Mời tất cả độc giả tham gia thảo luận và đề xuất thiết kế cho Trang Chính mới của Wikipedia tiếng Việt.
Số vô tỉ
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Trong toán học, số vô tỉ là số thực không phải là số hữu tỷ, nghĩa là không thể biểu diễn được dưới dạng tỉ số
, với a, b là các số nguyên.
Ví dụ:
Số thập phân vô hạn có chu kỳ thay đổi: 0.1010010001000010000010000001...
Số
= 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 7...
Số pi = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679...
Số lôgarít tự nhiên e = 2,71828 18284 59045 23536...
Người ta đã chứng minh được rằng, tập hợp các số vô tỉ có lực lượng lớn hơn tập hợp các số hữu tỉ. [cần dẫn nguồn]




[sửa] Biểu diễn thập phân
Có thể dùng biểu diễn thập phân (hay sự biểu diễn của một số trong hệ 10 - phân) của một số để định nghĩa số hữu tỉ và số vô tỉ.
Nếu như mọi số hữu tỉ đều có biểu diễn thập phân hoặc hữu hạn (số thập phân hữu hạn, ví dụ:
) hoặc vô hạn tuần hoàn (số thập phân vô hạn tuần hoàn, ví dụ:
) thì số vô tỉ có biểu biễn thập phân vô hạn nhưng không tuần hoàn (ví dụ:
.
[sửa] Các thí dụ về cách chứng minh
[sửa] Căn bậc hai của 2
Giả sử rằng
là một số hữu tỉ. Điều đó có nghĩa là tồn tại hai số nguyên a và b sao cho a / b =
.
Như vậy
có thể được viết dưới dạng một phân số tối giản (phân số không thể rút gọn được nữa): a / b với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau và (a / b)2 = 2.
Từ (2) suy ra a2 / b2 = 2 và a2 = 2 b2.
Khi đó a2 là số chẵn vì nó bằng 2 b2 (hiển nhiên là số chẵn)
Từ đó suy ra a phải là số chẵn vì a2 là số chính phương chẵn (số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ, số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn).
Vì a là số chẵn, nên tồn tại một số k thỏa mãn: a = 2k.
Thay (6) vào (3) ta có: (2k)2 = 2b2
4k2 = 2b2
2k2 = b2.
Vì 2k2 = b2 mà 2k2 là số chẵn nên b2 là số chẵn, điều này suy ra b cũng là số chẵn (lí luận tương tự như (5).
Từ (5) và (8) ta có: a và b đều là các số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết a / b là phân số tối giản ở (2).
Từ mâu thuẫn trên suy ra: thừa nhận
là một số hữu tỉ là sai và phải kết luận
là số vô tỉ.
Cách chứng minh trên có thể được tổng quát hóa để chứng rằng: "căn bậc hai của một số tự nhiên bất kì hoặc là một số nguyên hoặc là một số vô tỉ."
[sửa] Cách chứng minh khác
Để chứng minh: "
là một số vô tỉ" người ta còn dùng phương pháp phản chứng theo một cách khác, cách này ít nổi tiếng hơn cách ở trên.
Giả sử rằng
là một số hữu tỉ. Điều này có nghĩa là tồn tại hai số nguyên dương m và n sao cho m/n =
.
Biến đổi đẳng thức trên, ta có: m/n = (2n - m)/(m - n).
Vì
> 1, nên từ (1) suy ra m > n
m > 2n - m.
Từ (2) và (3) suy ra (2n - m)/(m - n) là phân số rút gọn của phân số m/n.
Từ (4) suy ra, m/n không thể là phân số tối giản hay
không thể là số hữu tỉ - mâu thuẫn với giả thiết
là một số hữu tỉ. Vậy
phải là số vô tỉ.
Cách chứng minh trên tương tự với cách dùng phép dựng hình để chứng minh giả thuyết về số
- một loại phương pháp chứng minh được sử dụng bởi các nhà hình học Hy lạp cổ đại. Xét một tam giác vuông cân mà độ dài tương ứng của các cạnh góc vuông và cạnh huyền là hai số nguyên dương n và m. Áp dụng Định lý Pytago, ta suy ra tỉ số m/n bằng
. Mặt khác, bằng phương pháp dựng hình cổ điển com-pa và thước thẳng ta dựng được một tam giác vuông cân nhỏ hơn với độ dài của các cạnh góc vuông và cạnh huyền tương ứng bằng m − n và 2n − m. Áp dụng Định lý