Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006
Đề thi chính thức Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Tin)
Ngày thi: 22 tháng 6 năm 2006
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2 điểm):
Cho phương trình: 2x2-5mx-m2+5m=0.
Giải phương trình khi
.
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Câu 2 (2 điểm):
Giải hệ phương trình:

Giải phương trình:
.
Câu 3 (1 điểm):
Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn xyz=1. Chứng minh rằng nếu

thì có một và chỉ một số lớn hơn 1.
Câu 4 ( 2 điểm):
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(2;3) và B(-1;1).
Tìm trên trục hoành Ox điểm M sao cho 3 điểm A, B, M thẳng hàng.
Tìm trên trục hoành Ox điểm P sao cho PA+PB nhỏ nhất.
Câu 5 (2 điểm):
Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến ME và MF đến đường tròn (E, F là các tiếp điểm). Trên cung nhỏ EF lấy điểm P bất kỳ. Tiếp tuyến với đường tròn tại P cắt ME, MF lần lượt tại A và B.
Chứng minh rằng tam giác MAB có chu vi không đổi.
Xác định vị trí điểm P để tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
Câu 6 (1 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia BA lấy điểm K sao cho AK=2AB. Từ B và K vẽ các tia Bx//CK và Ky//CB, Bx cắt Ky tại điểm P. Chứng minh rằng
cos2KBC+sin2KAP>
.

------------------Hết-------------------
Họ và tên thí sinh:...........................................Số báo danh:.................................
Chữ ký giám thị 1:............................Chữ ký giám thị 2:.................................
Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006
Đề thi chính thức Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Tin)

hướng dẫn chấm thi
Bản hướng dẫn này gồm 3 trang
I. Hướng dẫn chung:
Đáp án dưới đây chỉ trình bày một lời giải, nếu học sinh làm bằng cách khác mà đúng, vẫn cho điểm tối đa.
Việc chi tiết hoá điểm số (nếu có) phải đúng với hướng dẫn chấm và được thống nhất trong toàn Hội đồng chấm thi.
Điểm toàn bài lấy theo thang điểm 10 và làm tròn đến 0,5 (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,5 làm tròn thành 1,0).
II. Đáp án và thang điểm:
Câu

Điểm

Câu 1


1. Với
phương trình đã cho trở thành
.
Do tổng các hệ số bằng không nên pt có hai nghiệm là x1=1 và
.
2. Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi a.c<0
suy ra 2(-m2+5m)<0
vậy


0,5đ

0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ

Câu 2
1. Cộng từng vế hai pt của hệ ta được hệ tương đương :
(
.
Thay
vào phương trình thứ 2 của hệ, ta được:

.
Từ đó suy ra hệ đã cho có 4 nghiệm là (3;5),
, (-5;-3),
,


0,5đ



0,25đ


0,25đ



2. Điều kiện: 4Từ đó suy ra x2=4y2+4. Thay vào phương trình đã cho ta có:

.
hay 1+|y|=4-4y2 hay 4y2+|y|-3=0. Giải phương trình này ta được
.
Suy ra
,
.


0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

Câu 3
Xét biểu thức A=(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1.
Vì xyz=1 nên A=x+y+z-
=
.
Theo giả thiết,
suy ra A>0.
Nếu cả ba nhân tử (x-1), (y-1), (z-1) đều dương thi x, y, z đồng thời lớn hơn 1, trái với với giả thiết xyz=1.
Vậy chỉ xảy ra trường hợp có đúng một nhân tử dương, tức là có đúng một số trong ba số x, y, z lớn hơn 1.


0,25đ

0,25đ


0,25đ

0,25đ

Câu 4
1. Phương trình đường thẳng AB có dạng: y=ax+b (vì xA≠xB). Thay các toạ độ vào ta có:
, vậy đường thẳng AB có phương trình:
. Giao của đường thẳng AB với trục hoành là điểm

2. Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua Ox, suy ra A1(2;-3). Gọi P là giao của A1B với Ox, thế thì P là điểm cần tìm. Thật vậy:
Với điểm Q bất kỳ trên Ox, khác P thì QA+QB=QA1+QB>A1B=PA1+PB=PA+PB bé nhất.
đường thẳng A1B có phương trình
, P thuộc trục hoành nên y=0,
vậy P có toạ độ
.



0,5đ




0,5đ





0,5đ


0,5đ


Câu 5
Vì AE và AP là tiếp tuyến nên AE=AP.
Tương tự, BF=BP. Chu vi tam giác ABM
là AB+BM+MA=MA+AE+MB+BF=
2ME không đổi.
Trước hết ta chứng minh (ABC có góc
A không đổi và đường cao AH=h không đổi
Thì diện tich nhỏ nhất khi nó là tam giác
cân. Thật vậy: ta có thể giả sử AC>AB
Xét tam giác cân AB1C1 đỉnh A, góc A không đổi, đường cao h. Trên AC
lấy AQ=AB, suy ra tam giác ABB1
bằng tam giác AQC1. Suy ra
diện tích AB1C1 bằng diện tích tứ giác
ABC1Q


Trở lại bài toán ta có:
S(MAB= SMEOF – SAEOFB=SMEOF-2SOAB. Do diện tích SMEOF không đổi nên SMAB lớn nhất khi SOAB nhỏ nhất. Do góc AOB không đổi, đường cao OP=R không đổi, vậy theo chứng minh trên, diện tích tam giác MAB lớn nhất khi OAB là tam giác cân, tức là P là điểm chính giữa cung EF.


0,5đ

0,5đ








0,5đ













0,5đ

Câu 6

Gọi H là trung điểm của AK, ta có HK=AB, BP//CK, KP//CB, vậy BP=CK.
Góc ABP =góc HKC suy ra (ABP=(HKC. Vậy CH=PA.
Lại do CH=CB nên PA=CB. Vậy
PK=PA, hay góc PAK bằng góc PKA và bằng góc KBC. Suy ra cos2((KBC)=
.
sin2((KAB)=
, suy ra cos2((KBC)+ sin2((KAB)=1>
.





0,5đ






0,5đ