5. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ
Dạng 5.1: Phương Pháp Tích Phân (Đổi Biến Số Dạng 1)
Câu 1. [Mức độ 1] Cho hàm số
trên

y = f ( x)

[ a, b] . Giả sử hàm số u = u ( x) có đạo hàm liên tục
f ( u)
[α, β] .
liên tục trên đoạn

liên tục trên

[ a, b] và u ( x) ∈[α, β ] ∀x ∈[ a, b] , hơn nữa
Mệnh đề nào sau đây là đúng? x = a
A.

C.

b

b

a

a

b

u( b)

u( b)

 f u ( x ) u' ( x ) dx =  f ( u ) du .

 f u ( x) u' ( x) dx =
a



u( a )

B.



u( a )
b

f ( u ) du .

D.



b

f u ( x )  u' ( x ) dx =  f ( u ) du .
a
b

f u ( x )  u ' ( x ) dx =  f ( x ) du .

a

a

Dạng 5.1.1: Hàm Đa Thức Và Hàm Hữu Tỉ
3

Câu 2. [Mức độ 2] Tính tích phân I =  x ( x − 1)

1000

dx.

1

A. I =

2003.21002
.
1003002

B. I =

Câu 3. [Mức độ 1] Tích phân I =

0

x

−1

1502.21001
.
501501

3005.21002
.
1003002

D. I =

2003.21001
.
501501

2x
dx có giá trị là:
+1

2

B. I = − ln 2 .

A. I = ln3 .

C. I =

C. I = − ln3 .

D. I = ln 2 .

1

Câu 4. [Mức độ 1] Cho

x2
1
0 x3 + 1 dx = 3 ln a ,a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là:

A. 2.

B. 3.

Câu 5. [Mức độ 1] Tích phân I =

0

ln 2 + ln a + 2

ax
dx ,với a ≠ −2 có giá trị là:
2
+2
B. I =

.

1

Câu 6. [Mức độ 2] Tích phân I = 
0

3
16

ln 2 − ln a + 2

.
2
− ln 2 + ln a + 2
D. I =
.
2

2
− ln 2 − ln a + 2
C. I =
.
2

A.

D. 5.

 ax

−1

A. I =

C. 4.

x 5 dx

(1 + x )

B.

2

13
16

3

được kết quả I = a ln 2 − b . Giá trị a+b là:
C.

14
17

D.

4
17

2 x 2 + 3x + 3
2
2
0 x 2 + 2 x + 1 dx = a − ln b với a , b là các số nguyên dương. Tính P = a + b .
1

Câu 7. [Mức độ 2] Biết
A. 13 .

B. 5 .

C. 4 .

dx
5
= a ln + b . Khi đó a + 2b bằng
3
x +x
8
5
B.
C. 5
D. 5
4
8
16
2

Câu 8. [Mức độ 3] Cho tích phân I = 
1
A. 5

2

D. 10 .

5

π

Câu 9. [Mức độ 3] Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và các tích phân

4

 f ( tan x ) d x = 4

và

0

1


0

x2 f ( x )
d x = 2 . Tính tích phân I =
x2 + 1

1

 f ( x ) dx .
0

B. I = 2 .

A. I = 6 .

C. I = 3 .

D. I =1.

100

 x ( x − 1) ... ( x − 100 ) dx

Câu 10. [Mức độ 3] Giá trị của tích phân

bằng

0

A. 0.

B. 1.

C. 100 .

D. một giá trị khác.

Dạng 5.1.2: Hàm Vô Tỉ
1

x

Câu 11. [Mức độ 1] Cho I = 

dx = a 2 + b . Giá trị a. b là:
x +1
B. – 2.
C. 1.
2

0

A. – 1.
3

Câu 12. [Mức độ 1] Biết

x

x 2 + 1dx =

1

(

D. 2.

)

2
a − b , với a , b là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây
3

đúng.
A. a = 2b .

B. a < b .
1

Câu 13. [Mức độ 1] Cho tích phân



3

C. a = b .

1 − xdx , với cách đặt

D. a = 3b .

t = 3 1− x thì tích phân đã cho bằng với tích

0

phân nào sau đây?
1

1

A. 3 tdt .

B.  t 3 dt .

0
4


0

A. 4 .
1


0

4
.
3

0

C. 2 .

D. 3 .

dx
bằng
3x + 1

B.

