4. TÍCH PHÂN
Dạng 4.1: Áp Dụng Định Nghĩa, Tính Chất Và Bảng Nguyên Hàm
Câu 1. [Mức độ 1] Cho hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) liên tục trên [ a; b ] và số thực k tùy ý. Trong các
khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
B.

b

a

a

b

 f ( x ) dx = −  f ( x ) dx .
b

b

a

a

 xf ( x ) dx = x  f ( x ) dx .
a

C.  kf ( x ) dx = 0 .
a

D.

b

b

b

a

a

a

  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx .

Câu 2. [Mức độ 1] Khẳng định nào sau đây sai?
A.
C.

b

  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx . B.

b

b



a

a

a

b

a

a

b

 f ( x ) d x =  f ( x ) dx .

D.

b

b

c

a

c

a

b

b

a

a

f ( x ) d x =  f ( x ) d x +  f ( x ) dx .

 f ( x ) dx =  f ( t ) dt .

Câu 3. [Mức độ 1] Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục trên K , a, b ∈ K . Khẳng định nào sau đây là
khẳng định sai?
b

A.

a

B.

b

b

a

a

a

a



b

b

f ( x ) g ( x ) dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx .

a

D.

b

 kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx .
b

C.

b

  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx .

a

a

b

b

b

a

a

a

  f ( x ) − g ( x ) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx .

Câu 4. [Mức độ 1] Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên đoạn [ a; b ] và c ∈ [ a; b ] . Tìm mệnh đề đúng trong
các mệnh đề sau.
c

A.
C.



b

a

f ( x ) dx +  f ( x ) d x =  f ( x ) dx .

b

B.



c

b

f ( x ) dx +  f ( x ) d x =  f ( x ) dx .

a

c

b

a

a

c

b

c

c

b

a

b

c

c


a

f ( x ) dx −  f ( x ) dx =  f ( x ) dx .
a

D.

c


a

f ( x ) dx +  f ( x ) d x =  f ( x ) dx .

Câu 5. [Mức độ 1] Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng K và a, b, c ∈ K . Mệnh đề nào sau đây sai?
b

A.


a

C.

b

c

f ( x ) dx +  f ( x ) d x =  f ( x ) dx .
c

b

B.

a

b

a

a

b

 f ( x ) dx = −  f ( x ) dx .


a
a

D.

b

f ( x ) dx =  f ( t ) dt .
a

 f ( x ) dx = 0 .
a

Câu 6. [Mức độ 1] Cho hàm số f ( t ) liên tục trên K và a, b ∈ K , F ( t ) là một nguyên hàm của f ( t ) trên
K . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
b

b

A. F ( a ) − F ( b ) =  f ( t ) dt .

B.

C.


a

b
a

.

a

a

b

 f ( t ) dt = F ( t )

b



f ( t ) dt =   f ( t ) dt  .

a

b

D.



b

f ( x ) dx =  f ( t ) dt .

a

a

Câu 7. [Mức độ 1] Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Mệnh đề nào dưới đây sai?
b

A.



b

f ( x ) dx =  f ( t ) dt .

a
b

B.



a
a

f ( x ) dx = −  f ( x ) dx .

a

b

b

C.  kdx = k ( a − b ) , ∀k ∈ ℝ .
a

D.

b

c

b

a

a

c

 f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx , ∀ c ∈ ( a ; b ) .

Câu 8. [Mức độ 1] Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ trên khoảng K .
Khẳng định nào sau đây sai?
a

A.



b

f ( x ) dx = 1 .

B.

a

C.



a

f ( x ) dx = −  f ( x ) dx .

a

b

c

b

b

b

b

a

c

a

a

a

 f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  f ( x ) dx, c ∈ ( a; b ) . D.  f ( x ) dx =  f ( t ) dt .

Câu 9. [Mức độ 1] Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Mệnh đề nào dưới đây sai?
b

A.



a

a
b

C.

b

f ( x ) dx = −  f ( x ) dx .

B.

b


a

c

b

a

c

f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx , ∀c ∈ ℝ .

b



f ( x ) dx =  f ( t ) dt .

a

a

a

D.

 f ( x ) dx = 0 .
a

Câu 10. [Mức độ 1] Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) . Khi đó hiệu số F ( 0 ) − F (1) bằng
1

A.


0

f ( x ) dx .

