CHƯƠNG I: NHÂN, CHIA ĐA THỨC
BÀI 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC:
I, QUY TẮC:
“ Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức
rồi cộng các tích”.
Tổng quát:
+
II, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Làm tính nhân:

hoặc

.

1)

a,

.

b,

.1

2)

a,

.

b,

.

3)

a,

.

b,

4)

a,

5)

a,

6)

a,

7)

a,

.
.
.

8)
a,
Bài 2: Làm tính nhân:
1)

a,

2)

a,

3)

a,

4)

a,

b,

.

b,

.

b,

.

.

b,

.

b,

.
.
.

.

b,

.

b,

.
.

b,
.

.

b,

1)

a,

.

b,

2)

a,

.

b,

3)

a,

.

.

b,
.

5)
a,
Bài 3: Làm tính nhân:

.

b,

.
.
.

1

4)

a,

.

b,

.

5)
a,
.
b,
Bài 4: Thực hiện phép tính rồi tính giá trị của biểu thức:

.

1)

a,

tại

.

2)

a,

tại

.

3)

a,

tại

.

4)

a,

5)

a,

6)

a,

tại

.

7)

a,

tại

.

8)

a,

tại

tại

.
tại

.

.

9)
a,
tại
Bài 5: Thực hiện phép tính rồi tính giá trị của biểu thức:
1)

a,

tại

.

2)

a,

tại

.

3)

a,

tại

.

4)

a,

tại

.

5)

a,

tại

6)

a,

tại

7)
a,
Bài 6: Tìm x biết:

.

.
.
tại

.

1)

a,

.

b,

.

2)

a,

.

b,

.

3)

a,

.

b,

.

4)

a,

.

b,

.
2

5)

a,

.

b,

.

6)
a,
. b,
Bài 7: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến.
1)

a,

2)

a,

3)

a,

4)

a,

5)

a,

6)

a,

7)

a,

8)

a,

.

.
.
.
.
.
.
.
.

Bài 8: Cho
a, Rút gọn A.

.

b, Tìm các cặp x, y để

,

.

Bài 9: Cho
a, Rút gọn A.

.

b, Tìm x để
.
c, Tìm GTNN của A.
Bài 10: Cho biểu thức:
a, Rút gọn A.
b, Tính A khi
c, Tìm x khi

.
.
.
BÀI 2: NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC:

I, QUY TẮC:
+ “ Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử
của đa thức kia rồi cộng các tích “.
Tổng quát:
+
II, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Làm tính nhân:

.

3

1)

a,

2)

a,

3)

.

b,

.

.

b,

.

a,

.

b,

.

4)

a,

.

b,

.

5)

a,

.

b,

.

6)

a,

.

b,

.

7)

a,

.

b,

.

8)

a,

.

b,

.

9)
a,
Bài 2: Làm tính nhân:

.

b,

.

1)

a,

.

b,

.

2)

a,

b,

.

3)

a,

4)

a,

5)

a,

.
.

6)
a,
Bài 3: Thực hiện phép tính:

b,

.

.

b,

.

.

b,

.

b,

.

.

1)

a,

.

b,

2)

a,

.

b,

.
.

3)
a,
.
b,
.
Bài 4: Chứng minh rằng: Giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:
1)
2)

.
.
4

3)

.

4)

.

4)

.

6)

.

7)

.

8)

.

9)

.

10
Bài 5: Tìm x biết:
a,
b,

.
.
.

c,

.

d,

.

e,

.

f,

.

g,

.

h,

.

i,

.

j,

.

k,

.

m,

.

n,

.

p,
Bài 6: Tính giá trị của biểu thức:
a,

.
tại

.

b,

tại

c,

tại

.
.
5

d,
Bài 7: Chứng minh rằng:
a,

tại

.

b,
c,
d,

.

