1. Số thực là gì?
Trong thế kỷ 17, Rene Descartes - một nhà toán học người Pháp - đưa ra khái niệm số
thực đầu tiên để phân biệt giữa các giá trị nghiệm thực và giá trị nghiệm ảo của đa
thức. Tuy nhiên, đến năm 1871, Georg Cantor - một nhà toán học khác - đã công bố
khái niệm số thực chính xác nhất và cho đến ngày nay, chúng ta vẫn sử dụng khái niệm
số thực này.
Số thực, tiếng Anh là Real numbers là tập hợp bao gồm số dương (1,2,3), số 0, số âm
(-1,-2,-3), số hữu tỉ (5/2, -23/45), số vô tỉ (số pi, số √ 2). Số thực là loại số được định
nghĩa dựa trên tính chất của chính nó, và tập hợp các số thực được tạo thành từ sự kết
hợp giữa tập hợp các số vô tỉ và tập hợp các số hữu tỉ. Các số thực có thể là đại số
hoặc siêu việt, và tập hợp số thực được đối chiếu với tập hợp số phức. Mặc dù không
có định nghĩa chính thức, số thực thường được mô tả theo nhiều cách khác nhau và
bao gồm cả số dương, số 0 và số âm.
Trong toán học thì số thực là một giá trị của một đại lượng liên tục, được biểu thị bằng
một khoảng cách dọc theo một đường thẳng. Tính từ thực này được giới thiệu vào thế
kỷ 17 bởi một nhà toán học người Pháp tên là Rene Descartes, ông là người phân biệt
giữa nghiệm thực và ảo của đa thức.  
Các số thực sẽ bao gồm tất cả các số hữu tỉ, bao gồm các số nguyên và số thập phân.
Ví dụ như số nguyên -5, phân số 4/3 và tất cả cả các số vô tỉ như:  √2(1.41421356…,
căn bậc 2 của số 2, số đại số vô tỉ). Nằm trong các số vô tỉ là số siêu việt, chẳng hạn
như π(3.14159256…). Ngoài việc đo khoảng cách thì số thực còn được sử dụng để đo
các đại lượng khác như thời gian, năng lượng, khối lượng, vận tốc và rất nhiều đại
lượng khác.
Về tính chất thì tập hợp số thực là tập hợp vô hạn và không đếm được. Nghĩa là khi tập
hợp các số tự nhiên và tập hợp của tất cả các số thực thì đều là tập hợp vô hạn. Không
thể có hàm đơn ánh từ số thực tới các số tự nhiên, lực lượng của tập hợp tất cả các số
thực thường lớn hơn rất nhiều so với tập hợp của tất cả các số tự nhiên.
Tập hợp các số thực sẽ được ký hiệu là R.
 

2. Các tính chất cơ bản của số thực
Mọi số thực khác 0 đều có thể là số dương hoặc số âm. Khi tính tổng hoặc tích của hai
số thực không âm, kết quả sẽ là một số thực không âm và chúng sẽ tạo thành một vành
số dương. Điều này cho phép xác định một thứ tự tuyến tính của các số thực dọc theo
một trục số.

Tập hợp các số thực không thể đơn ánh tới tập hợp các số tự nhiên. Do đó, tập hợp
các số thực là một tập hợp vô hạn các phần tử, có nhiều phần tử hơn so với bất kỳ tập
hợp đếm được nào khác.
Số thực được sử dụng để thực hiện các phép đo đại lượng liên tục và có thể được biểu
diễn dưới dạng biểu thức thập phân. Hầu hết chúng có một chuỗi các chữ số vô hạn ở
bên phải của dấu thập phân và thường được biểu diễn dưới dạng ví dụ như
324.832122147…, với dấu chấm lửng thể hiện rằng còn rất nhiều chữ số khác sẽ xuất
hiện.
 