3
.
2

3

Câu 16. [Mức độ 2] Nếu

0

1
dx bằng
2x +1

B. 5 .

Câu 15. [Mức độ 2] Tích phân

1

D. 3  t 3 d t .

0

Câu 14. [Mức độ 2] Kết quả của

A.

1

C. 3  t 2 d t .

C.

1
.
3

D.

2
.
3

2

x
0 1 + 1 + x dx = 1 f (t )dt , với t = 1+ x thì f (t ) là hàm số nào trong các hàm số

dưới đây ?
2
A. f (t ) = 2t + 2t

2
B. f (t ) = t − t

2
C. f (t ) = t + t

2
D. f (t ) = 2t − 2t

4

dx
2
= a + b ln với a, b ∈ ℤ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
3
2x +1
0 3+

Câu 17. [Mức độ 2] Cho tích phân I = 
A. a − b = 3 .

B. a − b = 5 .
4

Câu 18. [Mức độ 2] Biết I = 
0

A. S = 3.

C. a + b = 5 .

D. a + b = 3 .

1
dx = a + b ln 2 với a , b là số nguyên. Tính S = a + b .
2x + 1 − 5

B. S = −3.

C. S = 5.

D. S = 7.

3

Câu 19. [Mức độ 2] Cho

 4+2

x
x +1

0

a + b + c bằng
A. 1 .

dx =

a
+ b ln 2 + c ln 3 với a , b , c là các số nguyên. Giá trị của
3

B. 2 .

C. 7 .

D. 9 .
2

3
2
Câu 20. [Mức độ 2] Trong các tích phân sau, tích phân nào có cùng giá trị với I =  x x − 1dx
1

A.

1 2
t t − 1dt .
2 1

B.

Câu 21. [Mức độ 2] Giá trị của I =



0

t t − 1dt

1

7



4

x 3 dx
3

1+ x

C.

Câu 22. [Mức độ 2] Cho biết


0

x3
3

A. 0 .

1+ x
B. 1 .
2

dx =

3

2

0

)

+ 1 t 2 dt .

D.

được viết dưới dạng phân số tối giản

2

nguyên dương). Khi đó giá trị của a − 7b bằng
B. 1 .
A. 2 .
7

 (t

 (x
3

2

1

)

+ 1 x 2 dx .

a
( a , b là các số
b

D. −1.

C. 0 .

m
m
với
là một phân số tối giản. Tính m − 7 n .
n
n
C. 2 .

D. 9 1 .

5

dx
được kết quả I = a ln 3 + b ln 5 . Giá trị a 2 + ab + 3b 2 là
3
x
+
1
1
B. 5 .
C. 1 .
D. 0 .

Câu 23. [Mức độ 2] Tính tích phân
A. 4 .

x

2

Câu 24. [Mức độ 2] Với a , b, c ∈ R . Đặt I = 
1

A.

B. −2 3

3
3

Câu 25. [Mức độ 2] Cho

4 − x2
b
dx = a − ln . Giá trị của tính abc là :
x
c


1

C. 2 3

x2 + 1
c+ d
với c nguyên dương và a , b , c , d , e là các số
dx = a − b + ln
x
e

nguyên tố. Giá trị của biểu thức a + b + c + d + e bằng.
B. 17 .
A. 14 .
a

Câu 26. [Mức độ 3] Cho I =

dx

x

x +4
2

5

A. 2 3.

=

(

C. 10 .

D. 24 .

)

1 5
ln , a > 5 . Khi đó giá trị của số thực a là
4 3

B. 2 5.

C. 3 2.

trong đó u = 2 x + 1 . Tính giá trị S = a + b + c .
A. S = 3 .
B. S = 0 .

Câu 28. [Mức độ 3] Giả sử I =

64

A. −17 .

 3x +
1

P = a + 2b + c − 7 .

3

C. S = 1 .

(

D. S = 2 .

dx
2
= a ln + b với a , b là số nguyên. Tính giá trị a − b .
3
3
x+ x
B. 5.
C. −5 .
D. 17 .


1

2

D. 2 2.

1
2 x2 + 4 x + 1
4
2
0 2 x + 1 dx = 2 1 au + bu + c du ,
4

Câu 27. [Mức độ 2] Giả sử a , b , c là các số nguyên thỏa mãn

Câu 29. [Mức độ 2] Biết

D. − 3

x
9 x2 − 1

dx = a + b 2 + c 35 với a , b , c là các số hữu tỷ, tính

)

1
A. − .
9

B.
3

C. −2 .

D.

