Phần I:
mở đầu

I- Đặt vấn đề:
Trong thời đại hiện nay, các ngành khoa học được đặc biệt quan tâm, trong đó Toán học là một bộ môn trí tuệ, đỉnh cao, là chìa khoá mở cửa cho tất cả các ngành khoa học khác, là một trong bốn bộ môn khoa học công cụ của ngành Giáo dục.
Toán học là một môn khoa học trí tuệ, giúp cho con người phát triển tư duy lô gíc, tư duy biện chứng, óc phán đoán, kỹ năng tính toán. Nó là tiền đề, là nền tảng vững chắc cho các môn khoa học tự nhiên khác phát triển. Vì vậy bộ môn Toán đóng vai trò then chốt, mũi nhọn trong nhà trường phổ thông. Để nắm vững kiến thức Toán học, người học sinh phải lĩnh hội được đầy đủ tri thức do người Thầy truyền đạt và muốn học sinh lĩnh hội đầy đủ thì người Giáo viên phải có một phương pháp dạy thích hợp, phù hợp với đối tượng học sinh. Những năm trước đây phương pháp dạy học chủ yếu là phương pháp thuyết trình thụ động, thầy giảng trò tiếp thu một cách máy móc, hoặc thầy giảng giải xen kẽ vấn đáp, giải thích minh hoạ bằng tranh…Những phương pháp ấy chưa phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh.. Trong chương trình toán cấp II hiện nay, các thể loại toán rất đa dạng, phong phú, nhưng không ít phức tạp, rắc rối mà học sinh gặp nhiều khó khăn trong quá trình học tập và nghiên cứu. Một dạng bài toán có thể coi là công cụ của nhiều dạng toán khác, đó là: “Phân tích đa thức thành nhân tử.”
Để giúp học sinh có được kiến thức cơ bản này, qua thực tế giảng dạy và tiếp xúc với học sinh tôi mạnh dạn trình bày một số kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh phân tích đa thức thành nhân tử” bởi một số lý do sau:
Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử là cơ sở của rất nhiều bài toán khác như: Biến đổi đồng nhất các biểu thức, rút gọn biểu thức, giải phương trình đưa về phương trình tích…
Để giải được bài toán này đòi hỏi học sinh phải biết và vận dụng linh hoạt nhiều kiến thức, từ đó rèn luyện kỹ năng phân tích suy đoán.
Học sinh phải tư duy và nắm chắc các kiến thức liên quan đã học, đồng thời phải có kỹ năng lựa chọn các phương pháp thích hợp trước một bài toán cụ thể.
Xây dựng cho học sinh một thuật toán về phân tích đa thức thành nhân tử, khắc sâu kiến thức, phát triển năng lực tư duy, sáng tạo của học sinh.
Đó là lý do tôi chọn đề tài: “ Hướng dẫn học sinh phân tích đa thức thành nhân tử”








Phần II:
Nội dung
Chương I: Các kiến thức cơ bản liên quan
1-Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
2-Các bài toán liên quan.
3-Định luật phân phối giữa phép nhân với phép cộng và quy tắc về dấu để sử dụng trong phương pháp:
Đặt nhân tử chung
Ví dụ: 1. 10x2y – 5x3 = 5x2.2y – 5x2.x = 5x2( 2y – x) 2. 3x2 (y – 2z) – 15x(2z – y)=
=3x x(y – 2z) + 5(y – 2z) =
= (y – 2z)(3x2 + 5)
4-Định lý về nghiệm của đa thức:
Nếu x0 là nghiệm của đa thức f(x) thì:
f(x) = (x – x0).g(x)
Đặc biệt: Nếu f(x) = ax2 + bx + c có hai nghiệm x1 , x2 thì f(x) = a(x – x1)(x – x2)
Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì chia hết cho: x - 1
Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì chia hết cho: x + 1
Ví dụ: a. f(x) = x2 –3x + 2 = (x – 1)(x – 2)
b. f(x) = 2x2 + 5x +3 = 2(x + 1)(x + 3/2)







