Tản mạn về số chính phương
Việt Long

Sự tuần hoàn của một số chính phương
            Quan sát các chữ số cuối của các bình phương các số từ 1 đến 9 ta thấy xuất hiện dãy số 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. Bình phương của 10 là 100, có chữ số cuối là 0. Các bình phương của các số tiếp theo cũng có các chữ số cuối lập thành dãy số 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. tất cả các bình phương của các số tự nhiên có các chữ số cuối lặp đi lặp lại trong vòng tuần hòan này, hiện tượng lặp đi lặp lại vô số lần. Vòng lặp đi lặp lại này có số 0 làm ranh giới.
            Người ta còn phát hiện “số gốc” của các bình phương chỉ có thể là 1, 4, 7, 9. mà không thể là các chữ số khác. Người ta gọi “số gốc” của một số là chỉ con số thu được khi cộng dần các chữ số có trong con số, khi tổng số là sốlớn hơn 9 thì thì lại tính tổng các chữ số của kết quả đó, cứ tiếp tục như vậy đến khi nào kết quả là số có 1 chữ số, chữ số còn lại đó gọi là “số gốc” của con số đã xét (hiểu theo cách khác là lấy tổng các chữ số của số đó đem chia cho 9, ta lấy số dư của phép chia đó). Như vậy “số gốc” chính là kết quả phép tính cộng dồn các chữ  số có trong một con số, lấy số 9 làm điểm dừng.
Ví dụ 1 “số gốc” của 135 là 9, “số gốc” của 246 là 3…
Ứng dụng tính chất vừa nêu ta có thể phán đoán một số có phải là một số chính phương hay không.
Ví dụ 2 Xét xem số A=98765432123456789 có phải là một số chính phương hay không ?
Để tìm số gốc của con số trên, ta có thể tính như sau :
Cách 1
9+8+7+6+5+4+3+2+1+2+3+4+5+6+7+8+9 =  9+9+(8+1)+2(7+2)+2(6+3)+2(5+4)+8 = 9M + 8, suy ra số đã cho có số gốc là 8.
Cách 2 
9+8+7+6+5+4+3+2+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 89; 8 + 9 = 17;  1 + 7 = 8 suy ra số đã cho có số gốc là 8. (Hay   89 : 9 = 9 dư 8, suy ra số đã cho có số gốc là 8). Số gốc là 8 khác 1,4,7,9 nên số A không là số chính phương.
Số gốc của các số chính phương còn lập thành một dãy số tuần hoàn  1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1. Ở đây chữ số ranh giới là chữ số 9 chứ không phải là chữ số 0 như tính chất trên.
Ví dụ 3   
100 ( bình phương của 10) có số gốc là 1
121 ( bình phương của 11) có số gốc là 4
144 ( bình phương của 12) có số gốc là 9
169 ( bình phương của 13) có số gốc là 7
196 ( bình phương của 14) có số gốc là 7
225 ( bình phương của 15) có số gốc là 9
256 ( bình phương của 16) có số gốc là 4
289 ( bình phương của 17) có số gốc là 1
324 ( bình phương của 18) có số gốc là 9  (ranh giới của chu kỳ).
361 ( bình phương của 13) có số gốc là 1  (ranh giới lặp lại.)

Sự kì lạ của số lẻ
Ta có        
1 + 3 = 4   = 22                                         
1 + 3 + 5  = 9   = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
1 + 3 + 5 + 7 + 9   = 25 = 52
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 62
1 + 3 + 5 + 7 + 9 +11 + 13 = 49 = 72
……….
 Đến đây dự đoán quy luật: Tổng n số lẻ đầu tiên là một số chính phương
1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = n2.
 
Lại thêm một điều thú vị
Bạn nghĩ sao về câu nói: “Tổng lập phương các số tự nhiên liên tiếp từ 1 là một số chính phương”? Ta dễ dàng kiểm tra bằng máy tính như sau:
13 +23    = 9      = 32
13 +23 + 33    = 36    = 62
13 +