1

B.  − F ( x ) dx .
0

1

C.  − F ( x ) dx .
0

1

D.  − f ( x ) dx .
0

Câu 11. [Mức độ 1] Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b ] , có đồ thị y = f ' ( x ) như hình vẽ sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

b

A.



f ' ( x ) dx là diện tích hình thang ABMN . B.

b

 f ' ( x ) dx

a
b

C.



là dộ dài đoạn BP .

a

f ' ( x ) dx là dộ dài đoạn MN .

b

 f ' ( x ) dx

D.

a

là dộ dài đoạn cong AB .

a
b

a

b

a

c

c

Câu 12. [Mức độ 1] Cho tích phân I1 =  f ( x ) dx = m và I 2 =  f ( x ) dx = n . Tích phân I =  f ( x )dx có
giá trị là:

A. m + n .

B. m − n .

C. − m − n .

D. Không thể xác định.

b

Câu 13. [Mức độ 1] Tích phân

 f ( x )dx được phân tích thành:
a

b

A.
C.



a

c

c

b

a



b

f ( x ) +  − f ( x )dx .

B.

c

f ( x ) +  f ( x )dx .

c



1



−2

c
b

a

c

c

D. −  f ( x ) +  f ( x )dx .

c

Câu 14. [Mức độ 1] Cho

a

f ( x ) −  − f ( x )dx .

1

f ( x ) dx = 3 . Tính tích phân I =   2 f ( x ) − 1 dx .

A. −9 .

−2

B. −3 .

C. 3 .

D. 5 .

Câu 15. [Mức độ 1] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a ; b ] và f ( a ) = −2 , f ( b ) = −4 .
b

Tính T =  f ' ( x ) dx .
a

A. T = −6 .

B. T = 2 .

C. T = 6 .

D. T = −2 .

Câu 16. [Mức độ 1] Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và f (1) − f ( 0 ) = 2 . Tính tích phân

1

 f ' ( x ) dx .
0

A. I = −1 .

B. I = 1 .

C. I = 2 .

D. I = 0 .

Câu 17. [Mức độ 1] Cho hàm số y = f ( x ) thoả mãn điều kiện f (1) = 12 , f ' ( x ) liên tục trên ℝ và
4

 f ' ( x ) dx = 17 . Khi đó f ( 4 )

bằng

1

A. 5 .

B. 29 .

C. 19 .

D. 9 .

Câu 18. [Mức độ 1] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ −1;3] và thỏa mãn f ( −1) = 4 ;
3

f ( 3 ) = 7 . Giá trị của I =  5 f ' ( x ) dx bằng
−1

A. I = 20 .

B. I = 3 .

Câu 19. [Mức độ 1] Cho hàm số f ( x ) =

C. I = 10 .

D. I = 15 .

a b
+ + 2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện
x2 x

1

 f ( x ) dx = 2 − 3ln 2 . Tính T = a + b .
1
2

A. T = −1 .

B. T = 2 .

C. T = −2 .

D. T = 0 .

3

dx
.
x+2

Câu 20. [Mức độ 1] Tính tích phân I = 
0

A. I =

4581
.
5000

5
B. I = log .
2
22018



Câu 21. [Mức độ 1] Tính tích phân I =

1

A. I = 2018.ln 2 − 1 .

5
C. I = ln .
2

D. I = −

21
.
100

dx
.
x

B. I = 2 2018 .

C. I = 2018.ln 2 .
Hướng dẫn giải

C. I = 2018 .

Chọn C
Ta có: I = ln x

22018
1

= ln ( 2 2018 ) − ln1 = 2018.ln 2 .
1

 1

+ 3 x  dx .
Câu 22. [Mức độ 1] Tính I =  
2x +1

0
A. 2 + ln 3 .

B. 4 + ln 3 .

D. 1 + ln 3 .

C. 2 + ln 3 .

1

Tính tích phân I =  x 2018 (1 + x ) dx

Câu 23. [Mức độ 1]
1
1
+
A. I =
.
2018 2019

0

B. I =

1
1
+
.
2020 2021

C. I =

1
1
1
1
+
+
. D. I =
.
2019 2020
2017 2018

3x 2
khi 0 ≤ x ≤ 1
=
=
y
f
x
Câu 24. [Mức độ 2] Cho hàm số
. Tính tích phân
( ) 
4 − x khi 1 ≤ x ≤ 2
A.

7
.
2

B. 1.

 2

y
f
x
=
=
Câu 25. [Mức độ 2] Cho hàm số
( )  x +1
2 x − 1
A. 6 + ln 4 .

B. 4 + ln 4 .

C.

5
.
2

khi 0 ≤ x ≤ 1

2

 f ( x ) dx .
0

D.

3
.
2
3

. Tính tích phân

khi 1 ≤ x ≤ 3

0

C. 6 + ln 2 .

3x 2
khi 0 ≤ x ≤ 1
Câu 26. [Mức độ 2] Cho hàm số y = f ( x ) = 
. Tính
4 − x khi 1 ≤ x ≤ 2
7
5
B. 1.
C. .
A. .
2
2

 f ( x ) dx .

D. 2 + 2 ln 2 .
2

 f ( x )dx .
0

D.

