 = 0 có một nghiệm bằng 2 , tìm p và nghiệm thứ hai.
b. Phương trình: x 2 + 5 x + q = 0 có một nghiệm bằng 5 , tìm q và nghiệm thứ hai.
Hướng dẫn giải
a. Thay x1 = 2 vào phương trình ban đầu ta được: 4 - 4 p + 5 = 0 Û p =
Từ x1. x2 = 5 suy ra x2 =

9
4

5 5
=
x1 2

b. Thay x1 = 5 vào phương trình ban đầu ta được:
25 + 25 + q = 0 Û q = -50

Từ x1 . x2 = -50 suy ra x2 =

-50 -50
=
= -10
x1
5

Ví dụ 2: Cho phương trình (m - 1) x 2 + 2 x - 3 = 0 (1) ( x là ẩn số, m là tham số) .
Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 2. Khi đó hãy tìm nghiệm còn lại (nếu có).
Hướng dẫn giải:
Do phương trình (1) có nghiệm x1 = 2 nên ta có:
( m - 1).22 + 2.2 - 3 = 0 Û 4m - 3 = 0 Û m =

3
4

3

1

ö
ø

Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m - 1 = - 1 = - ¹ 0 ÷
4
4
Theo đinh lí Vi-ét ta có: x1 × x2 =
Vậy m =

-3
-3
=
= 12 Þ x2 = 6
m -1 - 1
4

3
và nghiệm còn lại là x2 = 6 .
4

Dạng 2: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức chứa hai nghiệm của phương
trình.
Phương pháp:
- Bước 1: Chứng minh phương trình có nghiệm.
- Bước 2: Tính tổng tích hai nghiệm theo định lí Vi-ét.
- Bước 3: Biến đổi biểu thức chứa hai nghiệm của phương trình thành biểu thức chứa tổng và
tích hai nghiệm.
Trang 10

- Bước 4: Thay tổng tích hai nghiệm ở bước 2 vào biểu thức ở bước 3 và tính giá trị của biểu
thức.
Ví dụ: Cho phương trình: x 2 + 7 x + 5 = 0(1)
1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
2. Không giải phương trình (1), hãy tính giá trị các biểu thức:
a. A = x12 + x22
b. B = x13 + x23
c. C = x 4 + x24
d. D = x1 - x2
e. E =

3x1 3x2
+
x2
x1

Hướng dẫn giải
1. Có D = 29 > 0 do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 .
ì x1 + x2 = -7
î x1 x2 = 5

2. Theo định lí Vi-ét ta có: í
Do đó

a. A = x12 + x22 = ( x1 + x2 ) - 2 x1 x2 = 49 - 10 = 39
2

b. x13 + x23 = ( x1 + x2 ) - 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = -343 - 15 × (-7) = -238
3

c. C = x14 + x24 = ( x12 + x22 ) - 2 x12 x22 = 392 - 2.25 = 1471
2

d. ( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - 4 x1 x2 = 49 - 20 = 29
2

2

Nên D = x1 - x2 = 29

(

)

2
2
3x1 3x2 3 x1 + x2
3.39 117
+
=
=
=
e. E =
x2
x1
x1 x2
5
5

Bài tập vận dụng dạng 1 và dạng 2 :
Bài 1: Cho phương trình: x 2 + 7 x - 3 = 0 (1)
a. Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm x1 , x2 .
b. Không giải phương trình (1). Tính giá trị các biểu thức sau:
2

æx ö æx ö
A = x + x ; B = x + x ; C = ( 3x1 - x2 )( 3x2 - x1 ) ; D = ç 1 ÷ + ç 2 ÷
è x2 ø è x1 ø
2
1

2
2

3
1

2

3
2

Hướng dẫn giải
a. Phương trình (1) có x1. x2 = -3 < 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu x1 , x2 .
ì x1 + x2 = -7
î x1. x2 = -3

b. Theo định lí Vi-ét: í

Khi đó: A = x12 + x22 = 55
B = x13 + x23 = -406
C = ( 3 x1 - x2 )( 3 x2 - x1 ) = -195
2

2

æ x ö æ x ö 3007
D = ç 1 ÷ +ç 2 ÷ =
9
è x2 ø è x1 ø

Trang 11

Bài 2: Cho phương trình x 2 + 3x - 5 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 . Không giải phương trình
hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
A=

1 1
1 1
+ ; B = x12 + x22 ; C = 2 + 2 ; D = x13 + x23
x2 x2
x2 x2

Hướng dẫn giải:
Do phương trình có 2 nghiệm là x1 và x2 nên theo định li Vi-ét ta có:
x1 + x2 = - 3; x1 × x2 = - 5