(

dx

67
.
27

)

1
= a 3 + b 2 + c + ln 3 2 − 3 với a , b , c là các số hữu tỷ.
2
1 + x2

 1+ x +

Câu 30. [Mức độ 3] Biết

86
.
27

1

Tính P = a + b + c .

A. P =

1
.
2
2

Câu 31. [Mức độ 3] Biết

1
2

B. P = −1.
dx

x

x + 1 + ( x + 1) x

1

C. P = − .

5
.
2

D. P =

= a − b − c với a , b , c là các số nguyên dương. Tính

P = a +b+c .
B. P = 42 .

A. P = 44 .


1

của biểu thức C

b−a
2 a+c

D. P = 48 .

1 + x2
1
b

dx =  a a −
b  với a , b, c ∈ ℕ ; 1 ≤ a , b , c ≤ 9 . Tính giá trị
4
x
c
b+c


2

Câu 32. [Mức độ 3] Giả sử

C. P = 46 .

.

B. 715 .

A. 165 .

2 x + 1dx

4

Câu 33. [Mức độ 3] Biết

 2x + 3

2x +1 + 3

0

A. T = 4 .

C. 5456 .
= a + b ln 2 + c ln

B. T = 2 .

Câu 34. [Mức độ 3] Biết rằng

1


0

D. 35 .

5
( a, b, c ∈ ℤ ) . Tính T = 2a + b + c .
3

D. T = 3 .

C. T = 1 .

2+ a 
= 2 ln 
 với a , b là các số nguyên dương. Giá trị của
x2 + 4x + 3
 1+ b 

a + b bằng
A. 3 .

dx

B. 5 .

C. 9 .

D. 7 .

Dạng 5.1.3: Hàm Lượng Giác
Câu 35. [Mức độ 2] Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau
1

1

1

A.  sin (1 − x ) dx =  sin xdx .
0

0

0

π

0

π

π
2
x
C.  cos dx =  cos xdx .
2
0
0

π
2
x
D.  sin dx =  sin xdx .
2
0
0
π
3

Câu 36. [Mức độ 2] Tính tích phân I = 
0

5
A. I = .
2

1

B.  cos (1 − x ) dx = −  cos xdx .

B. I =

sin x
dx .
cos 3 x
3
.
2

C. I =

π 9
.
+
3 20

D. I =

9
.
4

π
2

Câu 37. [Mức độ 2] Cho tích phân

sin x

dx = a ln 5 + b ln 2 với a , b ∈ ℤ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

π cos x + 2
3

A. 2a + b = 0.

B. a − 2b = 0.

C. 2a − b = 0.

π
3
b
Câu 38. [Mức độ 2] Cho I =  sin 2 x tan xdx = ln a − . Chọn mệnh đề đúng:
8
0