3
.
2

4
6 x 2
khi x ≤ 0
Câu 27. [Mức độ 2] Cho hàm số y = f ( x ) = 
và
I
=
 f ( x )dx . Hỏi có tất cả bao
2
 a − a x khi x ≥ 0
−1
nhiêu số nguyên a để I + 22 ≥ 0 ?
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .

b

Câu 28. [Mức độ 2] Biết

 ( 2 x − 1) dx = 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
a

B. a 2 − b 2 = a − b − 1 . C. b 2 − a 2 = b − a + 1 . D. a − b = 1 .

A. b − a = 1 .
2

Câu 29. [Mức độ 1] Đặt I =  ( 2mx + 1) dx ( m là tham số thực). Tìm m để I = 4 .
1

A. m = −1 .

B. m = −2 .

C. m = 1 .

D. m = 2 .

3

Câu 30. [Mức độ 1] Cho





0

A. − a − b .

2

3

f ( x)dx = a ,

 f ( x)dx bằng:

f ( x)dx = b . Khi đó

0

2

B. b − a .

C. a + b .

D. a − b .

b

Câu 31. [Mức độ 1] Giá trị nào của b để

 ( 2 x − 6 ) dx = 0 ?
1

A. b = 0 hoặc b = 3 .

B. b = 0 hoặc b = 1

C. b = 5 hoặc b = 0 .

D. b = 1 hoặc b = 5 .

m

Câu 32. [Mức độ 2] Xác định số thực dương m để tích phân

 ( x − x ) dx có giá trị lớn nhất.
2

0

A. m = 1.

B. m = 2 .

C. m = 3 .

D. m = 4

2

 ( 2 x + 1) dx = 4 . Giá trị biểu thức 1 + a

Câu 33. [Mức độ 1] Cho a là số thực thỏa mãn a < 2 và

3

bằng.

a

A. 0 .

B. 2 .
1

Câu 34. [Mức độ 1] Tích phân I =

 (x

3

−1

C. 1.
+ 3 x + 2 ) dx có giá trị là:

B. I = 2.

A. I = 1.

D. 3 .

C. I = 3.
1

Câu 35. [Mức độ 1] Cho gá trị của tích phân I1 =

 (x

−1

4

D. I = 4.

+ 2 x 3 )dx = a , I 2 =

−1

 (x

−2

2

+ 3 x )dx = b . Giá trị của

là:

A. P = −

4
.
65

B. P =
0

Câu 36. [Mức độ 1] Tích phân I =

 (x

3

−1

A. I =

7 a
− .
4 2

12
.
65

12
.
65

D. P =

4
.
65

7 a
+ .
4 2

D. I =

9 a
+ .
4 2

a b
+ .
2 2

D. I =

a b
+ .
3 2

C. P = −

+ ax + 2 )dx có giá trị là:

B. I =

9 a
− .
4 2

C. I =

1

Câu 37. [Mức độ 1] Tích phân I =  ( ax 2 + bx )dx có giá trị là:
0

A. I =

a b
+ .
2 3

B. I =

a b
+ .
3 3

C. I =

a

 1

Câu 38. [Mức độ 1] Tích phân I =   2 + 2 x dx có giá trị là:
x

2
1 1
3 1
5 1
A. I = − − + a 2 .
B. I = − − + a 2 .
C. I = − − + a 2 .
2 a
2 a
2 a

7 1
D. I = − − + a 2 .
2 a

2

Câu 39. [Mức độ 2] Tích phân I =

x

2

− x dx có giá trị là:

−1

A. I =

3
.
2

B. I =

1
.
6

C. I = −

3
.
2

1
D. I = − .
6

4
.
3

D. I = −

1

Câu 40. [Mức độ 2] Tích phân I =

x

3

+ x 2 − x − 1dx có giá trị là:

−1

4
A. I = .
3

B. I =

1
.
2

C. I = −

1
.
2

a
b

−1



Câu 41. [Mức độ 2] Tích phân I =

x3 − 3x + 2
x −1

−2

A. I = −

7
.
6

B. I =
2



Câu 42. [Mức độ 2] Tích phân I =

−2

A. I = 3 − 2 ln 3 .

dx có giá trị là:

17
.
6

C. I =

7
.
6

D. I = −

17
.
6

x2 − x − 2
dx có giá trị là:
x −1

B. I = −2 ln 3 .

C. I = 3 + 2 ln 3 .

1

2

0

a

D. I = 3 − 3ln 2 .

Câu 43. [Mức độ 1] Biết tích phân I1 =  2 xdx = a . Giá trị của I 2 =  ( x 2 + 2 x )dx là:
A. I 2 =

17
.
3

B. I 2 =

19
.
3

C. I 2 =

16
.
3

D. I 2 =

13
.
3

b

Câu 44. [Mức độ 1] Cho tích phân I =  ( x 2 + 1) dx . Khẳng định nào dưới đây không đúng?
a
b

b

b

a

a

a

A. I =  ( x 2 + 1) dx =  x 2 dx +  dx .

1
1
C. I = b3 + b − a 3 − a .
3
3

B. I = ( x 3 + x ) .
b

a

D. Chỉ có A và C đúng.

Câu 45. [Mức độ 1] Số nghiệm nguyên âm của phương trình: x3 − ax + 2 = 0 với a =

3e

1

 x dx

là:

1

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.
k

Câu 46. [Mức độ 2] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để có

 ( 2 x − 1) dx = 4 lim
1

k = 1
A. 
.
k = 2

k = 1
B. 
.
 k = −2

 k = −1
C. 
.
 k = −2

x →0

x +1 −1
.\
x

 k = −1
D. 
.
k = 2

Câu 47. [Mức độ 3] Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 + x − 1 − x trên tập ℝ và thỏa
mãn F (1) = 3 . Tính tổng F ( 0 ) + F ( 2 ) + F ( −3) .

A. 8 .

B. 12 .

C. 14 .

D. 10 .

Câu 48. [Mức độ 3] Có bao nhiêu giá trị nguyên dương n thỏa mãn
2

 (1 − n

2

+ 2 x + 3 x 2 + 4 x3 + ... + nx n−1 ) dx = −2 ?

0

A. 1.

B. 2 .

C. 0 .

D. 3 .

Câu 49. [Mức độ 2] Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y = f ' ( x ) trên đoạn [ −2;1]
và [1; 4 ] lần lượt bằng 9 và 12 . Cho f (1) = 3 . Giá trị biểu thức f ( −2 ) + f ( 4 ) bằng

A. 21

B. 9 .

C. 3 .

2

1

0

0

D. 2 .

Câu 50. [Mức độ 2] Cho I =  ( 2 x 2 − x − m ) dx và J =  ( x 2 − 2mx ) dx . Tìm điều kiện của m để I ≤ J .
A. m ≥ 3 .

B. m ≥ 2 .

C. m ≥ 1 .

D. m ≥ 0 .
1

Câu 51. [Mức độ 3] Biết rằng hàm số f ( x ) = ax 2 + bx + c thỏa mãn


0

3

 f ( x ) dx =
0

7
f ( x ) dx = − ,
2

2

 f ( x ) dx = −2

và

0

13
(với a , b , c ∈ ℝ ). Tính giá trị của biểu thức P = a + b + c .
2

3
A. P = − .
4

B. P = −

4
.
3

C. P =

4
.
3

D. P =

3
.
4

Dạng 4.2: Tích Phân Hàm Vô Tỉ
2

Câu 52. [Mức độ 1] Tính tích phân I =  4 x + 1 dx .
0

A. 13 .

B.
1

13
.
3

(

C. 4 .

)

Câu 53. [Mức độ 1] Biết rằng I1 =  x + x + 1 dx =
0

A. – 1.

B. – 2.

D.

4
.
3

a
3
+ b 2 . Giá trị của a − b là:
6
4
C. – 3.

D. – 4.

2

1
dx bằng
0 2 x+2

Câu 54. [Mức độ 1] Tích phân I = 
A. I = 1 −

1
.
2

B. I = 2 2 .
1

Câu 55. [Mức độ 2] Cho


0

1
.
2

C. I = 2 −

D. I = 2 − 2 .

dx
8
2
=a b−
a + , ( a, b ∈ ℕ* ) . Tính a + 2b .
3
3
x + 2 + x +1

A. a + 2b = 7 .

B. a + 2b = 8 .
1

Câu 56. [Mức độ 2] Biết tích phân


0

C. a + 2b = −1.

D. a + 2b = 5 .

x
a+b 3
dx =
với a , b là các số thực. Tính tổng
9
3x + 1 + 2 x + 1

T = a+b.
A. T = −10 .

B. T = −4 .

C. T = 15 .

D. T = 8 .

a

Câu 57. [Mức độ 1] Tích phân I =  x x + 1dx có giá trị là:
0

A. I =
C. I =

2

( a + 1)

5

+

5
2

( a + 1)
5

5

+

2

( a + 1)

3

3
2

( a + 1)
3

3

4
+ .
15
4
− .
15

B. I =
D. I =

2

( a + 1)

5

5
2

( a + 1)
5

−

2

−

2

5

( a + 1)

3

3

( a + 1)
3

+

4
.
15

−

4
.
15

3

1



Câu 58. [Mức độ 2] Tích phân I =

−1

A. I =

4 2
+ 2.
3

x
dx có giá trị là:
x +1 −1

B. I =

4 2
−2.
3

C. I =

4 2
−1 .
3

D. I =

4 2
+1.
3

x2 − x + 2
a−4 b
dx =
. Với a , b , c là số nguyên dương. Tính
c
x+ x−2

4

Câu 59. [Mức độ 3] Biết rằng I = 
3

a+b+c.
A. 39 .
Câu 60. [Mức độ 3] Biết

B. 27 .



2

1

C. 33 .

D. 41 .

dx
= a + b − c với a, b, c là các số nguyên dương. Tính
x x + 2 + ( x + 2) x

P = a+b+c.
A. P = 2 .

