L�i ng� cđa T�c gi�

T�i bi�n so�n nh�m giĩp c�c em h�c sinh c� thĨ nh�n nh�n ki�n th�c to�n c�p 3 m�t c�ch to�n diƯn h�n, ��ng th�i giĩp cho th�y c� gi�o cđng c� th�m t� liƯu gi�ng d�y cho m�nh

PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP

1. Giai thừa : n! = 1.2...n
0! = 1
n! /(n - k)! = (n - k + 1).(n - k + 2) ... n
2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là :
m + n.
3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n.
4. Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : Pn = n !.
5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn :

6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách :

Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị
7. Tam giác Pascal :
1








1
1






1
2
1





1
3
3
1




1
4
6
4
1











 Tính chất :


8. Nhị thức Newton :
*

a = b = 1 : ...

Với a, b ( {(1, (2, ...}, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa :


*

Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa
bằng cách :
- Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = (1, (2, ... a = (1, (2, ...
- Nhân với xk , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = (1, (2, ... , a = (1, (2, ...
- Cho a = (1, (2, ...,
hay

Chú ý :
* (a + b)n : a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x :

Giải pt : m = 0, ta được k.
* (a + b)n : a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ.


Giải hệ pt :
, tìm được k
* Giải pt , bpt chứa
: đặt điều kiện k, n ( N* ..., k ( n. Cần biết đơn giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung.
* Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp).
* Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường hợp.
* Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau :
số cách chọn thỏa p.
= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p.
Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác.
* Vé số, số biên lai, bảng số xe ... : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang phải).
* Dấu hiệu chia hết :
- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4.
- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8.
- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3.
- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9.
- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5.
- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3.
- Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75.
1. Chuyển vế : a + b = c ( a = c - b; ab = c (

a/b = c (
;







2. Giao nghiệm :




Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm.
3. Công thức cần nhớ :
a.
: chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất
phải đặt điều kiện.






b.
: phá
bằng cách bình phương :
hay bằng định nghĩa :










c. Mũ :





d. log : y = logax , x > 0 , 0 < a ( 1, y ( R
y( nếu a > 1, y( nếu 0 < a < 1, ( = logaa(
loga(MN) = logaM + logaN (
)
loga(M/N) = logaM - logaN (
)

(()
logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc
logbc = logac/logab,

loga(1/M) = - logaM, logaM = logaN ( M = N


Khi làm toán log, nếu miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định. Mất log phải có điều kiện.
4. Đổi biến :
a. Đơn giản :

Nếu trong đề bài có điều kiện của x, ta chuyển sang điều kiện của t bằng cách biến đổi trực tiếp bất đẳng thức.
b. Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định của f.
c. Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện của t.
d. Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên.
5. Xét dấu :
a. Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu.
b. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0.
c. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f.
6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với ( :
f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a
0)
* S = x1 + x2 = - b/a ; P = x1x2 = c/a
Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x1,x2) = 0 không đối xứng, giải hệ pt :

Biết S, P thỏa S2 - 4P ( 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 - SX + P = 0
* Dùng (, S, P để so sánh nghiệm với 0 :
x1 < 0 < x2 ( P < 0, 0 < x1 < x2 (

x1 < x2 < 0 (

* Dùng (, af((), S/2 để so sánh nghiệm với ( : x1 < ( < x2 ( af(() < 0
( < x1 < x2 (
; x1 < x2 < ( (

( < x1 < ( < x2 (
; x1 < ( < x2 < ( (

7. Phương trình bậc 3 :
a. Viête : ax3 + bx2 + cx + d = 0
x1 + x2 + x3 = - b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = - d/a
Biết x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C
thì x1, x2, x3 là 3 nghiệm phương trình : x3 - Ax2 + Bx - C = 0
b. Số nghiệm phương trình bậc 3 :
( x = ( ( f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ( 0) :
3 nghiệm phân biệt (

2 nghiệm phân biệt (

1 nghiệm (

( Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (C) : y = f(x) và (d) : y = m.
( Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (Cm) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0
3 nghiệm (


2 nghiệm (


1 nghiệm ( (y` ( 0 (


c. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC :
(

d. So sánh nghiệm với ( :
( x = xo ( f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ( 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2 f(x) với (.
( Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa ( vào BBT.
( Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox)
( < x1 < x2 < x3 (

x1 < ( < x2 < x3 (

x1 < x2 < ( < x3 (

x1 < x2 < x3 < ( (

8. Phương trình bậc 2 có điều kiện :
f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ( 0), x ( (
2 nghiệm (
, 1 nghiệm (

Vô nghiệm ( ( < 0 (

Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN.
9. Phương trình bậc 4 :
a. Trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0 (a ( 0) (

t = x2 ( x = (

4 nghiệm (
; 3 nghiệm (

2 nghiệm (
; 1 nghiệm (

VN ( ( < 0 (
( ( < 0 (

4 nghiệm CSC (

Giải hệ pt :

b. ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0. Đặt t = x +
. Tìm đk của t bằng BBT :

c. ax4 + bx3 + cx2 - bx + a = 0. Đặt t = x -
. Tìm đk của t bằng BBT : t ( R.
d. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x2 + (a + b)x. Tìm đk của t bằng BBT.
e. (x + a)4 + (x + b)4 = c. Đặt :
, t ( R.

10. Hệ phương trình bậc 1 :
. Tính :
D =
, Dx =
, Dy =

D ( 0 : nghiệm duy nhất x = Dx/D , y = Dy/D.
D = 0, Dx ( 0 ( Dy ( 0 : VN
D = Dx = Dy = 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết).
11. Hệ phương trình đối xứng loại 1 :
Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy.
ĐK : S2 - 4P ( 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S2 - 4P ( 0;
Thế S, P vào pt : X2 - SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y.
((, () là nghiệm thì ((, () cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất
( ( = ( ( m = ?
Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không.
12. Hệ phương trình đối xứng loại 2 :
Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0.
Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1.
13. Hệ phương trình đẳng cấp :

Xét y = 0. Xét y ( 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. Có thể xét x = 0, xét x ( 0, đặt y = tx.
14. Bất phương trình, bất đẳng thức :
* Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của
, log, mũ có thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB.
* Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều
số âm : có đổi chiều
Chia bất phương trình : tương tự.
* Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm.
* Bất đẳng thức Côsi :
a, b ( 0 :

Dấu = xảy ra chỉ khi a = b.
a, b, c ( 0 :

Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c.
* Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d
(ac + bd)2 ( (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d
15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm :
Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số nghiệm bằng số điểm chung.
Nếu có điều kiện của x ( I, lập BBT của f với x ( I.
16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x ( I :
Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x ( I.
f(x) ( m : (C) dưới (d) (hay cắt)
f(x) ( m : (C) trên (d) (hay cắt)
III- LƯỢNG GIÁC

1. Đường tròn lượng giác :
Trên đường tròn lượng giác, góc ( đồng nhất với cung AM, đồng nhất với điểm M. Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2(.
Trên đường tròn lượng g