MỘT KỸ THUẬT CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN
===========
Trong một số bài toán Bất đẳng thức có một số khá nhiều bài toán chứng minh mà các ẩn có điều kiện ràng buộc; dạng: "Cho C
D. Chứng minh A
B"
Có một kỹ thuật để chứng minh là ta đi từ chứng minh: (A - B) + (D -C)
0; Khi đó tử điều kiện C
D ta suy ra được A
B
Sau đây là một số ví dụ:
Bài toán 1: Cho a + b
1. Chứng minh rằng: a2 + b2
1/2
Giải: Ta có (a2 + b2 - 1/2) + (1 - a - b) = a2 + b2 - a - b - 1/2 = (a2 - a + 1/4) + ( b2 - b + 1/4) = (a - 1/2)2 + (b - 1/2)2
0. Mà a + b
1 suy ra: 1 - a - b
0 => a2 + b2 - 1/2
0
Hay a2 + b2
1/2
Bài toán 2: Chứng minh rằng nếu a + b
2 thì a3 + b3
a4 + b4
Giải: Ta có: (a4 + b4 - a3 + b3) + ( 2 - a - b) = a4 - a3 - a + 1 + b4 - b3 - b + 1 =
= (a - 1)(a3 - 1) + (b -1)(b3 - 1) = (a - 1)2(a2 + a + 1) + (b - 1)2(b2 + b + 1)
0
Mà a + b
2 => 2 - a - b
0 => a4 + b4 - a3 + b3
0 => a3 + b3
a4 + b4
Bài toán 3: Cho x, y là các số dương thoả mãn: x3 + y4
x2 + y3. Chứng minh rằng:
x3 + y3
x2 + y2 và x2 + y3
x + y2
Giải: a/ Ta có: (x2 + y2 - x3 - y3) + (x3 + y4 - x2 - y3) = y2 - 2y3 + y4 = y2(y - 1)2
0
Mà x3 + y4
x2 + y3 => x3 + y4 - x2 - y3
0 => x3 + y3
x2 + y2
b/ Ta có: (x + y2 - x2 + y3) + (x3 + y4 - x2 - y3) = x - 2x2 + x3 + y2 - 2y3 + y4 =
= x(1 - x)2 + y2(y - 1)2
0 (vì x > 0)
Mà x3 + y4
x2 + y3=> x3 + y4 - x2 - y3
0 => x2 + y3
x + y2
Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu: a + b + c
3 thì a4 + b4 + c4
a3 + b3 + c3
Giải: Ta có: (a4 + b4 + c4 - a3 - b3 - c3) + (3 - a - b - c) =
= (a - 1)2(a2 + a + 1) + (b - 1)2(b2 + b + 1) + (c - 1)2(c2 + c + 1
0
Mà: a + b + c
3 => 3 - a - b - c
0 => a4 + b4 + c4
a3 + b3 + c3
Bài toán 5: Cho x, y là các số dương thoả mãn x3 + y3 = x - y.
Chứng minh rằng: x2 + y2 < 1
Giải: Ta có: 1 - x2 - y2 = (1 - x2 - y2) + (x3 + y3 - x + y) = x4 - x3 - x + 1 + y4 - y3 + y =
(x - 1)(x2 - 1) + y(y2 - y + 1) = (x + 1)(x - 1)2 + y(y2 - y + 1) > 0 ( vì x; y > 0)
=> x2 + y2 < 1
----((( ----

BÀI TẬP ÁP DỤNG:
1/ Biết rằng x2 + y2
x + y. Chứng minh rằng x + y
2
2/ Biết rằng ab
1. Chứng minh rằng a2 + b2
a + b
3/ Biết rằng x2 + y2
x. Chứng minh rằng y(x + 1)
-1