SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VIET ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

Tác giả: Nguyễn Đễ. Nguồn: Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ
Định lý Vi-ét là một định lý quen thuộc, nhưng sử dụng định lý trong những bài toán cụ thể lại là việc không đơn giản. Điều quan trọng hơn cả là hãy từ giả thiết của bài toán làm thế nào đó để có được biểu diễn của tổng và tích hai đại lượng, từ đó dẫn đến một phương trình bậc hai. Cuối cùng là tính biệt số
của phương trình và giải bất phương trình
Thật khó có thể nêu lên cách giải tổng quát, vì vậy thông qua các ví dụ, bạn đọc tự rút ra những nhận xét quan trọng để vận dụng khi giải toán. Ví dụ 1. Cho các số thực x,y,z khác 0 và thỏa mãn điều kiện
và
Chứng minh rằng
Lời giải: Dễ thấy
Suy ra
là các nghiệm của phương trình:
Ta có
Từ đây dễ dàng suy ra
Ví dụ 2. Các số thực
thỏa mãn điều kiện
và
. Chứng minh rằng
Lời giải. Từ điều kiện của bài toán ta có
và
Suy ra
là nghiệm của phương trình:
Có
Từ đây dễ suy ra đpcm Ví dụ 3. Giả sử
là nghiệm của PT
. Tìm tất cả các giá trị của
để có BDT
Lời giải. Ta xét a trong hai trường hợp
Nếu
thì
với mọi k. Khi đó PT đã cho luôn có hai nghiệm khác nhau và khác dấu. Điều đó dẫn đến BDT đã cho đúng với mọi k
Nếu

Ta có
Áp dụng công thức trên ta được: Nhưng
(dễ dàng có nhờ định lý Viet) Vậy Đặt
ta có
Suy ra
hay
Ví dụ 4. Giả sử
là nghiệm của phươn trình
Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có BDT
Lời giải. Dễ thấy
Ta có:



Mặt khác
Vậy
Tới đây chỉ áp dụng định lý Viet là xong. Nhận xét: Hai ví dụ trên thuộc dạng bài toán tìm kiếm giá trị của tham số. Cách tìm kiếm này dựa trên các phép biến đổi tương đương và phương trình bậc hai cho trước có chứa tham số được khai thác được nhờ định lý Viet. Kết thúc bài viết. Nhận xét thêm của diễn đàn: Các bạn thử đọc lại ví dụ 1 và ví dụ 2, hãy dùng định lý Viet để sáng tạo ra các bài toán BDT mới xem nào