B. P = 8 .
2

Câu 61. [Mức độ 3] Biết I = 
1

( x + 1)

Tính P = a + b + c .
A. P = 24 .

C. P = 46 .

D. P = 22 .

dx
= a − b − c với a , b , c là các số nguyên dương.
x + x x +1

B. P = 12 .

Dạng 4.3: Tích Phân Hữu Tỉ Thông Thường

C. P = 18 .

D. P = 46 .

a

a x
Câu 62. [Mức độ 1] Tích phân I =   +  dx ,với a ≠ 0 có giá trị là:
x a
1

a2 +1
.
2a
a2 −1
C. I = a ln a +
.
2a

a2 + 1
.
2a
a2 − 1
D. I = a ln a +
.
2a

A. I = a ln a +

B. I = a ln a +

e2

Câu 63. [Mức độ 1] Tích phân I =


e

1 1
A. I = 1 − + 2 .
e e

x +1
dx có giá trị là:
x2

1 1
B. I = 1 − − 2 .
e e

1 1
C. I = 1 + + 2 .
e e

1 1
D. I = 1 + − 2 .
e e

a2 x2 + 2 x
dx có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là:
ax
2
3

Câu 64. [Mức độ 1] Tích phân I = 
A. 2 5 .

B.

2
.
5

C.

1
.
5

e2

D.

5.

 1 + x + x2 
Câu 65. [Mức độ 1] Giá trị của tích phân I =  
dx = a . Biểu thức P = a − 1 có giá trị là:
x

e 
1
1
1
1
A. P = e + e 2 + e 4 . B. P = −e + e 2 + e 4 .
2
2
2
2
1 2 1 4
1 2 1 4
C. P = −e − e + e . D. P = e + e − e .
2
2
2
2
1

b 

Câu 66. [Mức độ 1] Tích phân I =   ax3 +
dx có giá trị là:
x+2
−1 

B. I =

A. I = −b ln 3 .

a
− b ln 3 .
2
1

Câu 67. [Mức độ 1] Giá trị của tích phân I = 
0

A. P = 1 − ln 2 .

C. I =

a
+ b ln 3 .
2

D. I = b ln 3 .

x
dx = a . Biểu thức P = 2a − 1 có giá trị là:
x +1

B. P = 2 − 2 ln 2 .

C. P = 1 − 2 ln 2 .

D. P = 2 − ln 2 .

2

x 

Câu 68. [Mức độ 1] Tích phân I =   x 2 +
 dx có giá trị là:
x +1
1
10
10
A. I = + ln 2 − ln 3 .
B. I = − ln 2 + ln 3 .
3
3
10
10
C. I = − ln 2 − ln 3 .
D. I = + ln 2 + ln 3 .
3
3
1

Câu 69. [Mức độ 1] Tích phân I = 
0

A. a =

ln 2
.
1 − ln 2

2ax
dx = ln 2 . Giá trị của a là:
x +1

B. a =

ln 2
.
2 − 2 ln 2

C. a =

ln 2
.
1 + ln 2

D. a =

ln 2
.
2 + 2 ln 2

1

 ax

− 2ax  dx có giá trị là:
Câu 70. [Mức độ 1] Tích phân I =  
x +1

0
A. I = − a ln 2 .

B. I = −2 ln 2 .
1

Câu 71. [Mức độ 2] Biết

x−5

 2 x + 2 dx = a + ln b

D. I = a ln 2 .

C. I = 2 ln 2 .

với a , b là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1
3

A. ab =

8
.
81

B. a + b =

7
.
24

9
C. ab = .
8

D. a + b =

3
.
10

x 2 − 3x + 2
2
3
2 x 2 − x + 1 dx = a ln 7 + b ln 3 + c với a , b , c ∈ ℤ . Tính T = a + 2b + 3c .
3

Câu 72. [Mức độ 2] Biết

B. T = 6 .

A. T = 4 .

C. T = 3 .

D. T = 5 .

2

Câu 73. [Mức độ 2] Biết

x2
0 x + 1 dx = a + ln b ( a, b ∈ ℤ ) . Gọi S = 2a + b , giá trị của S thuộc khoảng nào sau

đây ?
A. ( 8;10 ) .