.
.
.

e,
Bài 8: Chứng minh rằng:

.

a,

.

b,

.

c,
d,
e,
f,
g,

.
.
.
.
.

h,
.
Bài 9: Cho a và b là hai số tự nhiên. Biết a chia cho 3 dư 1, b chia 3 dư 2.
Chứng minh rằng:
chia 3 dư 2.
Bài 10: Cho a, b là hai số tự nhiên, biết a chia 5 dư 1, b chia 5 dư 2.
Hỏi
chia 5 dư bao nhiêu?
Bài 11: Tìm 3 số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số trước là 192.

6

BÀI 3: HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
I, BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG:
+ Với a và b là hai biểu thức tùy ý, ta có:
+

.

.

VD: Triển khai theo HĐT:
VD: Thu gọn:

.
.

II, BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT HIỆU:
+ Với a và b là hai biểu thức tùy ý, ta có:
+

.

.

VD: Triển khai theo HĐT:
VD: Thu gọn:

.
.

III, HIỆU HAI BÌNH PHƯƠNG:
+ Với a và b là hai biểu thức tùy ý ta có:
+

.

.

VD: Triển khai theo HĐT:
VD: Thu gọn:
.
IV, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Triển khai các biểu thức sau theo hằng đẳng thức:
1)

a,

.

b,

.

c,

2)

a,

.

b,

.

c,

3)

a,

.

b,

.

c,

4)

a,

.

b,

.

c,

.

5)

a,

.

b,

.

c,

.

c,

.

6)
a,
.
b,
.
Bài 2: Viết lại các đa thức thành vế kia hằng đẳng thức:

.
.
.

a,

.

b,

.

c,

.

c,

a,

.

b,

.

c,

.

c,

.
.
7

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

a,

.

a,

.

a,

.

a,
Bài 3: Thu gọn về HĐT:

.

a,

c,

.

c,

.

.

c,

.

c,

.

b,

.

c,

.

c,

.

b,

.

c,

.

c,

.

b,

.

c,

.

c,

.

b,

.

c,

.

c,

b,

.

c,

.

c,

.
.

.

b,
Bài 4: Thực hiện phép tính:

.

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

.

a,
.
Bài 5: Thực hiện phép tính:

.

c,

.

c,

.

.

c,

.

b,

.

c,

b,

.

c,

.

.
.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

a,
Bài 6: Tìm x biết:
a,

.

.

b,

.

b,

.

b,

.
8

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

.

a,
Bài 7: Tìm x biết:

.

b,

.

a,

.

a,

.

.
.
.

b,

.

b,

.
.

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

.
.
.

BÀI 4: HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ ( TIẾP)
I, LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG:
+ Với a và b là hai biểu thức tùy ý ta có:
+

.

,

VD: Triển khai theo HĐT:

.

VD: Thu gọn:

.

II, LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT HIỆU:
+ Với a và b là hai biểu thức tùy ý ta có:
+

.

VD: Triển khai theo HĐT:
VD: Thu gọn:

.

.
.

III, TỔNG HAI LẬP PHƯƠNG:
+ Với a và b là hai biểu thức tùy ý ta có:
+

.

.
9

VD: Triển khai theo HĐT:

.

VD: Thu gọn:

.

IV, HIỆU HAI LẬP PHƯƠNG:
+ Với a và b là hai biểu thức tùy ý ta có:
+

.

.

VD: Triển khai theo HĐT:
VD: Thu gọn:
.
V, BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Viết thành vế kia của hằng đẳng thức:
a,

.

b,

a,

.

b,

.
.

a,
.
b,
Bài 2: Viết thành vế kia của hằng đẳng thức:

.

c,

.

c,

.

c,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

.

b,

.

.

b,

.

a,
a,
Bài 3: Thực hiện phép tính:
a,

.

a,

.

a,

.

a,

.

a,

.

a,
Bài 4: Tìm x biết:
a,
a,

.

.
.

b,

.

b,

.
10

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,
.
Bài 5: Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a,

b,

.