D. a + 2b = 0.

A. a + b = 4

B. a − b = 2

C. ab = 6

D. a b = 4

π
6

Câu 39. [Mức độ 2] Tích phân I = 
π

sin 3 x
dx có giá trị là:
cos x

3

A. I =

19 + 17 3
.
2

B. I =

19 + 17 4 3
.
2

C. I =

−19 + 17 3
.
2

D. I =

19 − 17 4 3
.
2

π
2

Câu 40. [Mức độ 2] Tích phân I = 
π

2 x + cos x
dx có giá trị là:
x 2 + sin x

4

π2
π2 
2
− 1 − ln  +
A. I = ln 
 .
 4

 16 2 
π2
π2 
2
− 1 + ln  +
C. I = ln 
 .
 4

 16 2 

π2
π2 
2
+ 1 − ln  +
B. I = ln 
 .
 4

 16 2 
π2
π2 
2
+ 1 + ln  +
D. I = ln 
 .
 4

 16 2 

π

Câu 41. [Mức độ 2] Xét tích phân I =

2


0

sin 2 x
d x . Nếu đặt
1 + cos x

t = 1+cos x , khẳng định nào dưới đây là

đúng?
A. I =

4t 3 − 4t
 t dt.
2
1

B. I =

− 4t 3 + 4t
 t dt.
2
1

2

C. I = 4  ( t 2 − 1) d t .

2

D. I = − 4  ( t 2 − 1) d t .

1

1

π
3

Câu 42. [Mức độ 2] Tích phân I = 
0

sin 2 x
dx có giá trị là:
cos x + cos 3 x

A. I =

1 
2 −2
2 −1 
+ ln
 ln
.
2 2
2+2
2 + 1 

B. I =

1 
2 −2
2 +1
− ln
 ln
.
2 2
2+2
2 − 1 

C. I =

1 
2 −2
2 −1 
− ln
 ln
.
2 2
2+2
2 + 1 

D. I =

1 
2+2
2 −1 
− ln
 ln
.
2 2
2 −2
2 + 1 

π
4

1
dx có giá trị là:
2
− sin 2 x
9
cos
x
0

Câu 43. [Mức độ 3] Tích phân I = 
1
A. I = ln 2 .
3

B. I =
a

Câu 44. [Mức độ 2] Tích phân I = 
0

A. a = −

π
2

1
ln 2 .
2

sin x + cos x

( sin x − cos x )

B. a = −

.

1
C. I = ln 2 .
6

π
4

.

2

dx =

D. I = ln 2 .

1+ 3
. Giá trị của alà:
1− 3
C. a =

π
3

D. a =

.

π
2

Câu 45. [Mức độ 3] Tích phân I = 
π

sin x
dx có giá trị là:
sin x + cos x

3

A. I =

π
12

+ ln

(

)

3 +1 .

B. I =

π
12

+ ln

3 +1
.
4

π
6

.

 3 +1
ln 

2 
π
C. I = − 
12
2
.

D. I =

π
12

+ ln

3 +1
.
2

π

Câu 46. [Mức độ 2] Cho biết

4

cos x

 sin x + cos x dx = aπ + b ln 2 với a và b là các số hữu tỉ. Khi đó
0

A.

1
.
4

B.

3
.
8

C.

π

sin xdx

Câu 47. [Mức độ 2] Cho tích phân I = 

1 − 2α cos x + α 2

0

A. 2.

B.

α
2

1
.
2

D.

3
.
4

(với α > 1 ) thì giá trị của I bằng:

C. 2α .

.

a
bằng:
b

D.

2

α

.

π

Câu 48. [Mức độ 2] Cho

2

 sin
0

2

cos x
4
dx = a ln + b, tính tổng S = a + b + c .
x − 5sin x + 6
c

A. S = 1 .

B. S = 4 .

C. S = 3 .

D. S = 0 .

π

Câu 49. [Mức độ 2] Cho

2

 ( cos x )

sin x
2

0

− 5 cos x + 6

dx = a ln

4
+ b , với a , b là các số hữu tỉ, c > 0 . Tính tổng
c

S = a +b+c .
A. S = 3 .

B. S = 0 .

C. S = 1 .

D. S = 4 .

π

Câu 50. [Mức độ 2] Cho

2

 ( cos x )

sin x
2

0

− 5 cos x + 6

dx = a ln

4
+ b , với a , b là các số hữu tỉ, c > 0 . Tính tổng
c

S = a +b+c .
A. S = 3 .

B. S = 0 .
π
2

Câu 51. [Mức độ 3] Cho tích phân I = 

C. S = 1 .

x 2 + ( 2 x + cos x ) cos x + 1 − sin x
x + cos x

0

các số hữu tỉ. Tính giá trị của biểu thức P = ac 3 + b.
5
A. P = 3 .
B. P = .
4

C. P =

D. S = 4 .
dx = aπ 2 + b − ln

3
.
2

c

π

với a , b , c là

D. P = 2 .

π

Câu 52. [Mức độ 3] Cho

2

a

 ( 4 cos 2 x + 3sin 2 x ) ln ( cos x + 2 sin x ) dx = c ln 2 − b , trong đó a , b , c ∈ ℕ
0

là phân số tối giản. Tính T = a + b + c .
A. T = 9 .
B. T = − 11 .

C. T = 5 .

D. T = 7 .

π
6

Câu 53. [Mức độ 3] Biết

π

−

x cos x
1+ x + x
2

dx = a +

π2
b

+

3π
với a , b , c , d là các số nguyên. Tính
c

6

M = a −b+c .
A. M = 35 .