B. ( 6;8 ) .

C. ( 4; 6 ) .

D. ( 2; 4 ) .

3x2 + 5x − 1
2
−1 x − 2 dx = a ln 3 + b , với a, b∈ ℚ . Tính giá trị a + 2b .
0

Câu 74. [Mức độ 2] Biết I =

B. 40 .

A. 30 .

C. 50 .
2

Câu 75. [Mức độ 1] Cho giá trị của tích phân I1 = 
1

D. 60 .
2

x2 + 2 x
1
dx = a , I 2 =  dx = b . Giá trị của biểu thức
x
x +1
e
e

P = a − b là:
A. P =
C. P =

7
+ ln 2 − ln 3 .
2

5
+ ln 2 − ln 3 .
2

B. P =
D. P =

3
+ ln 2 − ln 3 .
2

1
+ ln 2 − ln 3 .
2

x 3 − 3x 2 + 2
 x 2 + x − 2 dx gần nhất với gái trị nào sau đây?
−1
0

Câu 76. [Mức độ 2] Giá trị của tích phân I =
A. −

ln 2
.
2

B. ln 2 − 1 .

C.

3
− ln 4 .
2

D. −

ln 3
.
3

x2 + x + 1
b
3 x + 1 dx = a + ln 2 với a , b là các số nguyên. Tính S = a − 2b .
5

Câu 77. [Mức độ 2] Biết
A. S = −2 .

B. S = 5 .

C. S = 2 .

Dạng 4.4: Tích Phân Hữu Tỉ (Sử Dụng Đồng Nhất Thức)
5

x

Câu 78. [Mức độ 2] Biết rằng

1

A. a + 2b = 0 .

2

3
dx = a ln 5 + b ln 2 ( a, b ∈ Z ) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
+ 3x

B. 2a − b = 0 .
4

Câu 79. [Mức độ 2] Biết I = 
3

A. S = 6 .

dx
= a ln 2 + b ln 3 + c ln 5, với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a + b + c.
x +x
1

0

C. S = −2 .

D. S = 0.

1
C. I = ln 2 .
6

D. I = ln 6 2 .

dx
.
x −9
2

1 1
B. I = − ln .
6 2
3

D. a + b = 0 .

2

Câu 80. [Mức độ 2] Tính tích phân I = 

Câu 81. [Mức độ 2] Biết

C. a − b = 0 .

B. S = 2 .

1 1
A. I = ln .
6 2

D. S = 10 .

dx

 ( x + 2)( x + 4 ) = a ln 2 + b ln 5 + c ln 7 , ( a, b, c ∈ ℚ ) . Giá trị của biểu thức
0

2a + 3b − c bằng
A. 5 .

B. 4 .

C. 2 .
4

Câu 82. [Mức độ 2] Tìm giá trị của a để

D. 3 .

1

 ( x − 1)( x − 2 ) dx = ln a .
3

A. 12 .

B.
2

Câu 83. [Mức độ 2] Cho

x

4
.
3

C.

1
.
3

D.

3
.
4

1
dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 với a , b , c là các số nguyên. Mệnh đề nào
+ 5x + 6

2

1

dưới đây đúng?
A. a + b + c = 4 .

B. a + b + c = −3 .

C. a + b + c = 2 .

D. a + b + c = 6 .

1

1
dx = ( a − b ) ln 2 + b ln 3 . Giá trị a + b là:
3 + 2 x − x2
0

Câu 84. [Mức độ 2] Cho I = 
A.

1
.
4

B.
2

Câu 85. [Mức độ 2] Biết

 4x
1

2

1
.
2

C.

1
.
6

D.

1
.
3

dx
1 1
= + , với a , b là các số nguyên thuộc khoảng ( −7;3) thì a và
− 4x +1 a b

b là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. 2 x 2 − x − 1 = 0 .

B. x 2 + 4 x − 12 = 0 .

C. x 2 − 5 x + 6 = 0 .

D. x 2 − 9 = 0 .

1

Câu 86. [Mức độ 2] Biết

x

2

0

3x − 1
a 5
a
dx = 3ln − , trong đó a, b là hai số nguyên dương và
là phân số
+ 6x + 9
b 6
b

ab ta được kết quả.
tối giản. Tính
A. ab = −5.
B. ab = 27.
2

Câu 87. [Mức độ 2] Giả sử

x
0

A. P = 8 .

2

C. ab = 6.

x −1
dx = a ln 5 + b ln 3; a, b ∈ ℚ . Tính P = ab .
+ 4x + 3
B. P = −6 .

3

x

Câu 88. [Mức độ 2] Cho

2

2

D. ab = 12.

D. P = −5 .

C. P = −4 .

x+8
dx = a ln 2 + b ln 5 với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây
+ x−2

đúng?
A. a + b = 3 .