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,
.
Bài 6: Chứng minh rằng:

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

.
.
.

b,

.
.

a,

.

b,

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

.

b,

.

.

b,

a,
Bài 7: Chứng minh rằng:
a,
a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

BÀI 5: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I, KHÁI NIỆM:
+ Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích các đa thức có bậc nhỏ hơn.
VD:
+
là việc phân tích đa thức A thành hai nhân tử.
II, PHÂN TÍCH BẰNG PP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG:
+ Nếu các hạng tử của đa thức đều có một nhân tử chung, thì ta có thể phân tích bằng PP này.
VD: Phân tích đa thức:

.
11

+ Thấy

.

Chú ý:
+ Đôi khi ta phải đổi dấu các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung:
.
VD: Phân tích đa thức:

.

Thấy:

hoặc ngược lại

.

Khi đó:
.
III, PHÂN TÍCH BẰNG PP DÙNG HẲNG ĐẲNG THỨC:
+ Nếu các hạng tử của đa thức là thành phần của một HĐT thì ta sử dụng PP này.
VD: Phân tích đa thức:

.

+ Ta thấy
.
IV, PHÂN TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ:
+ Nếu đa thức có các hạng tử đơn lẻ khi kết hợp với nhau có thể tạo ra nhân tử chung thì ta sủ dụng
PP này.
VD: Phân tích đa thức:

.

+ Thấy
.
Nhận xét:
+ Đối với 1 đa thức, ta có thể linh hoạt vận dụng các PP ở trên để phân tích thành nhân tử.
V. BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a,
a,
a,

.

b,
.
.

.

c,

.
.

b,

.

c,

b,

.

c,

.

.

c,

.

a,

.

b,

a,

.

b,

.

c,

.

a,
.
b,
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:

.

c,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.
12

a,

.

b,

a,
.
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:

.

b,

.

a,

.

b,

.

c,

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

c,

.

a,
.
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a,

.

b,

.

.

a,

c,

.

b,
.

a,

.

.

b,
.

.

b,

.
.

a,

.

b,

a,

.

b,

.

b,

.

a,
.
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a,

.

b,

.

c,

.
.

a,

.

b,

.

c,

a,

.

b,

.

c,

a,

.

b,

.

c,

a,

.

b,

.

c,

.

b,

.

c,

.

c,

.

c,

.

c,

.

a,

.

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,
.
b,
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử:

.
.
.
.

c,

.
.

.

13

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

b,

.
.

a,

.

a,

.

b,

a,

.

b,

.

b,

.

a,
.
Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a,
a,
a,
a,

.

b,

.
.
.

.

.

b,

.

c,

.

b,

.

c,

.

c,

.

b,

.

a,
b,
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a,

c,

.

.

b,

c,

.
.

a,

.

b,

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

a,

.

a,
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a,

.

.

.

.

b,

.

b,

.

b,

.
14

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,

.

b,

.

a,
.
b,
Bài 10*: Phân tích đa thức thành nhân tử ( Đa thức bậc 2 một ẩn):

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

.

c,

a,
.
b,
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a,

.

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.
.

a,
a,

.
.

b,

.

c,

b,

.

c,

.

c,

.

a,
.
b,
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử:

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.
15

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

a,

.

b,

.

c,

a,

.

b,

.

c,

.

c,

a,
.
b,
Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a,

.

.
.
.
.

b,

.

c,

.
.

a,

.

b,

.

c,

a,

.

b,

.

c,

a,

.

b,

.

c,

.

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,
.
b,
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a,
a,

.

.
b,

.

b,

c,

.

.
.

a,

.

b,

a,

.

b,

.

b,

.
.

a,

.

.

a,

.

b,

a,

.

b,

.

b,

.

b,

.

a,
a,
a,

.
.
.

b,

.
16

Bài 15: Tìm x biết:
a,

.

b,

.

c,

a,

.

b,

.

c,

.

c,

.
.

a,

.

b,

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

a,

.

b,

.

c,

.

b,

.

c,

a,
Bài 16: Tìm x biết:

.