3. Thuộc tính của số thực
Số thực là một loại số có hai thuộc tính cơ bản quan trọng đó là: thuộc tính cận trên
thấp nhất và thuộc tính trường có thứ tự.
- Thuộc tính cận trên thấp nhất cho biết rằng nếu tập hợp của một số thực không trống
có giới hạn trên thì tập hợp này sẽ có cận trên, tức là những số thực nhỏ nhất. Ví dụ,
tập hợp {1, 2, 3} có giới hạn trên là 3, vì vậy nó có cận trên là 3.
- Thuộc tính trường có thứ tự cho biết rằng các số thực có thể được sắp xếp hoàn toàn
trên một trục số hoành theo một cách tương thích với phép cộng và phép nhân. Điều
này có nghĩa là, nếu x và y là hai số thực bất kỳ, thì ta luôn có thể biết được x < y, x =
y, hay x > y. Tức là, các số thực tạo thành một trường có thứ tự, mà trong đó phép
cộng, trừ, nhân và chia đều được thực hiện theo cách tương thích với thứ tự này.
 

4. Số thực bao gồm những số nào?

H O Ạ T H UY Ế T K I N G P H A R

Một lần mỗi ngày, cải thiện mất ngủ, căng thẳng, đau đầu, ù tai
TÌM HIỂU THÊM

Tập hợp số thực sẽ bao gồm các số tự nhiên, các số nguyên, các số hữu tỉ và các số
vô tỉ. Do vây, số thực là tập hợp số lớn nhất. 
Bất kì số thực khác đều có thể là số âm hoặc là số dương, trừ số 0 nằm ở trung tâm
trục số. Tập hợp số thực bản chất đều là các tập hợp số vô hạn. Tuy nhiên, do quy mô
của tập hợp số thực quá lớn nên số lượng các số thực là không thể đếm được.
Tóm lại, tập hợp số thực R sẽ bao gồm:

– Tâp hợp các số tự nhiên (kí hiệu là N): N = {0, 1, 2, 3,…}
– Tập hợp các số nguyên (kí hiệu là Z): Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}
– Tập hợp các số hữu tỉ (kí hiệu là Q): Q = {x = a/b; với điều kiện là số a,b ϵ Z, và b ≠0}
– Tập hợp các số vô tỉ (kí hiệu là I): I ={số thập phân vô hạn không có tuần hoàn, ví dụ
số pi, các số căn như √2, √3,…}
 

5. Các dạng bài tập thường gặp về số thực và hướng dẫn cách giải
Dạng 1: Các câu hỏi về bài tập hợp số
Hướng dẫn giải:
Lưu ý các ký hiệu về tập hợp số:
+ N: Tập hợp các số tự nhiên
+ Z: Tập hợp các số nguyên
+ Q: Tập hợp các số hữu tỉ
+ I: là tập hợp các số vô tỉ
+ R: là tập hợp các số thực.
Ta có quan hệ giữa các tập hợp số như sau: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R; I ⊂ R.
Dạng 2: là tìm số chưa biết trong một đẳng thức
Hướng dẫn giải:
+ Sử dụng từ tính chất của các phép toán 
+ Sử dụng quan hệ giữa các số hạng trong một tổng và một hiệu. Quan hệ giữa các
thừa số trong một tích, quan hệ giữa số bị chia, số chia và thương của phép chia.
+ Sử dụng đến quy tắc chuyển vế, phá ngoặc.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức nào đó
Hướng dẫn giải:
+ Thực hiện phối hợp các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa. Tuy nhiên, bạn
cần chú ý đến thứ tự thực hiện.
+ Rút gọn các phân số khi cần thiết
+ Chú ý để vận dụng các tính chất của phép toán sao cho thích hợp.
Dạng 4: So sánh các số thực:
Hướng dẫn giải:
Để giải dạng bài tập này cần phải nắm chắc kiến thức dưới đây:
– Với hai số thực x và y bất kì, ta sẽ có như sau: x = y hoặc x < y hoặc x > y.
– Với các số thực lớn hơn số 0 thì được gọi là số thực dương và ngược lại, các số thực
nhỏ hơn số 0 thì được gọi là số thực âm.

– Số 0 không phải là số thực dương cũng không là số thực âm.
– Khi so sánh các số thực dương cũng là tương tự như khi so sánh các số hữu tỉ.
– Với hai số a và b là hai số thực dương, điều kiện nếu a > b thì √a > √b.
Ví dụ: Cho các số thực sau: -11; 3, -1,5; 6; 6,5 . Hãy sắp xếp các số thực này theo thứ
tự từ lớn đến nhỏ.
Hướng dẫn giải:
Sắp xếp các số thực trên theo thứ tự từ lớn đến nhỏ là:
6,5 > 6 > 3 > -1,5 > -10.