SỬ DỤNG KHAI TRIỂN NEWTON VÀ CẤP SỐ NHÂN ĐỂ TÍNH TỔNG

I. Các bước chuẩn bị

1a) Hệ số (HS) chứa x0 trong
bằng HS x1 trong f(x), HS x0 trong
bằng 2! lần HS x2 trong f(x),…, HS x0 trong
bằng k! lần HS xk trong f(x).
b) Hệ số (HS) chứa x1 trong
bằng 2! Lần HS x2 trong f(x), HS x1 trong
bằng 3! lần HS x3 trong f(x),…, HS x1 trong
bằng (k + 1)! lần HS xk+1 trong f(x).

2) Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân với công bội q khác 1 là:

.
Đặt tổng
với
.
Với
, xét hàm số:

(1).
Áp dụng công thức cấp số nhân ta có:


Suy ra hệ số số hạng chứa xk sau khi rút gọn của f(x) là
.

II. Tính tổng

1) Cân bằng hệ số số hạng chứa x1 trong hai vế của (1), ta được:
S1 =



2) Đạo hàm hai vế (1), rồi nhân với (1 + x), ta được:

(2).
Hệ số x1 trong vế trái là S2, trong vế phải bằng tổng hệ số x1 và x0 của
, ta được:



Đặt
.
3) Đạo hàm hai vế (2), rồi nhân với (1 + x), ta được:



(3).
Tương tự, cân bằng hệ số số hạng chứa x1 trong hai vế của (3), ta được:



Đặt
(bậc của
> 1 ta bỏ).
4) Đạo hàm hai vế (3), rồi nhân với (1 + x), ta được:



(4).
Tương tự, cân bằng hệ số số hạng chứa x1 trong hai vế của (4), ta được:



Đặt
(bậc của P4(x) > 1 ta bỏ).

Đến đây tôi thấy quá phức tạp và không có quy luật, nhưng đã lỡ làm nên cũng đưa lên cho mọi người đọc đỡ buồn vậy.