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

.

b,

a,
Bài 17: Tìm x biết:
a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

b,

a,

.

a,
.
Bài 18: Tính giá trị của biểu thức:
a,

tại

.

c,
.

.

.

.

c,

.

.

c,

.

b,

.

c,

.

b,

.

c,

.

.
17

a,

tại

.

a,

tại

a,

tại

a,

tại

.
.
.

a,

tại

a,

tại

.
.

Bài 19: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức:
a,

tại

.

b,

tại

.

c,
.
Bài 20: Chứng minh rằng ( Dành cho HSG):
a,
a,
a,

.
.
.

a,

.

a,

.

a,

.

a,

.

a,

.

a,

.

a,
a,

.
chia cho 8 dư 1,

a,

và n là số lẻ.

a,

và n là số lẻ.

.

18

Bài 21: Tính giá trị của biểu thức:
Bài 22: Cho

với

.

. Tính giá trị biểu thức

.

Bài 23: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

tại

.

BÀI 6: CHIA ĐA THỨC .
I, CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC:
Quy tắc:
“ Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B ta làm như sau:
+ B1: Lấy hệ số chia cho hệ số.
+ B2: Chia lũy thừa từng biến trong A cho lũy thừa từng biến trong B.
Chú ý:
m và n là hai số nguyên sao cho
+

khi đó:

.

+
.
II, CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC:
Quy tắc:
“ Muốn chia đa thức A cho đơn thức B ta chia mỗi hạng tử của đa thức A cho đơn thức B”
VD: Làm phép tính:
A,
.
VD: Làm phép tính:

B,

c,

.

D,

.

A,
A,
III, CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP:
+ Để chia đa thức một biến cho một đa thức một biến đẵ sắp xếp ta hạ phép chia bình thường:

Chú ý:
+ Bậc của một đa thức dư luôn nhỏ hơn bậc của đa thức chia.
III, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Làm phép tính:
1. a,
2. a,

.
.

b,
b,

.
.

c,

.

c,

.
19

3. a,
Bài 2: Làm phép tính:

.

b,

1. a,

.

.

c,

.

b,

2. a,

.

.

b,

3. a,

.

4. a,
Bài 3: Làm phép tính:

.

1. a,

.

2. a,
3. a,

.

4. a,

b,

.

b,

.

b,
.

.

.

.

b,

.

b,

.

b,

.

5. a,

.

b,

.

6. a,

.

b,

.

b,

.

7. a,
Bài 4: Làm phép tính:
a,
b,

.

.
.

c,

.

d,

.

e,

.

f,

.

g,
Bài 5: Thực hiện phép tính:

.

1. a,

.

b,

2. a,

.

b,

.
.
20

3. a,

.

4. a,
Bài 6: Thực hiện phép tính:

b,
.

b,

1. a,

.

b,

2. a,

.

b,

3. a,

.

b,

4. a,
Bài 7: Tìm hệ số a để đa thức
1. a,

.

.

.

.
.
.

b,

.

.

b,

2. a,

.

b,

.

3. a,

.

b,

.

4. a,

.

b,

.

5. a,

.

b,

.

6. a,

.

b,

7. a,

.

b,

Bài 8: Tìm giá trị nguyên của n để giá trị của:
Bài 9: Tìm số nguyên a để:

.
.

chia hết cho giá trị của biểu thức

chia hết cho đa thức

.

Bài 10: Với giá trị nào của a và b thì đa thức:

chia hết cho đa thức

Bài 11: Cho biểu thức:

và

a, Thu gọn biểu thức a và B với
b, Tính giá trị của biểu thức A tại
c, Biết

.

.

.
.

. Chứng minh C luôn âm với mọi giá trị của

.

21