A=

1 1 x1 + x2 - 3 1
+ =
=
=
15;
x2 x2
x1.x2
- 5 5

B = x12 + x22 = ( x1 + x2 ) - 2 x1 x2 = (- 3) 2 - 2(- 5) = 3 + 2 5
2

C=

x12 + x22 3 + 2 5 1
=
= (3 + 2 5);
x12 .x22
(- 5 ) 2 5

D = ( x1 + x2 ) ( x12 - x1 x2 + x22 ) = (- 3)[3 + 2 5 - (- 5)] = -(3 3 + 3 15)

Bài 3: Cho phương trình bậc hai x 2 - 2(m - 1) x + m2 = 0 ( x là ẩn số, m là tham số) (1).
3.1. Tìm m để:
a) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
b) Phương trình (1) có một nghiệm là -2 .
2
3.2. Giả sử x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình (1). CMR: ( x1 - x2 ) + 4 ( x1 + x2 ) + 4 = 0 .
Đáp án:
3. 1a. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi
D¢ > 0 Û 1 - 2 m > 0 Û m <

1
2

3.1b. Phương trình (1) có một nghiệm là -2 khi: (-2) 2 - 2(m - 1)(-2) + m2 = 0
ém = 0
Û m 2 + 4m = 0 Û ê 1
.
ë m2 = -4
Vậy khi m = 0 hoặc m = -4 thì pt (1) có một nghiệm là -2 .
ì x + x = 2m - 2
3.2. Áp dụng định lí Vi-ét cho pt (1): í 1 2 2
î x1 x2 = m

Ta có: ( x1 - x2 ) + 4 ( x1 + x2 ) + 4 = ( x1 + x2 ) - 4 x1 x2 + 4 ( x1 + x2 ) + 4
2

2

= (2m - 2) 2 - 4m2 + 4(2m - 2) + 4
= 4 m 2 - 8m + 4 - 4 m 2 + 8m - 8 + 4 = 0

Vậy ( x1 - x2 ) + 4 ( x1 + x2 ) + 4 = 0 .
2

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức
liên hệ giữa hai nghiệm.
1. Đối với biểu thức đối xứng:
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm (2 nghiệm phân biệt)
b
ì
ïï x1 + x2 = - a
- Bước 2: Viết định lí Vi-ét: í
(*)
ïx × x = c
ïî 1 2 a
Trang 12

- Bước 3: Biến đổi hệ thức của đề bài sao cho xuất hiện tổng và tích 2 nghiệm, sau đó thay (*)
vào biểu thức để tìm giá trị của tham số.
- Bước 4: Đối chiếu (kết hợp) điều kiện ở Bước 1 để kết luận.
Ví dụ 1: Cho phương trình bậc hai: x 2 - 2(m + 2) x + m2 + 7 = 0 , ( x là ẩn số, m là tham số) (1).
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1 x2 - 2 ( x1 + x2 ) = 4 .
Hướng dẫn giải:
Xét D¢ = (m + 2)2 - m2 - 7 = 4m - 3
3
4
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2(m + 2) và x1 × x2 = m2 + 7

Phương trình có 2 nghiệm Û D¢ ³ 0 Û 4m - 3 ³ 0 Û m ³
x1 x2 - 2 ( x1 + x2 ) = 4 Û m 2 + 7 - 2 × [2(m + 2)] = 4
Û m 2 - 4m - 1 = 4 Û m 2 - 4 m - 5 = 0
m1 = 5 (Thỏa mãn đk); m2 = -1 (Không thỏa mãn đk)

Vậy m = 5 .
Ví dụ 2: Cho phương trình: x 2 - 2mx + 2m - 1 = 0 ( x là ẩn số, m là tham số).
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt xl và x2 thỏa mãn ( x1 - 2 )( x2 - 2 ) = 9 .
Hướng dẫn giải:
D¢ = (-m) 2 - (2m - 1) = m2 - 2m + 1 = (m - 1)2

PT có 2 nghiệm phân biệt khi D¢ > 0
Û (m - 1) 2 > 0
Û m -1 ¹ 0
Û m ¹1
ì x + x = 2m
Theo định lí Vi-ét ta có: í 1 2
î x1 x2 = 2m - 1

Theo đề bài, có:

( x1 - 2 )( x2 - 2 ) = 9
Û x1 x2 - 2 ( x1 + x2 ) + 4 = 9
Û 2m - 1 - 2.2m = 5
Û -2 m - 1 = 5
Û m = -3 (nhận)