B. M = 41 .

C. M = −37 .

D. M = −35 .

*

,

a
b

Dạng 5.1.4: Hàm Mũ – Lôgarit
1

Câu 54. [Mức độ 2] Cho I =  xe1− x dx . Biết rằng I =
2

0

ae − b
. Khi đó, a + b bằng
2

B. 0 .

A. 1 .

C. 2 .

Câu 55. [Mức độ 2] Nguyên hàm của f ( x ) = sin 2 x.e sin

esin x +1
+C.
sin 2 x + 1

2

x

D. 4 .

là

2

A. sin 2 x.esin

2

x −1

+C.

B.

Câu 56. [Mức độ 2] Tích phân I =

ln12



esin x −1
+C .
sin 2 x − 1
2

2

C. esin x + C .

D.

e x + 4dx có giá trị là:

ln 5

A. I = 2 − ln 3 + ln 5 .
C. I = 2 − 2ln 3 + ln5 .
3

Câu 57. [Mức độ 2] Cho  e

x +1

0

B. I = 2 − 2ln 3 + 2ln 5 .
D. I = 2 − ln 3 − 2ln 5 .
dx
= a.e 2 + b.e + c . Với a , b , c là các số nguyên. Tính S = a + b + c .
x +1

A. S = 1 .

B. S = 2 .

C. S = 0 .

D. S = 4 .

π
2

sin x
sin x cos3 xdx . Nếu đổi biến số t = sin 2 x thì:
Câu 58. [Mức độ 2] Cho tích phân I =  e
2

0

A. I =


1 t
t
  e dt +  te dt  .
2 0
0

1

1

B. I =

1
1

C. I = 2   et dt +  tet dt  .
0
0


1
1

1 t
e
d
t
−
tet dt  .


2 0
0


1
1

D. I = 2   et dt −  tet dt  .
0
0


e

Câu 59. [Mức độ 2] Tính tích phân I = 
1

1 + 3ln x
dx bằng cách đặt t = 1+ 3ln x , mệnh đề nào dưới đây
x

sai?
2

2
B. I =  tdt .
31

2 2
A. I = t 3 .
9 1
e

Câu 60. [Mức độ 2] Biết


1

C. I =

2

2 2
t dt .
3 1

14
.
9

3 + ln x
a −b c
dx =
, trong đó a , b , c là các số nguyên dương và c < 4 .
x
3

Tính giá trị S = a + b + c .
A. S = 13 .

B. S = 28 .

C. S = 25 .

Câu 61. [Mức độ 2] Với cách đổi biến u = 1 + 3ln x thì tích phân

D. S = 16 .

e

ln x
dx trở thành
1 + 3ln x

x
1

2

2

2
A.  ( u 2 − 1) du .
31

2
B.  ( u 2 − 1) du .
91
e

Câu 62. [Mức độ 2] Biết I = 
1

A. a − b = 1 .

D. I =

2

(

)

C. 2 u − 1 du .
2

1

2 u2 −1
du .
D. 
91 u
2

ln x
3
dx = a ln + b, ( a, b ∈ Q ) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
x ( ln x + 2 )
2

B. 2 a + b = 1 .

C. a 2 + b 2 = 4 .

D. a + 2 b = 0 .

e

ln x

Câu 63. [Mức độ 2] Cho I = 

x ( ln x + 2 )

1

2

dx có kết quả dạng I = ln a + b với a > 0 , b∈ ℝ . Khẳng định

nào sau đây đúng?

A. 2ab = −1 .

B. 2ab = 1 .
ln 6

ex

 1+

Câu 64. [Mức độ 2] Biết tích phân

C. −b + ln

e +3
x

0

3
1
=− .
2a
3

D. −b + ln

3 1
= .
2a 3

dx = a + b ln 2 + c ln 3 , với a , b , c là các số nguyên. Tính

T = a+b+c.
B. T = 0 .

A. T = − 1 .
Câu 65. [Mức độ 3] Cho

1


0

(x

+ x ) ex

2

x + e− x

C. T = 2 .

dx = a.e + b ln ( e + c ) với a , b , c ∈ ℤ . Tính P = a + 2b − c .

C. P = 0 .

B. P = − 1 .

A. P = 1 .
Câu 66. [Mức độ 3] Biết

1



(x

+ 5x + 6) ex

2

x + 2 + e− x

0

D. T = 1 .

dx = a e − b − ln

số của logarit tự nhiên. Tính S = 2a + b + c .
A. S = 10 .
B. S = 0 .

