MỘT PHƯƠNG PHÁP THAY ĐỔI BIẾN SỐ


Đối với một số bài toán chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức của các biến số thực a, b, c có tích bằng 1, sẽ dễ dàng hơn khi ta biến đổi về dạng đẳng thức hoặc bất đẳng thức của các biến số mới x, y, z với a =
; b =
; c =
. Ở đây vì a, b, c khác 0 nên x, y, z cũng khác 0 và nếu a, b, c dương thì x, y, z cũng dương. Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số thực có tích bằng 1. Chứng minh rằng:
1/
+
+
= 1 (1)
2/


=


(2)
Giải: Vì abc = 1 nên ta có thể đặt: a =
; b =
; c =
với x, y, z là các số thực khác 0. Khi đó ta có: Vế` trái của (1) được biến đổi thành:
1/
+
+
=
+
+
=
= 1
2/ Vế trái của (2) biến đổi thành:


=
=
(*)
Tương tự ta cũng biến đổi được vế phải của (2) về biểu thức (*); Suy ra điều chứng minh.

Ví dụ 2: (IMO 2000) Cho a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng:




1
Giải: Vì abc = 1 và a, b, c là các số thực dương nên ta có thể đặt: a =
; b =
; c =
với x, y, z là các số thực dương. Theo kết quả của ví dụ 1 ta có:



1 <=>
<=>

1 <=> (x - y + z)(y - z + z)(z - x + y)
xyz (*)
Do x, y, z có vai trò như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử: x
y
z
0
Như vậy x - y + z > 0 và y - z + x > 0
+ Nếu z - x + y < 0 thì (*) hiển nhiên đúng
+ Nếu z - x + y > 0; A�p dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có:

;
và

Nhân từng vế của các bất đẳng thức trên ta suy ra được (*)
Vậy (*) đúng với mọi x, y, z là các số thực dương.

Ví dụ 3: Cho a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng:

+
+


(1)
Giải: Vì abc = 1 và a, b, c là các số thực dương nên ta có thể đặt: a =
; b =
; c =
với x, y, z là các số thực dương, thì (1) trở thành:
+
+



<=>


;
Đây chính là bất đẳng thức Nét-sbít cho 3 số dương (xy, yz, zx); Suy ra điều chứng minh.

+Ngược lại: đối với một số bài toán chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức mà các biểu thức (hoặc biến đổi của chúng) có chứa các biểu thức
;
;
việc đặt x =
; y =
; z =
với lưu ý rằng xyz = 1 luôn là một phương pháp hữu hiệu.
Ví dụ 4: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
1/
; 2/

Giải: 1/ Bất đẳng thức cần chứng minh <=>
(1)
Đặt: x =
; y =
; z =
ta có x, y, z là các số thực dương thoả mãn xyz = 1. Suy ra:
(3) <=>

<=> (x + 2)(y + 2) + (y + 2)(z + 2) + (z + 2) (x + 2)
(x + 2)(y + 2)(z + 2)
<=> (xy + yz + zx) + 4(x + y + z) + 12
xyz + 2(xy + yz + xz) + 4(x + y + z) + 8
<=> 4
xyz + xy + yz + xz <=> 3
xy + yz + xz. Đây là bất đẳng thức đúng vì áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương ta có: xy + yz + xz

= 3xyz = 3
Suy ra điều chứng minh.
2/ Có thể chứng minh tương tự câu 1 hoặc sử dụng kết quả câu 1 và đẳng thức:

+
= 3 để nhận được bất đẳng thức cần chứng minh.

Ví dụ 5: Tìm tất cả các số thực dương a, b, c thoả mãn phương trình:


Giải: Đặt x =
; y =
; z =
; xyz = 1 thì phương trình đã cho tương đương với phương trình:

. Quy đồng mẫu số, khai triển các tích và rút gọn với chú ý xyz = 1) ta được phương trình: (xy + yz + zx) - (x + y + z) = 0
<=> xyz - (xy + yz + zx) + (x + y + z) - 1 = 0
<=> (x - 1)(y - 1)(z - 1) = 0
<=> x = 1 hoặc y = 1 hoặc z = 1 <=> a = b; b = c; c = a hay a = b = c

Ví dụ 6: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:




Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:




<=>



Đặt x =
; y =
; z =
; xyz = 1 thì:
<=>



<=> y(x + 1)(y + 1) + z(y + 1)(z + 1) + x(z + 1) (x + 1)
(x + 1)(y + 1) + (y + 1)(z + 1) + (z + 1) (x + 1) <=> (xy2 + yz2 +zx2) + (x2 + y2 + z2) + (xy + yz + zx) + (x + y + z)
(xy + yz + zx) + 2(x + y + z) + 3
<=> (xy2 + yz2 +zx2) + (x2 + y2 + z2)
(x + y + z) + 3
<=> (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 + (x + y + z - 3) + (xy2 + yz2 +zx2 - 3)
0 (**)
A�p dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương với chú ý xyz = 1, ta có:
x + y + z
3.
= 3 và xy2 + yz2 +zx2
3.
= 3
Từ đó suy ra (**) là bất đẳng thức đúng. Nên ta có điều phải chứng minh.

Bài tập áp dụng:
1/ Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 1/
1
2/
1
2/ Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a
b

. Chứng minh rằng: