CHƯƠNG IV: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
BÀI 1: LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VỚI PHÉP CỘNG VÀ PHÉP NHÂN.
I, BẤT ĐẲNG THỨC:
+ Trên tập hợp số thực, với hai số a và b khác nhau ta luôn có:
: số a bằng số b.
: số a lớn hơn số b.
: số a nhỏ hơn số b.
+ Khi hai số a, b bất kì thì ta có thêm 2 TH nữa:
: a lớn hơn hoặc bằng b.
: a nhỏ hơn hoặc bằng b.
Với các hệ thức dạng
Còn

gọi là bất đẳng thức. Khi đó a gọi là vế trái, b gọi là vế phải.

gọi là các BĐT suy rộng.

II, LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG:

đã cho:

+ Khi cộng ( trừ) một số và cả hai vế của một BĐT thì ta được một BĐT mới cùng chiếu với BĐT
.

III, LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN:
+ Khi nhân cả hai vế của một BĐT với cùng một số dương thì ta được một BĐT mới cùng chiếu với
BĐT đã cho:
.
+ Khi nhân cả hai vế của một BĐT với cùng một số âm thì ta được một BĐT mới ngược chiều với
BĐT đã cho:
.
IV, TÍNH CHẤT BẮC CẦU:
+ Với ba số a, b, c nếu:

và

thì

.

+ Các tính chất trên đều đúng cho các BĐT suy rộng:
V, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Cho
a,

.

, hãy so sánh:
với

.

b,

với

.

c,

với

.
1

a,

với

.

b,

a,

với

.

b,

a,

với

.

b,

với

.

với
với

.
.

c,

với

.

c,

với

.

c,

với

.

2

Bài 2: Cho
a,
a,
a,
a,

hãy so sánh:
với

.

với

b,
.

với

b,
.

với

với
với

b,
.

.

c,
.

với

.

b,

với

.

.

với

.

c,

với

.

c,

với

.

c,

với

c,

.

c,

.

.

Bài 3: So sánh a và b nếu:
a,

.

b,

a,

.

b,

a,
a,
Bài 4: Cho
Bài 5: Cho

.

b,
.

. Chứng minh rằng:
. Chứng minh rằng:

Bài 7: Cho

. Chứng minh rằng:

.

b,

. Chứng minh rằng:

Bài 6: Cho

Bài 8: Cho

. Chứng minh rằng:

Bài 9: Cho

. Chứng minh rằng:

Bài 10: Cho

.

. Chứng minh rằng:

.

c,

.

c,

.

.
.
.
.
.
.
.

3

BÀI 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
I, TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH:
+ Tập hợp tất cả các nghiệm của một BPT gọi là tập nghiệm cảu BPT đó.
+ Việc giải BPT là đi tìm tập nghiệm cảu BPT đó.
+ Biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
VD:
Với tập nghiệm:

:

(

-2

Với tập nghiệm:

0

:

0

]

1

II, BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG:
+ Hai BPT có cùng tập nghiệm gọi là hai BPT tương đương và dùng kí hiệu:

.

VD:
.
III, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN:
+ Bất phương trình dạng:
đã cho với

hoặc

trong đó a, b là các số

gọi là BPT bậc nhất một ẩn.

VD: Các BPT bậc nhất một ẩn:
a,

.

a,

.

c,

.

d,

+ Quy tắc chuyển vế:
Khi chuyển một hạng tử của BPT từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó:
.
+ Quy tắc nhân ( Chia) với một số:
Khi nhân hai vế của một BPT với cùng một số khác 0 thì:
Giữ nguyên chiều BĐT nếu số đó dương.
Đổi chiều BĐT nếu số đó âm.
IV, BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG

hoặc

.

4

+ Bằng các phép tính và sử dụng các quy tắc, ta có thể biến đổi các BPT về dạng BPT cơ bản để giải
BPT đó:
VD: Giải bất phương trình sau:

.

Ta có:

.

Vậy nghiệm của BPT là:

.

V, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

b,

.

c,

a,

.

.

Bài 2: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a,
a,
a,
a,
a,
a,
a,

.

b,
.
.
.

.

b,

.

b,

.

b,
.

.

b,
.

.
b,

.

b,

.
.
5

Bài 3: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a,

.

a,

b,
.

a,

b,
.

a,

.

a,

.

.

.

b,

.

b,

.

b,

.

Bài 4: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

Bài 5: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

Bài 6: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a,

.

b,

.
6

a,

.

a,

.

b,

.

b,

.

Bài 7: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a,

.

a,

.

Bài 8: Kiểm tra xem

có là nghiệm của BPT sau hay không?

a,

.

b,

.

7

Bài 9: Xét xem
a,
b,
Bài 10: Xét xem

có là nghiệm của BPT sau hay không?
.
.
có là nghiệm của BPT sau hay không?

a,
b,
Bài 11: Tìm m để

.
là nghiệm của BPT sau:

a,

.

b,

Bài 12: Tìm m để

.

là nghiệm của BPT:

.

Bài 13: Tìm giá trị nguyên của x để x là nghiệm đúng của cả hai BPT sau:
và
Bài 14: Tìm m để hai BPT sau có cùng tập nghiệm:

Bài 15: Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn:

.
và

.

. Chứng minh

8

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.
I, NHẮC LẠI VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
+ Giá trị tuyệt đối của một số a là khoảng cách từ số a đến số 0 trên trục số. Kí hiệu:

.

Ta có:
.
VD: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức sau:
a,

.

b,

.

II, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
+ Sừ dụng định nghĩa chia các TH để giải PT chứa dấu giá trị tuyệt đối.
+ Sử dụng tính chất về GTTĐ để giải quyết các PT.

. Dấu

xảy ra khi:

( a và b cùng dấu).

. Dấu

xảy ra khi:

( a và b trái dấu).

. Dấu

xảy ra khi:

( a và b cùng dấu).

III, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức sau:
a,

.

b,

với

.

a,

.

b,

với

.

a,

.

b,

a,

.

b,

với

.

a,

.

b,

với

.

a,

.

b,

với

.

a,

.

b,

với

.

a,

.

b,

với

.

với

.

9

a,
a,

.

b,
.

b,

với
với

.
.

10

DẠNG 1: Phương trình dạng

.

Phương pháp:

Cách 1:
Cách 2: Sử dụng pp chia khoảng:

.

Bài 1: Giải các phương trình sau:
a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

.

Bài 2: Giải các phương trình sau:
a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

.

c,

.

.

c,

.

.

c,

.

c,

.

.

11

a,
a,

.
.

b,

.

c,

.

b,

.

c,

.

12

Bài 3: Giải các phương trình sau:
a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

DẠNG 2: Phương trình dạng

.

Phương pháp:

Cách 1:
Cách 2: Sử dụng pp chia khoảng:

.

Bài 1: Giải các phương trình sau:
a,

.

b,

.

c,

a,

.

b,

.

c,

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

c,

.

.

.
.

Bài 2: Giải các phương trình sau:
a,

.

b,

.

c,

.

13

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

b,

.

c,

.

a,

.

Bài 3: Giải các phương trình sau:
a,

.

b,

a,

.

b,

.

c,

.

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

14