D. P = − 2 .

ae + c
với a , b , c là các số nguyên và e là cơ
3

C. S = 5 .

D. S = 9 .

e

Câu 67. [Mức độ 2] Tích phân I =  x ( ln 2 x + ln x ) dx có giá trị là:
1

A. I = −2e .

B. I = −e .
e

Câu 68. [Mức độ 3] Biết



C. I = e .

D. I = 2e .

( x + 1) ln x + 2 dx = a.e + b ln  e + 1 


 trong đó a , b là các số nguyên. Khi đó tỉ số
 e 

1 + x ln x

1

a
là
b

A.

1
.
2

B. 1 .
2

Câu 69. [Mức độ 2] Biết

C. 3 .

D. 2 .

( 3x + 1)

 3x

ln b 

a b c
c ≤ 4.
dx = ln  a +
 với , , là các số nguyên dương và
+ x ln x
c 


2

1

Tổng a + b + c bằng
A. 6 .

B. 9 .

C. 7 .

D. 8 .

π x3 + 2 x + ex 3 .2 x
1
1
e 

0 π + e.2 x dx = m + e ln n ln  p + e + π  với m , n , p là các số nguyên
1

Câu 70. [Mức độ 2]

dương. Tính tổng S = m + n + p .

A. S = 6 .

B. S = 5 .

C. S = 7 .

D. S = 8 .

Câu 71. [Mức độ 2] Cho tam thức bậc hai f ( x ) = ax 2 + bx + c, ( a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0 ) có hai nghiệm thực phân
biệt x1 , x2 . Tính tích phân I = 

x2

x1

A. I = x1 − x2 .

( 2ax + b ) e ax +bx +c dx .
2

B. I =

(

x1 − x2
.
4

C. I = 0 .

) dx có giá trị là:

e

ln x 2 ln 2 x + 1 + 1

1

x

Câu 72. [Mức độ 2] Tích phân I = 

D. I =

x1 − x2
.
2

A. I =

4 2 +3
.
3

B. I =

1

Câu 73. [Mức độ 2] Biết I = 
0

tỉ. Giá trị của a là:
A. 9.

B. – 6.
e

1

4 2 −2
.
3

Câu 75. [Mức độ 2] Tính I =



(1 − ln x )

13
.
3

B.
2

Câu 76. [Mức độ 2] Biết

x
1

P = a + b + ab .
A. 10 .
2

2

D. I =

4 2 −3
.
3

)

1 + ae + 27e 2 + 27e3 − 3 3 , a là các số hữu

C. – 9.

D. 6.

4 2 +2
.
3

C. I =

2 2 −2
.
3

D. I =

2 2 +2
.
3

2

dx được kết quả là

x

e

(

4 2 +5
.
3

2 ln x ln 2 x + 1
dx có giá trị là:
x

B. I =
e2

A.

C. I =

1 

ln 3 x + 3 x  ln 2 x + x 
2
3 

dx =
x
9

Câu 74. [Mức độ 2] Tích phân I = 
A. I =

4 2 +1
.
3

1
.
3

C.

5
.
3

D.

4
.
3

x +1
dx = ln ( ln a + b ) với a , b là các số nguyên dương. Tính
+ x ln x

2

B. 8 .

Câu 77. [Mức độ 2] Cho tích phân I = 

C. 12 .
e2

(x

2

+ 1) ln x + 1
x ln x

e

dx =

D. 6 .

ae 4 + be 2
+ c + d ln 2 . Chọn phát biểu đúng
2

nhất:
A. a = b = c = d

B. a = b 2 = c =

Câu 78. [Mức độ 3] Tính tích phân I =

2018

(

ln 1 + 2 x

A. I = 0.

)

−x

C. I = ln 2 (1 + 22018 ) − ln 4 .
Câu 79. [Mức độ 3] Tính tích phân I =

C. A và B đúng

 (1 + 2 ) log
0

A. I = ln (1 + 2 2018 ) − ln 2 .

1
d

4

e

D. A và B sai

dx .

B. I = ln 2 (1 + 22018 ) − ln 2 2 .

D. I = ln 2 (1 + 2 −2018 ) − ln 2 2 .
2

x 2016
 e x + 1 dx.
−2

20 18
B. I = 2
.

