Tiết 16-17: tích vô hướng của hai vectơ

A. Mục tiêu:
1. Kiến thức:
- Hiểu ĐN góc giữa hai vectơ .
- Biết ĐN tích vô hướng của hai véctơ và các tính chất của nó.
- Biết được biểu thức tọa độ của tích vô hướng.
- Làm được một số ví dụ áp dụng đơn giản.
2. Kĩ năng:
- Xác định góc giữa hai vectơ .
- Tính được tích vô hướng của hai vectơ bằng 2 cách: ĐN và biểu thức tọa độ.
- Tính được độ dài của một vectơ khi biết tọa độ của nó.
3. Tư duy: Thực hiện thành thạo các bước tính toán giá trị của một biểu thức tích vô hướng , chứng minh một đẳng thức về tích vô hướng .
4. Thái độ: Cẩn thận, chính xác, biết ứng dụng của tích vô hướng.
B. Chuẩn bị:
GV: Hệ thống câu hỏi và bài tập.
HS: Các phép toán thông thường. Các kiến thức về tọa độ vectơ và của điểm.
C. Phương pháp:
Cơ bản dùng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua các hoạt động.
D. Tiến trình bài dạy:
*) ổn định lớp, kiểm tra sĩ số:
*) Bài mới:
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS


1. Góc giữa hai véctơ :

Hoạt động 1: Tìm hiểu k/n góc giữa hai véctơ .











CH:
- Nhận xét về độ lớn của
?
- Nhận xét về
khi 2 véctơ cùng hướng, ngược hướng?


- Cho
=
. Hãy tính các góc:

,
,
?
*) ĐN: (SGK-Tr44):


- Nếu
:
- Nếu
:
- Kí hiệu:

- Nếu
=900:
.
- Nhận xét
khi 2 véctơ cùng hướng, ngược hướng?


Củng cố: HD thực hiện H1(SGK-Tr 44)
- Thực hiện H1: dựa vào ĐN và các nhận xét trên?


2. Định nghĩa tích vô hướng của hai véctơ :

Hoạt động 2: Tìm hiểu ĐN tích vô hướng của hai véctơ :






- Hãy phát biểu bằng lời ĐN trên?

- Hãy tìm công thức bình phương vô hướng theo ĐN?
- ĐN: Tích vô hướng của hai véctơ
là một số, kí hiệu là
được xác định bởi:




-ĐN: Tích vô hướng của
với chính nó được gọi là bình phương vô hướng của
, kí hiệu

Như vậy :




Hoạt động 3: Củng cố ĐN.


HD thực hiện Ví dụ 1(SGK-Tr45)
Chú ý sử dụng các t/c và các điều đã biết về tam giác đều.


- Thực hiện ví dụ 1(SGK-Tr 45): Cho tam giác ABC đều có cạnh a và trọng tâm G. Tính các tích vô hướng sau đây:



.


3- Tính chất của tích vô hướng:




- CH: So sánh với t/c của các số?


Củng cố: Thực hiện H2(SGK-T47)
Trả lời câu hỏi: Với hai véctơ
bất kì, đẳng thức
có đúng không? Vì sao?
-Định lí: (SGK-Tr47)
- Dùng t/c tích vô hướng ta có thể chứng minh được các hệ thức sau:








Tiết 17


4- Một số áp dụng của tích vô hướng:


a) HD: Sử dụng t/c của tích vô hướng:
.
Hãy chứng minh:
AB2+CD2-BC2-AD2=
.
b) HD: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc

HD HS ghi nhớ ý nghĩa bằng lời.
Bài toán 1: Cho tứ giác ABCD.
a) Chứng minh rằng:


b) Chứng minh một điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là tỏng bình phương các cặp cạnh đối diện bằng nhau.

-HD: Xét 2 trường hợp:
+)
:


+)
:




Bài toán 2: (HS tự tìm hiểu)
Bài toán 3: ( Công thức hình chiếu)
Cho hai vectơ
. Gọi B` là hình chiếu của B trên đường thửng OA. Chứng minh rằng:

(Công thức hình chiếu)










HD: Vẽ đường kính BC. Sử dụng công thức hình chiếu để c/m công thức trên.








- Củng cố: Xét xem khi nào thì P M/(O) <0, P M/(O) >0, P M/(O)=0 ?
Bài toán 4: ( Phương tích của một điểm đối với một đường tròn):
Cho một đường tròn (O; R) và điểm M cố định. Một đường thẳng
thay đổi luôn đi qua M, cắt đường tròn đó tại hai điểm A, B. Chứng minh rằng:




Chú ý:
+) Giá trị không đổi
gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) và kí hiệu P M/(O).
+) Khi M nằm ngoài đường tròn (O), MT là tiếp tuyến của (O) ( T là tiếp điểm) thì:
P M/(O) =
=
.













_ HD chứng minh bằng đ/n tích vô hướng.