B. a − 2b = 11 .
3

x

Câu 89. [Mức độ 3] Cho

1

2

C. a − b = 5 .

D. a + 2b = 11 .

x+3
dx = m ln 2 + n ln 3 + p ln 5 , với m , n , p là các số hữu tỉ. Tính
+ 3x + 2

S = m +n+ p .
2

2

A. S = 6 .

B. S = 4 .
C. S = 3 .
D. S = 5 .
x+2
Câu 90. [Mức độ 2] Nếu  2
dx = a ln 5 + b ln 3 + 3ln 2 ( a, b ∈ ℚ ) thì giá trị của P = 2a − b là
2 x − 3x + 1
2
3

C. P = −

B. P = 7 .

A. P = 1 .

Câu 91. [Mức độ 3] Tích phân I = 

B. a =

A. 5 .

15
.
2

2

1

Câu 92. [Mức độ 3] Biết

D. P =

ax + 1
3 4 3 2
dx = ln + ln . Giá trị của a là:
x + 3x + 2
5 3 5 3

2

1
A. a = .
5

15
.
2

2
.
5

C. a =

3
.
5

D. a =

4
.
5

x2 + 1
m
n
p
 x3 − 6 x 2 + 11x − 6 dx = ln ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) + C . Tính 4 ( m + n + p ) .
B. 0 .
C. 2 .
D. 4 .

Dạng 4.5: Tích Phân Hàm Lượng Giác
π

Câu 93. [Mức độ 1] Tính tích phân  sin 3 xdx .
0

1
A. − .
3

B.

1
.
3

2
C. − .
3

D.

2
.
3

C. I = 0 .

D. I = 1 .

π

π

Câu 94. [Mức độ 1] Tính tích phân I =  sin  − x  dx .
4

0
2

A. I =

π
4

B. I = −1 .

.

π
3

Câu 95. [Mức độ 1] Tích phân I = 
π

dx
bằng?
sin 2 x

4

A. cot

π
3

− cot

π
4

.

B. cot

π
3

+ cot

π
4

.

C. − cot

π
3

+ cot

π
4

.

D. − cot

π
3

− cot

π
4

.

π
2

Câu 96. [Mức độ 1] Biết  cos xdx = a + b 3 , với a , b là các số hữu tỉ. Tính T = 2a + 6b .
π

3

A. T = 3 .

B. T = −1

C. T = −4 .

D. T = 2 .

m

Câu 97. [Mức độ 1] Số các số nguyên thỏa mãn  cos 2 x dx = 0 là
0

A. 643 .

B. 1284 .

C. 1285 .

D. 642 .

C. I = −1 .

D. Cả A, B, C đều sai.

π
2

Câu 98. [Mức độ 1] Tích phân I =  sin xdx có giá trị là:
0

B. I = 0 .

A. I = 1 .

b

Câu 99. [Mức độ 1] Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng ( π ;3π ) sao cho  4 cos 2 xdx = 1 ?
π

A. 8 .

B. 2 .

C. 4 .

D. 6 .

π

Câu 100. [Mức độ 1] Tích phân I =

6

π ( sin 2 x − cos 3x ) dx có giá trị là:

−

A. I =

2
.
3

2

B. I =

3
.
4

C. I = −

3
.
4

D. I = −

2
.
3

π
2

Câu 101. [Mức độ 1] Kết quả của tích phân

 ( 2 x − 1 − sin x ) dx được viết ở dạng a , b ∈ ℤ . Khẳng định nào
0

sau đây là sai?
A. a + 2b = 8 .

B. a + b = 5 .

C. 2a − 3b = 2 .

D. a − b = 2 .

π
2

Câu 102. [Mức độ 2] Cho tích phân

cos 2 x

 1 + sin x dx = a + bπ

với a, b ∈ ℚ . Tính P = 1 + a3 + b2

0

A. P = 9 .

B. P = 29 .
π

π

2

Câu 103. [Mức độ 1] Cho tích phân

D. P = −25 .

C. P = 11 .

1

 ( 4 x − 1 + cos x ) dx = π  a − b  + c , ( a, b, c ∈ ℚ ) . Tính a − b + c
0

A. −3

C. −2.

B. 1 .

D. 1 .
3

π

Câu 104. [Mức độ 1] Biết

6

 ( 3 + 4 sin x ) dx =
2

0

aπ c 3
a
, trong đó a, b nguyên dương và
tối giản. Tính
−
b
b
6

a+b+c.

A. 8.

B. 16 .

C. 12 .

D. 14 .

π

Câu 105. [Mức độ 1] Cho giá trị của tích phân I1 =

3

 ( sin 2x + cos x) dx = a ,
−

Giá trị của a + b là:

π

2

π

I2 =

3

π ( cos2x + sin x) dx = b .

−

3

A. P =

3
4

3
+ 3.
4

B. P = +

3
.
2

Câu 106. [Mức độ 1] Cho giá trị của tích phân I1 =

C. P =

3
− 3.
4

2π
3

 ( sin3x + cos3x) dx = a ,

−

π

D. P =

3
3
−
.
4 2

2e

1 
1 1
I2 =   + 2 −
 dx = b
x
x
x
+1
e 

3

. Giá trịa.b gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 8.
B. 16 .

