VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC
ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
=======================
Từ các hằng đẳng thức đáng nhớ ta có thể suy ra nhiều hằng đẳng thức thức đơn giản khác, thường gọi là hằng đẳng thức quen thuộc, ví dụ: (a + b)3 - (a3 + b3) = 3ab(a + b) (1)
(a - b)3 - (a3 - b3) = -3ab(a - b) (2) ;
(a + b)2 - (a2 + b2) = 2ab (3);
(a - b)2 - (a2 + b2) = -2ab (4), ...
Chúng ta thường xuyên sử dụng chúng trong các biến đổi khi làm toán, đặc biệt khi giải phương trình và hệ phương trình. Vì vậy cần cần rèn luyện để có kỹ năng thuần thục khi sử dụng các đẳng thức trên.
Ví dụ 1: Giải phương trình: (2x2 - x - 1)3 =
Phương trình đã cho tương đương với:
[(x2 + 2x - 2) + (x2 - 3x + 1)]3 - [(x2 + 2x - 2)3 + (x2 - 3x +)3] = 0 ( áp dụng đẳng thức (1)
<=> 3(x2 + 2x - 2)(x2 - 3x + 1)(2x2 - x - 1) = 0
<=>
<=>
Vậy phương trình có 6 nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình: (x2 - 4x - 3)3 = (x2 - x + 3)3 - (3x + 5)3
Tương tự ví dụ 1; áp dụng (2) ta có phương trình tương đương với:
-3(x2 - x + 3)(3x + 5)(x2 - 4x + 2) = 0. Giải ra kết quả là phương trình có 3 nghiệm: -5/3; 2 +
; 2 -

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:

Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ ta có: (x + 1)3 + (y - 1)3 = (x + y)3
<=> (x + 1)3 + (y - 1)3 = [(x + 1)3 + (y - 1)3] <=> (x + 1)3 + (y - 1)3- [(x + 1)3 + (y - 1)3] = 0
<=> (x + 1)(y - 1)(x + y) = 0 (áp dụng (1))
+ Nếu: x + 1 = 0 thì x = -1, thay vào hệ ta có: y3 - 3y2 = 0 <=> y = 0; y = 3
+ Nếu y - 1 = 0 thì y = 1, thay vào hệ ta có: x3 + 3x2 = 0 <=> x = 0; x = -3
+ Nếu x + y = 0 thì x = -y, thay vào hệ ta có: (x + 1)3 = 2x3 <=> x + 1 =
x <=> x =

Suy ra y =

Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm: (-1; 0); (-1; 3); (0; 1); (-3; 1);

Ví dụ 4: Giả�i phương trình:
-
=

Điều kiện để cho các căn thức có nghĩa là: 3x2 + 2x - 1; 2x2 - 3x + 1; 5x2 - x không âm
Bình phương 2 vế của phương trình ta có:
(
-
)2 = 5x2 - x = 3x2 + 2x - 1 + 2x2 - 3x + 1
(
-
)2 = (
)2 + (
)2
<=> (
-
)2 - [(
)2 + (
)2] = 0
<=> 2
.
= 0
<=>
<=> x = -1; x = 1/3; x = 1; x = 1/2
Thử lại ta thấy phương trình chỉ có 2 nghiệm là x = 1 và x = 1/2


BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Giải các phương trình: 1/ 27x3 = (2x + 5)3 + (x - 5)3
2/ (2x2 + 4x - 7)3 = (x2 - x - 3)3 + (x2 + 5x - 4)3
3/
-
=

Bài 2: Giải các hệ phương trình: 1/

2/