- Gợi ý: Điểm P(p;0).
- áp dụng công thức tính côsin của góc.
5. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:
Định lí: Cho hai vectơ
;
.
Khi đó:
*

*

*

(
)
*

Hệ quả: Trong mặt phảng tọa độ, khoảng cách giữa hai điểm
là:


AB=



Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ , cho 2 điểm
M(-2;2) và N(4;1).
a) Tìm trên trục Ox điểm P cách đều hai điểm M, N?
b) Tính côsin góc
.


-Củng cố, HD công việc về nhà.
- Làm bài tập 4-14(SGK-Tr51,52).






Tiết 18: bài tập
A. Mục tiêu:
1. Kiến thức: Củng cố kiến thức lí thuyết trong bài.
2. Kĩ năng:
- Xác định góc giữa hai vectơ .
- C/m các đẳng thức vectơ có tích vô hướng.
- Dùng biểu thức tọa độ của tích vô hướng để giải một số bài tập hình học.
3. Tư duy:
- Bồi dưỡng và phát triển tư duy lôgic.
4. Thái độ:
- Rèn luyện tính chính xác, cẩn thận.
B. Chuẩn bị:
GV: Hệ thống câu hỏi và bài tập.
HS: Chuẩn bị bài tập ở nhà.
C. Phương pháp:
Cơ bản dùng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua các hoạt động.
D. Tiến trình bài dạy:
*) ổn định lớp, kiểm tra sĩ số:
*) Bài mới:
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS

Hoạt động 1: Xác định góc giữa hai véctơ .




HD:

= (1800 - B)+(1800 - C)+(1800 - A)
=5400 - 1800 =3600.



HD: Sử dụng t/c:




Bài 5: Cho tam giác ABC. Tổng

có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau: 900, 1800, 2700, 3600.


Bài 6. Cho tam giác ABC vuông ở A và góc B = 300. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)

b)
.
ĐS: a)
. b)


Hoạt động 2: Chứng minh các đẳng thức vectơ có chứa tích vô hướng.



- Gọi 1 HS lên bảng.
- Đưa ra lời giải ngắn gọn:
Sử dụng phân tích:






rồi biến đôi vế trái.



Bài 7: Cho 4 điểm bất lì A, B, C, D. Chứng minh rằng:


Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: " Ba đường cao của tam giác ABC đồng quy".

Giải:

- Hệ quả:
Nếu
thì

Nói cách khác :
Nếu
thì
.
Điều đó chứng tỏ nếu hai đường cao kẻ từ A và B cắt nhau tại D thì CD cũng là đường cao của tam giác đó. Hay nói cách khác, ba đường cao cuat tam giác đồng quy tại một điểm.



HD: Chứng minh:

.
- Chú ý chỉnh sửa cách trình bày bài tập chứng minh điều kiện cần và đủ.



HD: áp dụng t/c trung điểm của đoạn thẳng:



…..
rồi biến đổi vế trái.
Bài 8: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là:





Bài 9: Cho tam giác ABC với 3 đường trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng:









- Gọi 1 HS lên bảng trình bày.
- HD:
a) áp dụng trực tiếp công thức hình chiếu.
b) áp dụng kết quả câu a.
Bài 10: Cho hai điểm M, N nằm trên đường tròn đường kính AB=2R. Gọi
.
a) Chứng minh:



b) Tính
theo R.








HD: Gọi H là hình chiếu của M trên OB. Hãy chứng minh H cố định?
Bài 12: Cho đoạn thẳng AB cố định, AB=2a và một số k2. Tìm tập hợp các điểm M sao cho
MA2 - MB2 = k2.
Giải:
Gọi O là trung điểm của đoạn AB. Ta có:





Gọi H là hình chiếu của M trên đường thẳng OB, ta có:

. Suy ra MA2 - MB2 =

Do đó: MA2 - MB2 = k2





Từ đó suy ra H là điểm cố định trên đường thẳng AB, không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng vuông góc với AB tại H.

Hoạt động 3: Các bài tập áp dụng các biểu thức tọa độ của tích vô hướng.



HD: Từ gt suy ra tọa độ các vectơ và áp dụng các biểu thức tọa độ của tích vô hướng.
Bài 13: Trong mptđ cho


a) Tìm k để

b) Tìm k để







HD: Sau khi tính độ dài 3 cạnh hãy xét xem tam giác ABC có gì đặc biệt?
- Hãy áp dụng CT:


b) Tìm trực tâm H(xH; yH):
H là trực tâm tam giác ABC


c) Điểm I(x;y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC


Bài 14: Trong mptđ cho tam giác ABC có các đỉnh


a) Tính chu vi và diện tích tam giác.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Kiểm tra tính thẳng hàng của ba điểm G, H, I.




Củng cố, HD công việc về nhà:
- Hoàn thiện các bài tập SGK.
- Ôn tập hệ thức lượng trong tam giác vuông.