C. 10 .

D. 1 .

π

Câu 107. [Mức độ 1] Tích phân I =

2

π ( sin ax + cos ax) dx , với a ≠ 0 có giá trị là:

−

A. I =

2

2  π π
 π π 
sin  a −  − sin  a +   .

a   2 4
 2 4 

2  π π
 π π 
sin  a −  + sin  a +   .

a   2 4
 2 4 
2  π π
 π π 
C. I =
sin  a −  + sin  − a +   .

a   2 4
2 4 


B. I =

D. I =

2
a


 π π
 π π 
 − sin  a 2 − 4  + sin  a 2 + 4   .





π
2

Câu 108. [Mức độ 2] Biết I = 
0

phân số

x + x cos x − sin 3 x
π2 b
− . Trong đó a, b,
dx =
1 + cos x
a c

c là các số nguyên dương,

b
tối giản. Tính T = a 2 + b 2 + c 2 .
c

A. T = 16 .

B. T = 59 .

Câu 109. [Mức độ 2] Cho tích phân

0

C. T = 69 .

π cos 2 x cos 4 xdx = a + b

−

D. T = 50 .

3 , trong đó a, b là các hằng số hữu tỉ. Tính

3

e + log2 b .
a

A. −2.

C. 1 .

B. −3 .

D. 0.

8

Câu 110. [Mức độ 2] Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y =

1
với
1 + sin 2 x

 −π

 π 
 11π 
∀x ∈ ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ , biết F ( 0) = 1; F (π ) = 0 . Tính P = F  −  − F 
.
 4

 12 
 12 
A. P = 2 − 3 .
B. P = 0 .
C. Không tồn tại P . D. P = 1 .
Câu 111. [Mức độ 2] Cho M , N là các số thực, xét hàm số f ( x) = M.sin πx + N.cos πx thỏa mãn

f (1) = 3 và

1
2

1

 f ( x ) dx = − π . Giá trị của
0

A.

5π 2
.
2

B. −

1
f '   bằng
4

5π 2
.
2

C. −

π 2
.
2

D.

π 2
.
2

π
2

Câu 112. [Mức độ 2] Tích phân I =  ( cos x − 1) cos 2 xdx có giá trị là:
0

A. I = π − 1 .
4

B. I = − π − 2 .

3

4

C. I = π + 1 .

3

4

D. I = − π + 2 .

3

4

π

3

π

2
Câu 113. [Mức độ 2] Cho I =  ( sin3x + cos x ) dx = ( a cos3x + bx + c sin 2x ) 06 . Giá trị của 3a + 2b + 4c là:
3

0

A. – 1.

B. 1.

C. – 2.

D. 2.

Câu 114. [Mức độ 4] Cho I n =  tan n xdx với n ∈ℕ . Khi đó I0 + I1 + 2 ( I2 + I3 + ... + I8 ) + I9 + I10 bằng
A.

9



( tan x )

10



9



( tan x )

r

D.

+C .

r

10



r +1

+C .

r +1

r =1

( tan x )

r =1

B.

+C .

r

r =1

C.

r

( tan x )

r =1

r +1

r +1

+C .

Dạng 4.6: Tích Phân Hàm Mũ – Lôgarit
1

Câu 115. [Mức độ 1] Tích phân  e − x dx bằng
0

A. e − 1 .

1
−1 .
e

B.

C.

e −1
.
e

D.

1
.
e

2018

Câu 116. [Mức độ 1] Tích phân I =



2 x dx bằng

0

A. 2

2018

22018 − 1
B.
.
ln 2

−1.
4

Câu 117. [Mức độ 2] Biết



f ( x)dx =

−1

A. I = 2e 8 .

1
và.
2

22018
C.
.
ln 2

0



f ( x )dx =

−1

B. I = 4 e 8 − 2 .

Câu 118. [Mức độ 2] Cho F ( x ) =

x2

e

t2

d t . Tính

D. 22018 .

4
−1
. Tính tích phân I =   4e 2 x + 2 f ( x )  d x .
2
0

C. I = 4e 8 .

D. I = 2 e 8 − 4 .

16
C. F ' ( 2) = 4e .

4
D. F ' ( 2 ) = e .

F'( 2) .

0

A. F' ( 2) = 4e .
4

16
B. F ' ( 2) = 8e .

Câu 119. [Mức độ 2] Cho hàm số g ( x ) =

x2

1

 ln t d t

với x > 0 . Đạo hàm của g ( x ) là

x

A. g ' ( x ) = x − 1 .
ln x

B. g ' ( x ) = 1 − x .
ln x

D. g' ( x) = ln x .

C. g ' ( x ) = 1 .
ln x

2

Câu 120. [Mức độ 3].Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn  e kx dx <
1

Số phần tử của tập hợp S bằng.
A. 7.

B. 8.

C. Vô số.

D. 6.

2018.e k − 2018
.
k