PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
A. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
1. Phương pháp:

Đưa chúng về dạng sau:
+)
mà
hay
với a là hằng số
Nghiệm của phương trình là các giá trị
thoả mãn

+)
(m là hằng số) mà ta luôn có
thì nghiệm của phương trình là các giá trị
làm cho dấu của đẳng thức xảy ra.

Một số bất đẳng thức thường hay sử dụng:
+) Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy):
Đối với
là các số không âm. Ta có:

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
.
+) Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz (BCS, Bunhiacopski):
Đối với 2 cặp số thực (a,b) và (
). Ta có:

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
hoặc
.
2. Ví dụ:
1) Giải phương trình:

Giải:
Điều kiện:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski. Ta có:


Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:


Vế trái của phương trình đã cho

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi:

(thoả mãn)
Vậy
là nghiệm của phương trình.
2) Giải phương trình:

Giải:
Điều kiện:

Từ phương trình, áp dụng bất đẳng thức Cauchy. Ta có:






(chọn)
Vậy
là nghiệm của phương trình.
3) Giải phương trình:

Giải:
Điều kiện:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: VT

Mặt khác, ta có:
VP



Đẳng thức xảy ra

(thoả mãn điều kiện)
Vậy
là nghiệm của phương trình.
4) Giải phương trình:

Giải:
Điều kiện:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có



Vậy phương trình đã cho tương đương với hệ sau:

Kết hợp với điều kiện ta tìm được

Vậy
là nghiệm của phương trình.

5) Giải phương trình:

Giải:
Điều kiện:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy. Ta có


Cộng theo vế (1), (2), (3) ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski. Ta có



Đẳng thức xảy ra

(thoả mãn)
Vậy
là nghiệm của phương trình.
6) Giải phương trình:

Giải:
Dễ thấy
không phải là nghiệm của phương trình, chia 2 vế của phương trình cho
, viết lại phương trình dưới dạng:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy. Ta có


Đẳng thức xảy ra


Vậy
là nghiệm của phương trình.
7) Giải phương trình:

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có





Đẳng thức xảy ra




Vậy phương trình có tập nghiệm
.
8) Giải phương trình:

Giải:
Với
,
(vô lý)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có


(1)


(2)
Lấy (1) +(2) ta có:



Đẳng thức xảy ra

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
.
9) Giải phương trình:

Giải:
Ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau:

Thật vậy:




Áp dụng ta có:


Do đó phương trình trên tương đương

Vậy phương trình có nghiệm
.
10) Giải phương trình:

Giải:
Điều kiện:

Để dễ dàng hơn trong việc đánh giá ta viết lại phương trình:

Nhận thấy
là 1 nghiệm của phương trình. Ta chứng minh nghiệm này là duy nhất.
Nếu
, khi đó
, phương trình vô nghiệm.
Nếu
, khi đó
, phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm
.
3. Bài tập tương tự:
1) Giải phương trình:

Gợi ý: Điều kiện:

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, sau đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy.
Xét dấu “ = ” xảy ra. Ta tìm được nghiệm

Đáp số:
.
2) Giải phương trình:

Gợi ý: Ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau:

Dấu “ = ” xảy ra


. Đáp số:
.
3) Giải phương trình:

Gợi ý: Ta đi chứng minh bất đẳng thức sau:

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
4) Giải phương trình:

Gợi ý: Để ý ta