2017

2 017
C. I = 2
.

2017

2018
D. I = 2
.

2 018

Dạng 5.2: Phương Pháp Tích Phân Hàm Vô Tỷ (Đổi Biến Số Dạng 2)
Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
 π π
1. a 2 − x 2 : đặt x =| a | sin t; t ∈  − ; 

 2 2
|a|
 π π
; t ∈  − ;  \ {0}
2. x 2 − a 2 : đặt x =
sin t
 2 2
 π π
3. x 2 + a 2 : x =| a | tan t; t ∈  − ; 
 2 2
a+x
a−x
4.
hoặc
: đặt x = a.cos 2t
a−x
a+x

Lưu ý: Chỉ nên sử dụng khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân
I=

3



x 2 dx

0

x2 + 1

thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân I = 

3

0

x3 dx
x2 + 1

thì nên đổi biến dạng 1.

2

Câu 80. [Mức độ 2] Khi tính I =  4 − x 2 dx, bằng phép đặt x = 2 sin t , thì được
0

A.

π

π

2

2

 2 (1 + cos 2t )dt .

B.

0

 2 (1 − cos 2t )dt .

 4cos

C.

1



4 − x 2 dx =

−1

3

Câu 82. [Mức độ 2] Giá trị của



tdt .

D.

 2cos

2

tdt .

0

2π
+ a . Khi đó a bằng:
3

B. 1 .

2.

2

2

0

0

Câu 81. [Mức độ 2] Biết rằng
A.

2

C.

9 − x 2 dx =

0

3.

D. 2 .

a
a
π trong đó a, b ∈ ℤ và là phân số tối giản. Tính giá trị
b
b

của biểu thức T = ab .

A. T = 35 .

B. T = 24 .
1
2

Câu 83. [Mức độ 2] Cho tích phân I = 
0

A.

1
.
2

B.

1
1 − x2

C. T = 12 .

dx = aπ ,a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là:

1
.
3

1
.
4

C.

Câu 84. [Mức độ 2] Đổi biến x = 2sin t thì tích phân

1


0

A.

dx

π

π

6

3

6

B.

0

0

a+ b

Câu 85. [Mức độ 2] Biết rằng


4

1
− x2 + 6 x − 5

4 < a + b < 5 . Tổng a + b bằng
A. 5 .
B. 7 .

dx =

π
6

1
.
6

π

dt
C.  .
t
0

 td t .

D.

trở thành

4 − x2

π

 td t .

D. T = 36 .

6

D.  dt .
0

trong đó a , b là các số nguyên dương và

C. 4 .
1

Câu 86. [Mức độ 2] Khi đổi biến x = 3 tan t , tích phân I = 
0

D. 6 .

dx
trở thành tích phân nào?
x +3
2

π

π

3

6

A. I =  3dt .

B. I = 

0

0
1

Câu 87. [Mức độ 2] Tích phân I = 
0

A. I =

π
2

3

Câu 88. [Mức độ 3] Tích phân I = 

π

6

C. I =  3tdt .
0

6
1
D. I =  dt .
t
0

1
dx có giá trị là:
x +1
2

B. I =

.

π

3
dt
3

π
3

C. I =

.

( x − 1)( 3 − x )dx

π
4

D. I =

.

π
6

.

có giá trị là:

5
2

A. I =

π
6

−

3
.
4

B. I =

0

3

−

3
.
8

3 + 4x

1

Câu 89. [Mức độ 3] Tích phân I = 

π

3 + 2 x − x2

7π
−4 3 +8.
6
7π
C. I =
+ 4 3 −8.
6

π
6

−

3
.
8

D. I =

π
3

−

3
.
8

dx có giá trị là:
7π
− 4 3 −8.
6
7π
D. I =
+ 4 3 + 8.
6

A. I =

Câu 90. [Mức độ 3] Tích phân I =

C. I =

B. I =

1
2



4x − 3

5 + 4 x − x2
5π
B. I =
.
6

dx có giá trị là:

−1

A. I =

5π
.
3

C. I = −

5π
.
3

D. I = −

1
2

5π
.
6

Câu 91. [Mức độ 3] Cho I =  1 − 2 x 1 − x 2 dx = aπ + b với a, b ∈ R . Giá trị a + b gần nhất với
0

A.

1
10

B. 1

C.

1
5

D.

2