TÍCH CỦA VECTOR VỚI MỘT SỐ

Dạng 1: Biểu diễn một vector theo hai vecto không cùng phương

PP: Sử dụng các quy tắc ba diểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc trừ. Tìm mối liên hệ giữa các vector.
Bài 1. Cho tam giác ABC, điểm M nằm trên cạnh BC sao cho
. Phân tích vector
theo hai vector
.
Bài 2. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Phân tích các vector
theo hai vector
.
Bài 3. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NA=3NC. Gọi K là trung điểm MN. Phân tích vector
theo
.
Bài 4: Cho
ABC.Lấy các điểm M,N,P sao cho
=3
,
+3
=
;
+
=
.
a. Biểu diễn các vectơ
,
,
theo các vectơ
và

b. Biểu diễn các vectơ
,
theo các vectơ
và

c. CMR:M,N,P thẳng hàng.
Bài 5: Cho tam giác ABC .Gọi I là điểm trên BC kéo dài và IB = 3IC .
a. Tính vectơ
theo các vectơ
và

b. Lấy J,K lần lượt trên cạnh AC,AB sao cho JA= 2JC,KB=3KA. Tính
theo
và

c. Tính
theo
và

Bài 6: Cho tam giác ABC.Gọi I,J là hai điểm xác định bởi
= 2
, 3
+2
=

a. Tính
theo
và
. b. CMR:
=

-


c. Đường thẳng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vector
PP: + Sử dụng các quy tắc ba điểm, hbh, trừ.
+ Sử dụng bài toán phân tích một vector theo 2 vector
+ Sử dụng tính chất ba điểm thẳng hàng, trung điểm, trọng tâm.
Bài 7: ( Hệ thức trung điểm) Cho 2 điểm A và B.
Cho M là trung điểm AB. CMR với điểm I bất kì :

Với N sao cho
. CMR với I bất kì :

Với P sao cho
. CMR với I bất kì :

Bài 8: ( Hệ thức trọng tâm) Cho tam giác ABC có trọng tâm G:
CMR:
. Với I bất kì :
.
M thuộc đoạn AG và MG =
GA . CMR

Cho tam giác DEF có trọng tâm là G’ CMR:
+
.
+ Tìm điều kiện để 2 tam giác có cùng trọng tâm.


Bài 9. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N là trung điểm của AD và BC. O là trung điểm của MN. Chứng minh các đẳng thức sau:
a.

b.
,

c.

d.
với I là một điểm bất kì.
Bài 10: Cho tam giác ABC .Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng với B qua G
a. CMR:
=

-

;
=-

-


b. Gọi M là trung điểm của BC .CMR:
=

-



Bài 11. Cho tam giác ABC, AM, BN, CP là các trung tuyến. D, E, F là trung điểm của AM, BN và CP. Chứng tỏ rằng:
với O là một điểm bất kì.
Bài 12. Chứng minh rằng
là điều kiện cần và đủ để hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm.
Bài 13. Cho M, N, P, Q. R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA của lục giác ABCDEF. Chứng minh rằng các tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Bài 14. Cho tam giác ABC đều tâm O, M là một điểm nằm trong tam giác. Chứng minh
với H, K, L thứ tự là hình chiếu của M trên AB, BC và CA.

Bài 15. Cho tam giác ABC, BC = a, AC = b, AB = c. I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh

Bài 16. Cho tam giác ABC, gọi M là một điểm bất kì thuộc miền trong của tam giácABC. CMR:

.


Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng
PP: Sử dụng tính chất vector: ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng

Bài 17. Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC.
Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng.
Gọi E, F thoả mãn :
,
. CMR : A, E, F thẳng hàng