Ngày soạn: 20/01/2008 TUẦN 20 Ngày dạy: 24/01/2008
Chủ đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Tiết 3, 4: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP ÁP DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
I/ MỤC TIÊU:
1/ Kiến thức: Ôn tập cho học sinh về số chính phương và một số tính chất có liên quan cũng như một số phương pháp giải toán dựa vào số chính phương.
2/ Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng áp dụng tính chất để nhận biết số chính phương và giảimột số dạng toán có liên quan.
3/ Thái độ: Giáo dục học sinh tính chính xác và vận dụng vào thực tế.

II/ LÝ THUYẾT:
1/ Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.
2/ Một số tính chất của số chính phương:
a/ Số chính phương tận cùng bằng các chữ số: 0; 1; 4; 5; 6; 9 và không tận cùng bởi các chữ số: 2, 3, 7, 8
b/ Nếu số chính phương N chia hết cho p2k+1 thì N chia hết cho p2k+2 (p là số nguyên tố)
c/ Số chính phương chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. Một số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc dư 1; Chia cho 5 dư 0 hoặc dư 1 hoặc dư 4. Số chính phương lẻ chia cho hoặc chia cho 8 đều dư 1.
d/ Giữa 2 số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào.
n2 < x2 < (n + 1)2 (1) => không tồn tại x
Z thoã mãn (1)
n2 < x2 < (n + 2)2 => x2 = (n + 1)2
e/ Nếu 2 số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thí một trong 2 số nguyên đó là số 0.
3/ Nhận biết một số chính phương: (Tiết 1,2)
4/ Hằng đẳng thức vận dụng:
(a
b)2 = a2
2ab + b2
III/ BÀI TẬP:

BÀI TẬP
BÀI GIẢI

Bài 1: Có hai số chính phương nào: a/ Có tổng bằng 4567
b/ Có hiệu bằng 7654
a/ Một số chính phương chia cho 4 có số dư là 0 hoặc 1. Vậy tổng của 2 số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0, 1, 2. Số 4567 chia cho 4 có số dư là 3. Vậy không có 2 số chính phương nào mà tổng bằng 4567.
b/ Hiệu của 2 số chính phương chỉ có số dư là 0, 1, 3. Số 7654 chia cho 4 có số dư là 2. Vậy không có 2 số chính phương nào mà hiệu bằng 7654.

Bài 2: Chứng minh rằng tổng của 20 số chính phương liên tiếp không thể là số chính phương?
Trước hết ta chứng minh: Tổng 4 số chính phương liên tiếp chia cho 4 dư 2: n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 +(n + 3)2 = 4n2 + 12n + 14 chia cho 4 dư 2.
Từ đó suy ra tổng 20 số chính phương liên tiếp là:
4k1 + 2 + 4k2 + 2 + 4k3 + 2 + 4k4 + 2 + 4k5 + 2 = 4k + 10 chia cho 4 dư 2 nên không thể là số chính phương.

Bài 3: Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng đơn vị đều bằng 6 còn chữ số hàng chục thì khác nhau. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó cũng là một số chính phương.
Nếu một số chính phương A = n2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì n phài là một số chẵn; n
2 => A = n2
4; suy ra hai chữ số tận cùng của A chỉ có thể là 16, 36, 56; 76, 96
Tổng các chữ số hàng chục là: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 là một số chính phương.

Bài 4: Cho a, b, c là các chữ số khác 0.
a/ Tính tổng S của tất cả các số có 3 chữ số tạo thành bởi các chữ số a, b, c.
b/ Chứng minh rằng S không phải là số chính phương.
Với 3 chữ số a, b, c ta có thể viết thành các số như sau:
,
,
,
,
,

a/ S =
+
+
+
+
+

b/ S =
+
+
+
+
+
= 222(a + b + c) =
= 2.3.37(a + b + c)
Vì 0 < a + b + c
27 nên a + b + c
37
Mà (6, 37) = 1 => 6(a + b + c)
37.
Do đó S không phải là số chính phương.

Bài 5: Tìm một số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.
Theo bài toán ta có: N =
= 1100a + 11b = 11(100a + b)
Để N là một số chính phương ta phải có:
100a + b = 99a + (a + b) = 11t2 (t
N)
Mà 99a
11 nên a + b
11 => a + b = 11.
Vậy 99a + 11 = 11(9a + 1) = 11t2 => 9a + 1 = t2 (1)
Cho a từ 1 đến 9 chỉ có a = 7 thoã mãn (1); Từ đó suy ra b = 4
Số phải tìm là 7744 = 882

Bài 6:
Chứng minh rằng nếu n + 1 và 2n + 1 đều là số chính phương thì n
24.
Ta có 24 = 3.8; (3,8) = 1. Ta cần chứng minh: n
3 và n
8
+ Nếu n không chia hết cho 3 thì n + 1 và 2n + 1 không thể đồng thời là số chính phương => n
3 (1)
+ 2n + 1 là số chính phương lẻ => 2n + 1 chia 8 dư 1 => 2n
8 => n
4 => n + 1 là số lẻ
Theo đề bài n + 1 là số chính phương (lẻ) => n + 1 chia cho 8 dư 1
=> n
8 (2)
Từ (1) và (2) => n
24


IV/ RÚT KINH NGHIỆM BỔ SUNG: