Tập hợp


 



1.  Mét sè kh¸i niÖm
+  TËp hîp A, chøa c¸c phÇn tö x, y, ...,
                   A = {x, y, ...}, x  A, y  A
+  TËp hîp A chøa c¸c phÇn tö x tháa m·n ®iÒu kiÖn P.
                   A = {x x tháa m·n ®iÒu kiÖn P}
+   gäi lµ tËp rçng (tËp hîp kh«ng cã phÇn tö).
+  A  B th× A lµ tËp con cña tËp B.
+  A = B th× tËp A vµ tËp B ®Òu lµ tËp con cña nhau.
2.  C¸c phÐp to¸n vÒ tËp hîp
+  Hîp
                   A  B = {x  A hoÆc x  B}
+  A  B = B  A ; (A  B)  C = A  (B  C)
A  A = A ; A  A  B ; B  A  B
A   = A
+  Giao
       A  B = {x  A vµ x  B}
+  A  B = B  A ; A  B  B ; A  B  A
A  A = A ; (A  B)  C = (A  C)  (B  C)
A   =  ; (A B)  C = (A  C)  (B  C)
+  (A  B)  C = A  (B  C)
+  HiÖu
       A B = {x | x  A vµ x  B}
       A A = 
       (A B)  C = (A  C) B = (A  C) (B  C)
       A B = A (A  B)
       A = (A  B)  (A B)
+  PhÇn bï   
                 CAS = A S (S  A)
3.  TËp hîp sè
+  TËp hîp sè tù nhiªn
                   N = {0, 1, 2, ...}
+  TËp hîp sè nguyªn
                   Z = {... -2, -1, 0, 1, 2, ...}
+  TËp hîp sè h÷u tØ
                  

+  TËp hîp sè thùc
                          R = {a0, a1, a2, ...| a0  Z, ak  {0, 1, 2, ..., 9}}
Nh vËy ta cã :                  N  Z  Q  R


Hµm sè


 



¸nh x¹
Hµm sè
Nh÷ng hµm sè c¬ b¶n


anh x¹


 



 Cho hai tËp hîp X, Y. Mét ¸nh x¹ f tõ X ®Õn Y, Y lµ mét qui t¾c cho øng víi mçi x  X mét vµ chØ mét phÇn tö y  Y, ký hiÖu lµ
                  

X lµ tËp nguån, Y lµ tËp ®Ých, phÇn tö y = f(x) lµ ¶nh cña phÇn tö x  X.
¸nh x¹ tÝch
                  

                  

Th× F gäi lµ ¸nh x¹ tÝch cña hai ¸nh x¹ f vµ g, ký hiÖu lµ F = g0f.


Hµm sè


 



Cho hai tËp hîp sè X vµ Y (X  R, Y  R). Mét ¸nh x¹ f tõ X ®Õn Y lµ mét hµm sè f tõ X ®Õn Y, ký hiÖu lµ :
                  

x gäi lµ ®èi sè
y = f(x) gäi lµ hµm sè
*  TËp x¸c ®Þnh
TËp hîp c¸c sè thùc x sao cho nhê biÓu thøc cña hµm sè ta tÝnh ®îc y = f(x), ®ã lµ tËp x¸c ®Þnh X = Df
*  TËp gi¸ trÞ
                   E = {f(x)| x  X}
                   E = f(X)
+  §å thÞ hµm sè
                   (C) = {(x ; y)| x  X, y = f(x)}
+  TÝnh chÊt cña hµm sè
*  Hµm sè ®¬n ®iÖu
Y = f(x) ®ång biÕn trªn



y = f(x) nghÞch biÕn trªn

 







*  Hµm sè ch½n
x  X  -x  X vµ f(-x) = f(x)
*  Hµm sè lÎ
x  X  -x  X vµ f(-x) = -f(x)
*  Hµm sè tuÇn hoµn chu kú T
x  X  x + T  X; x - T  X vµ f(x + T) = f(x) = f(x - T)
+  Hµm sè hîp
y = f(u) tËp x¸c ®Þnh D, u = g(x) tËp x¸c ®Þnh D
y = f[g(x)] lµ hµm hîp víi tËp x¸c ®Þnh

+  Hµm sè ngîc
Gi¶ sö hµm sè y = f(x) ®¬n ®iÖu t¨ng (hoÆc gi¶m) trªn D vµ miÒn gi¸ trÞ T. Hµm sè ngîc cña f lµ :
                  

Thêng ký hiÖu lµ

Gi¶ sö ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) lµ (C) vµ hµm sè
 lµ (C`) trong hÖ täa ®é Oxy th× (C) ®èi xøng víi (C`) qua ®êng ph©n gi¸c cña gãc I vµ gãc III : y = x.


Nh÷ng hµm sè c¬ b¶n


 



1.  Hµm sè bËc nhÊt
y = ax + b  (1) (a
0; a, b  R), D = R, E = R.
a > 0 hµm sè (1) ®ång biÕn, a < 0 hµm sè nghÞch biÕn.
(C) lµ mét ®êng th¼ng
2.  Hµm sè bËc hai


                               D = R
Víi a > 0,
                  

Hµm sè ®ång biÕn :
                                   

Hµm sè nghÞch biÕn :
                                   

§å thÞ (C) lµ mét parabol cã trôc ®èi xøng lµ ®êng th¼ng
, cã täa ®é ®Ønh
 vµ cã bÒ lâm quay vÒ phÝa trªn.
Víi a < 0,
                  

Hµm sè ®ång biÕn :
                              

Hµm sè nghÞch biÕn :
                               

(C) lµ parabol, cã trôc ®èi xøng
vµ ®Ønh
 vµ cã bÒ lâm quay xuèng díi.
3.  Hµm sè lòy thõa
      y = x , tËp x¸c ®Þnh vµ tËp gi¸ trÞ, ®å thÞ tuú thuéc vµo   R.
4.  Hµm sè mò
y = ax
D = R, E = (0 ; +)
Víi a > 1 hµm sè ®ång biÕn
Víi 0 < a < 1 hµm sè nghÞch biÕn
§å thÞ
  
                           

5.  Hµm sè logarit


D = (0 ; +), E = R
Víi a > 1 hµm sè ®ång biÕn
Víi 0 < a < 1 hµm sè nghÞch biÕn
§å thÞ
                                       
                                            
Trêng hîp a = e > 1 ta cã y = lnx (®å thÞ nh h×nh díi)
                          



Giíi h¹n cña hµm sè


 



1. Giíi h¹n cña d·y sè


2. C¸c ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n cña d·y
§Þnh lÝ 1 (§iÒu kiÖn cÇn)
NÕu mét d·y sè cã giíi h¹n th× d·y sè ®ã bÞ chÆn.
§Þnh lÝ 2 (tÝnh chÊt duy nhÊt cña giíi h¹n)
NÕu mét d·y (Un) cã giíi h¹n th× giíi h¹n ®ã lµ duy nhÊt.
§Þnh lÝ 3 (§iÒu kiÖn ®ñ ®Ó d·y sè cã giíi h¹n)
Mét d·y sè cã t¨gn vµ bÞ chÆn trªn th× cã giíi h¹n. Mét d·y sè gi¶m vµ bÞ chÆn díi th× cã giíi h¹n.
§Þnh lÝ 4
Cho hai d·y sè (Un) vµ (Vn) cã c¸c giíi h¹n


th× :


3. Giíi h¹n cña hµm sè
§Þnh nghÜa


4. Mét sè giíi h¹n ®¸ng chó ý


5. C¸c ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n
§Þnh lÝ 1 :
 lµ duy nhÊt
§Þnh lÝ 2 :


 

§Þnh lÝ 3 : Ba hµm sè f(x), g(x), h(x) x¸c ®Þnh t¹i mét l©n cËn cña ®iÓm x0 (cã thÓ trõ ra ®iÓm x0)
x
x0 thuéc l©n cËn ®ã f(x)  g(x)  h(x)




Hµm sè liªn tôc


 



1. Mét sè ®Þnh nghÜa
Cho hµm sè y = f(x), tËp x¸c ®Þnh D.
Hµm sè y = f(x) liªn tôc t¹i x0 nÕu :


Thay cho (2), nÕu chØ cã


th× hµm sè f(x) liªn tôc vÒ bªn ph¶i cña x0.
Thay cho (2), nÕu chØ cã
 th× hµm sè liªn tôc vÒ bªn tr¸i cña x0.
Hµm sè y = f(x) lµ liªn tôc t¹i ®iÓm x0, x0  D nÕu


Hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn kho¶ng (a ; b) nÕu nã liªn tôc t¹i mäi ®iÓm thuéc kho¶ng (a ; b).
Hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a ; b] nÕu nã liªn tôc trªn kho¶ng (a ; b) ®ång thêi nã liªn tôc vÒ bªn ph¶i ®iÓm a vµ liªn tôc vÒ bªn tr¸i ®iÓm b.
2. C¸c ®Þnh lÝ vÒ hµm sè liªn tôc
Gi¶ sö y = f(x) vµ y = g(x) lµ hµm sè liªn tôc t¹i x0 th× :
f(x) + g(x) ; f(x) - g(x) vµ f(x)g(x) liªn tôc t¹i x0.

 liªn tôc t¹i x0
Gi¶ sö hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn kho¶ng (a ; b) vµ x1, x2  (a ; b) víi f(x1)
f(x2). Khi ®ã víi mçi sè M n»m gi÷a f(x1), f(x2) ®Òu tån t¹i mét ®iÓm c  (a ; b) sao cho f(c) = M.
HÖ qu¶ : gi¶ sö hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn kho¶ng (a ; b) cã gi¸ trÞ d¬ng vµ gi¸ trÞ ©m trªn kho¶ng ®ã, th× ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm x = c thuéc kho¶ng (a ; b).
3. TÝnh liªn tôc cña c¸c hµm sè s¬ cÊp
y = f(x) lµ hµm sè s¬ cÊp x¸c ®Þnh trªn D th× hµm sè nµy liªn tôc trªn D.
4. TÝnh liªn tôc cña hµm sè hîp
NÕu y = f(u), u = g(x) lµ nh÷ng hµm sè liªn tôc th× hµm sè hîp y = f[g(x)] lµ mét hµm sè liªn tôc.


§¹o hµm


 



§Þnh nghÜa ®¹o hµm
C¸c c«ng thøc tÝnh ®¹o hµm
§¹o hµm cÊp cao
Vi ph©n
§¹o hµm vµ liªn tôc
Qui t¾c L`hospital


§Þnh nghÜa ®¹o hµm


 



§¹o hµm cña hµm sè y = f(x) t¹i ®iÓm x0 lµ :


§¹o hµm bªn ph¶i t¹i x0 :


§¹o hµm bªn ph¶i t¹i x0 :


Hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a ; b)  hµm sè cã ®¹o hµm t¹i mäi ®iÓm x0 .(a ; b)
Hµm sè y = f(x) ®¹o hµm trªn ®o¹n [a ; b] nÕu nã cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a ; b) vµ cã ®¹o hµm bªn ph¶i t¹i a vµ bªn tr¸i t¹i b.
C¸ch tÝnh ®¹o hµm : Muèn tÝnh ®¹o hµm hµm sè y = f(x), ta cÇn thùc hiÖn 3 bíc sau :
1) Cho sè gia x t¹i x0 vµ tÝnh


2) LËp tØ sè :


3) T×m




C¸c c«ng thøc tÝnh ®¹o hµm


 






13)  y = f(x) cã hµm sè ngîc






§¹o hµm cÊp cao


 



y = f(x) cã ®¹o hµm t¹i x, y` = f`(x)
y` = f`(x) cã ®¹o hµm t¹i x th× ®¹o hµm nµy lµ ®¹o hµm cÊp 2, ký hiÖu lµ y`` = f``(x) = [f`(x)]`.
§¹o hµm cÊp n cña hµm sè y = f(x)
      

§¹o hµm cÊp n cña mét hµm sè





Vi ph©n


 



y` = f(x), D = (a ; b) vµ cã f`(x) t¹i
, vi ph©n cña hµm sè t¹i ®iÓm x lµ dy = y`dx (hoÆc df(x) = f`(x)dx) Vi ph©n hµm sè hîp : y = f(u) vµ u = g(x) th× dy = f`(u)du øng dông vi ph©n vµo phÐp tÝnh gÇn ®óng  



§¹o hµm vµ liªn tôc


 



NÕu hµm sè y = f(x) ®¹o hµm t¹i ®iÓm
 th× nã liªn tôc t¹i ®iÓm ®ã. §iÒu ®¶o l¹i kh«ng ®óng. Mét hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm
 cã thÓ kh«ng cã ®¹o hµm t¹i ®iÓm ®ã.


Qui t¾c L`hospital


 



Dïng ®Ó tÝnh giíi h¹n c¸c d¹ng v« ®Þnh
 vµ
. NƠu hai hµm sè y = f(x) vµ y = g(x) x¸c ®̃nh trªn (a ; b) chøa
 vµ cã ®¹o hµm trªn (a ; b) th× :
                       



§êng tiÖm cËn


 



1. Nh¸nh v« tËn
(C) lµ ®å thÞ hµm sè y = f(x) cã nh¸nh v« tËn  x  hay f(x) .
2. TiÖm cËn cña ®êng cong
§êng th¼ng (D) ®îc gäi lµ tiÖm cËn cña nh¸nh v« tËn (N)  (C) nÕu kho¶ng c¸ch MH tõ M ®Õn (D) (M  (N)) dÇn ®Õn 0 khi M ch¹y trªn (N) ra xa v« tËn.


3. C¸c ®êng tiÖm cËn cña (C) : y = f(x)
TiÖm cËn ®øng x = x0 nÕu :

 hay

TiÖm cËn ngang
(C) cã tiÖm cËn ngang y = y0 nÕu :
                      

Cã tiÖm cËn ngang vÒ bªn ph¶i y = b nÕu :
                      

Cã tiÖm cËn ngang vÒ bªn tr¸i y = b` nÕu :
                  

TiÖm cËn xiªn
§êng th¼ng (D) y = ax + b lµ tiÖm cËn xiªn vÒ bªn ph¶i nÕu :
      

§êng th¼ng (D) y = ax + b lµ tiÖm cËn xiªn vÒ bªn tr¸i nÕu :
      

§êng tiÖm cËn xiªn (D), y = ax + b (vÒ bªn ph¶i)


(h÷u h¹n)
(D) vÒ bªn tr¸i th× t¬ng tù.
4. §êng tiÖm cËn cña ®å thÞ (C) mét sè hµm hay gÆp :


cã hai ®êng tiÖm cËn
TiÖm cËn ®øng
                          

TiÖm cËn ngang
                      



cã hai ®êng tiÖm cËn.
TiÖm cËn ®øng
                      

TiÖm cËn xiªn

                          




 víi
 cã hai ®êng tiÖm cËn.
TiÖm cËn xiªn vÒ bªn ph¶i (D1) :
      

TiÖm cËn xiªn vÒ bªn ph¶i (D2) :
      

Chó ý : NÕu ph©n tÝch ®îc f(x) = g(x) + (x), trong ®ã g(x) lµ ®a thøc bËc lín h¬n 1 vµ
 th× (C) cã tiÖm cËn cong y = g(x).


Kh¶o s¸t hµm sè


 



1. DÊu hiÖu ®ång biÕn, nghÞch biÕn cña hµm sè
+  §Þnh lÝ Lag¬r¨ng
NÕu hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a ; b] vµ cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a ; b) th× tån t¹i mét ®iÓm c  (a ; b) sao cho f(b) - f(a) = f`(c)(b - a).
DÊu hiÖu ®ång biÕn, nghÞch biÕn cña hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a ; b).
+  NÕu f`(x) > 0  x  (a ; b)  f(x) ®ång biÕn trªn (a ; b).
+  NÕu f`(x) > 0  x  (a ; b)  f(x) nghÞch biÕn trªn (a ; b).
+  §iÓm tíi h¹n
y = f(x), tËp x¸c ®Þnh D.
§iÓm x0  D mµ f`(x0) = 0  x0 gäi lµ ®iÓm tíi h¹n cña hµm sè f(x).
2. Cùc ®¹i vµ cùc tiÓu
+  §Þnh nghÜa
Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn kho¶ng (a ; b) chøa x0
+  §iÓm x0 ®îc gäi lµ ®iÓm cùc tiÓu cña hµm sè f(x), nÕu tån t¹i mét  - l©n cËn cña x0(x0 –  ; x0 + ) sao cho víi mäi x
x0 cña l©n cËn ®ã ta cã f(x) > f( x0)
+  §iÓm  x0 ®îc g