Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên một miền

để phục vụ cho việc giải bài toán này chúng cần thêm kiến thức sau đây.




VD1: Tìm m để hàm số 
 đồng biến trên R. Giải TXĐ: D = R
f`(x) = 0 tối đa 2 nghiệm Để hàm số đồng biến trên R thì 





KL: 
VD2: Tìm m để hàm số 
 đồng biến trên R Giải  TXĐ: D = R

TH1: 

  hàm số đồng biến trên R
  m=2 (không thỏa mãn) TH2: 
f`(x) là tam thức bậc hai có tối đa 2 nghiệm  Hàm số đồng biến trên R khi  


VD3: Tìm m để hàm số 
 nghịch biến trên 
Giải TXĐ: D = R
f(x) là tam thức b2, f(x) = 0 có tối đa 2 nghiệm Để hàm số nghịch biến trên  thì


Xét 
 trên 


KL: 
VD4: Tìm m để hàm số 
a) Nghịch biến trên các khoảng  
​b) Đồng biến trên các khoảng 
Giải a) D=R {2}

TH1: 
Khi đó  
Hàm số 

Hàm số không đồng biến, nghịch biến trên 
TH2: 
Hàm số nghịch biến
 thì 


KL: 
b)
TH1: 
(tương tự a) 
 ( không thỏa mãn) TH2: 

Hàm số đồng biến trên 
 khi 


KL: 

Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số mm để hàm số f(x)=2x3+3x2+6mx–1f(x)=2x3+3x2+6mx–1 nghịch biến trên (0;2)(0;2).
Giải
TXĐ: RR Ta có f′(x)=6x2+6x+6m=6(x2+x+m).f′(x)=6x2+6x+6m=6(x2+x+m). Δ=1–4mΔ=1–4m. *) Với m≥14m≥14 ta có Δ≤0Δ≤0 nên f′(x)≥0,∀x∈Rf′(x)≥0,∀x∈R. Do đó hàm số luôn đồng biến. Yêu cầu của bài toán không được thỏa mãn. *) Với m<14m<14 ta có Δ>0Δ>0 nên phương trình f′(x)=0f′(x)=0 có hai nghiệm x1,x2(x1
Từ bảng biến thiên, điều kiện cần và đủ để hàm số f(x)f(x) nghịch biến trên (0;2)(0;2) là: x1≤0<2≤x2⇔{x1x2≤0(x1−2)(x2−2)≤0⇔{m≤0m≤−6⇔m≤−6x1≤0<2≤x2⇔{x1x2≤0(x1−2)(x2−2)≤0⇔{m≤0m≤−6⇔m≤−6 Kết luận: hàm số f(x)f(x) nghịch biến trên (0;2)(0;2) khi và chỉ khi m≤−6.m≤−6. Từ ví dụ 1, ta có lưu ý: đối với dạng toán này, nếu dấu của đạo hàm phụ thuộc dấu một tam thức bậc 2, phải chia hai trường hợp. * TH1: Δ≤0Δ≤0. Hàm số đã cho hoặc luôn đồng biến, hoặc luôn nghịch biến. * TH2: Δ>0Δ>0. Ta lập bảng biến thiên và sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai hoặc định lí Vi-et. Xin đưa thêm một số ví dụ: Ví dụ 2. Tìm điều kiện của tham số mm để hàm số sau đồng biến trên khoảng (−∞;1)(−∞;1)
f(x)=x2+m(m2−1)x−m3−1x−1f(x)=x2+m(m2−1)x−m3−1x−1
Giải

TXĐ: : R∖{1}R∖{1} Ta có: f′(x)=x2−2x+m+1(x−1)2,∀x≠1f′(x)=x2−2x+m+1(x−1)2,∀x≠1 dấu của f′(x)f′(x) phụ thuộc dấu của g(x)=x2–2x+m+1g(x)=x2–2x+m+1 Ta có: Δ′=−mΔ′=−