Vậy m = -3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt xl và x2 thỏa mãn ( x1 - 2 )( x2 - 2 ) = 9 .
Ví dụ 3. Cho phương trình: x 2 - (m + 2) x + 2m = 0 ( x là ẩn số, m là tham số) Tìm các giá trị của
m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện x12 + x22 + x1 x2 £ 3 .
Hướng dẫn giải:
Tacó : D = ( m + 2) 2 - 4.2m = m 2 + 4m + 4 - 8m
= m 2 - 4m + 4 = ( m - 2) 2 ³ 0, "m

Þ Phương trình luôn có 2 nghiệm x1 , x2 với mọi m .
ì x1 + x2 = m + 2
(*)
î x1 x2 = 2m

Theo định lí Vi-ét: í

Theo bài có x12 + x22 + x1 x2 £ 3 Û ( x1 + x2 ) - x1 x2 £ 3 (1)
2

Thay (*) vào (1) ta được: (m + 2) 2 - 2m £ 3 Û m2 + 4m + 4 - 2m £ 3 Û m2 + 2m + 1 £ 0
Trang 13

Û (m + 1) 2 £ 0 Û m + 1 = 0 Û m = -1

Vậy với m = -1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện x12 + x22 + x1 x2 £ 3 .
Ví dụ 4. Cho phương trình x 2 - 2 x + m = 0 ( x là ẩn số, m là tham số).
Tìm m phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn

1 1
+
= 2.
x12 x22

Hướng dẫn giải:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi D¢ > 0
Û (-1) 2 - m > 0 Û 1 - m > 0 Û m < 1 .
ì x1 + x2 = 2
î x1 × x2 = m

Theo định lí Vi-ét: í

ì1 1
ï x2 + x2 = 2
2
ïï 1
1 1
+
=
2
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 2
khi í x1 ¹ 0
x1 x22
ïx ¹ 0
ï 2
ïî
ì ( x1 + x2 ) 2 - 2 x1 x2
ì x12 + x22
ì1 1
=2
=2
ï
ï + =2
ï
Û í x12 x22
Û í x12 x22
Ûí
x12 x22
ïx . x ¹ 0
ïm ¹ 0
ï
î 1 2
î
îm ¹ 0
ì 22 - 2m
ém = 1
ì4 - 2m = 2m 2
=2
ï
Ûê
Û í m2
Ûí
ëm = -2
îm ¹ 0
ïm ¹ 0
î

Kết hợp với điều kiện m < 1 , vậy m = -2 .
Ví dụ 5: Cho phương trình: x 2 - (m + 2) x + m = 0 ( x là ẩn số, m là tham số).
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi giá trị của m .
b) Tìm giá trị của m để x1 , x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài
cạnh huyền là 12 .
Hướng dẫn giải:
Xét phương trình x 2 - (m + 2) x + m = 0
Có D = [ -(m + 2)] - 4.1.m = m2 + 4m + 4 - 4m = m2 + 4 > 0, "m
2

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
ì x1 + x2 = m + 2
î x1 x2 = m

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: í

Vì x1 , x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền là 12 .
ì
ï x1 > 0
ï
nên ta có: í x2 > 0
ï 2
2
ï x1 + x2 =
î

( 12 )

2

ì x1 + x2 > 0
ï
Û í x1. x2 > 0
ï
2
î( x1 + x2 ) - 2 x1 x2 = 12

ìm + 2 > 0
ìm + 2 > 0
ìm > -2
ï
ï
ï
Û ím > 0
Û ím > 0
Û m = 2.
Û ím > 0
ï
ï
ï
2
2
î( m + 2) - 2.m = 12
îm + 2m - 8 = 0 îm = 2, m = -4
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Trang 14

Chú ý: Sai lầm thường gặp dạng ví dụ 4, 5 là HS quên không tìm điều kiện cho hai nghiệm khác
0 và lớn hơn 0, không loại nghiệm không thoả mãn điều kiện có nghiệm của phương trình.
2. Đối với các biểu thức không đối xứng:
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm (2 nghiệm phân biệt x1; x2 ).
-b
ì
ïï x1 + x2 = a
-Bước 2: Viết định lí Vi-ét : í
ïx . x = c
1 2
a
îï

-Bước 3: Sử dụng giả thiết đề bài kết hợp với tổng (hoặc tích) của phương trình bậc hai để giải
ra được x1 ; x2 rồi thay x1 ; x2 vào tích (hoặc tổng) còn lại của phương trình bậc hai để tìm m
(tuỳ thuộc vào đặc điểm của từng bài mà có cách giải khác nhau).
- Bước 4: Kết luận.
Ví dụ 1: Cho phương trình: x 2 - 4 x - m2 + 3 = 0(*) ( x là ẩn số, m là tham số) . Tìm giá trị của m
để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x2 = -5 x1 .
Hướng dẫn giải:
Ta có: D = 16 + 4m2 - 12 = 4m2 + 4 > 0, "m nên phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với
mọi m .
ìï x1 + x2 = 4 (1)
2
ïî x1. x2 = - m + 3 ( 2 )

Theo định lí Vi-ét ta có: í

Thay x2 = -5 x1 thay vào (1) ta có: -5 x1 + x1 = 4 Þ x1 = -1, x2 = 5 Lại có:
x1 x2 = -m 2 + 3 Þ - m 2 + 3 = -5 Þ m = ±2 2

Vậy m = ±2 2
Ví dụ 2: Cho phương trình x 2 - 2(m + 1) x + m2 + 1 = 0
Xác định các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn
x1 - 2 x2 = -1 .
Hướng dẫn giải:
Xét phương trinh x 2 - 2(m + 1) x + m2 + 1 = 0 có:
D¢ = [-(m + 1)]2 - 1.(m2 + 1) = m2 + 2m + 1 - m2 - 1 = 2m.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khỉ D¢ > 0 Û 2m > 0 Û m > 0 (1).
Vơi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình, theo định lí Vi-ét, ta có:
ìï x1 + x2 = 2(m + 1) ( 2 )
í
2
ïî x1. x2 = m + 1( 3)

Theo giả thiết, ta có: x1 - 2 x2 = -1 nên kết hợp với (2), ta được:
2m + 3
2m + 3
ì
ì
x2 =
x2 =
ï
ï
ì x1 + x2 = 2( m + 1)
ì x + x = 2m + 2
ï
ï
3
3
Ûí
Ûí
Ûí 1 2
í
î x1 - 2 x2 = -1
î 3 x2 = 2 m + 3
ï x + 2 m + 3 = 2m + 2
ï x = 4m + 3
1
ïî
ïî 1
3
3

Thế vào (3) ta được:
2m + 3 4m + 3
×
= m 2 + 1 Û ( 2m + 3)( 4m + 3) = 9 m 2 + 1 Û 8m 2 + 18m + 9 = 9m 2 + 9
3
3

(

Trang 15

)

ém = 0
Û m2 - 18m = 0 Û m ( m - 18 ) = 0 Û ê
ë m = 18
So sánh với điều kiện (1), ta chọn được m = 18 .
Vậy, với m = 18 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện
x1 - 2 x2 = -1 .

Ví dụ 3: Cho phương trình x 2 - 2(m + 1) x + m2 + 2 = 0 ( x là ẩn số, m là tham số).
Xác định các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều
kiện x12 + 2(m + 1) x2 = 12m + 2 .
Hướng dẫn giải:
Có D¢ = [-(m + 1)]2 - (m2 + 2) = m2 + 2m + 1 - m2 - 2 = 2m - 1 .
1
Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khi D¢ > 0 Û 2m - 1 > 0 Û m > .
2
Khi đó theo định lí Vi-ét
ì x1 + x2 = 2( m + 1)
(*)
í
2
î x1 x2 = m + 2
Thay 2(m + 1) = x1 + x2 vào biểu thức x12 + 2(m + 1) x2 = 12m + 2 ta được

x12 + ( x1 + x2 ) x2 = 12m + 2 Û ( x1 + x2 ) 2 - x1 x2 = 12m + 2 (1).

Thay (*) vào (1) ta được:
4(m + 1) 2 - (m2 + 2) = 12m + 2
Û 3m2 - 4m = 0
é m = 0(ktm)
4
Ûê
Ûm= .
ê m = 4 (tm)
3
3
ë
4
Vậy với m = phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 + 2(m + 1) x2 = 12m + 2.
3

Tổng hợp các bài tập liên quan đến hệ thức Vi-ét trong tuyển sinh 10 tỉnh Long An qua các
năm.
1/ Tìm m để phương trình x 2 - 4 x - m = 0 ( x là ẩn số, m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2
thỏa x1 + x2 = 10 .(TS 10 NH 2011-2012)
2/ Cho phương trình ẩn x 2 - 2 x + m = 0 ( với x là ẩn số, m ¹ 0 là tham số).
Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 thỏa mãn

x1 x2
10
+ =- .
x2 x1
3

(TS 10 NH 2013-2014)
3/ Cho phương trình ẩn x 2 - 2 x + 2m - 1 = 0 ( với x là ẩn số, m là tham số).
Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 thỏa mãn x13 x2 + x1 x23 = -6 .
(TS 10 NH 2014-2015)
4/ Cho phương trình ẩn x 2 - 2mx + m2 - 1 = 0 ( với x là ẩn số, m là tham số).
Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 ...