Chương II:
các phương pháp cơ bản – hướng dẫn thực hiện
I- các phương pháp cơ bản:
1- Phương pháp đặt nhân tử chung:
Trước hết ta hiểu rằng: Phân tích đa thức thành nhân tử là viết đa thức thành dạng tích của các nhân tử. Vấn đề đặt ra là khi nào thì biểu thức không thể phân tích được, hay nói cách khác học sinh phải biết biểu thước nào phân tích được, biểu thước nàokhông phân tích được, sau đó ta sử dụng định luật phân phối và quy tắc về dấu để phân tích
Ví dụ1: Phân tích đa thức thành nhân tử
A = 5a2 (b – 2c) – 15a(b – 2c)2
Tìm ra các nhân tử chung: 5a(b – 2c)
Khi đó ta viết: A = 5a(b – 2c)(a – 3(b – 2c)(=
= 5a(b – 2c)(a – 3b + 6c)
Chú ý: Một nhị thức bậc nhất không thể phân tích được nữa
Ví dụ2: Phân tích đa thức thành nhân tử
B = 2x(y – z) + (z – y)(x + y)
Nhận xét rằng: y – z = -(z – y). Từ đó ta có:
B = 2x(y – z) – (y – z)(x + y) =
=(y – z)((2x – (x + y)( =
= (y – z)(x – y)
Ví dụ3: Phân tích đa thức thành nhân tử
C = x3 – 2x2 + 2x =
=x(x2 – 2x + 2)
Biểu thức: x2 – 2x + 2 = (x – 1)2 + 1
; nghĩa là đa thức: x2 – 2x + 2 không có nghiệm nên không thể phân tích được nữa.

Ta cũng có thể dùng phương pháp phản chứng để chứng minh
x2 – 2x + 2 không thể phân tích được nữa
2- Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử
D = 4x2 + 12x + 9
Nhận xét: D không có nhân tử chung nên ta viết:
D = (2x2) + 2(2x).3 + 32
áp dụng: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 với a = 2x ; b = 3
Ta có: D = (2x)2 + 2.(2x).3 + 32 = (2x + 3)2
Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử
E = (1 – 8x6y3
Chú ý: Ta viết: 1 = 12 = 13 = 1n (n(N)
Khi đó: E = 13 – (2x2y)3
áp dụng: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab +b2)
E = (1 – 2x2y)(1 + 2x2y +4x4y2)
Hướng dẫn thực hiện:
Nếu đa thức không có nhân tử chung ta nhận định xem có thể áp dụng hằng đẳng thức nào?
Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử
F = -x4y2 – 8x2y - 16
F = -((x2y)2 + 2.4x2y + 42(
F = -(x2y + 4)2
Trước hết ta xét hạng tử bậc cao nhất, kết hợp với hạng tử tự do ( nếu có), là luỹ thừa bậc mấy để có thể nhận định dùng hằng đẳng thức nào?
Chẳng hạn: D = 4x2 + 12x +9 có hạng tỷ bậc cao nhất là 4x2 có dạng: (2x)2 và hạng tử tự do là 9 = 32
Nên ta dùng hằng đẳng thức: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
E = 1 – 8x6y3 có hạng tỷ bậc cao nhất là: 8x6y3 có dạng:
(2x2y)3 và 1 có thể viết: 1 = 13 nên ta dùng hằng đẳng thức:
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab +b2)
3- Phương pháp nhóm các hạng tử:
Một đa thức nếu không dùng được phương pháp đặt nhân tử chung, cũng không dùng được phương pháp hằng đẳng thức thì ta xét xem trong các hạng tử, những hạng tử nào có nhân tử chung, hoặc là hằng đẳng thức thì ta nhóm chúng lại với nhau.
Ví dụ 7: G = xy – 5y + 2x - 10
Rõ ràng G không phân ytích được bằng phương pháp đặt nhân tử chung và hằng đẳng thức. Ta nhận thấy:
xy – 5y = y(x – 5) và 2x – 10 = 2(x – 5)
hoặc xy + 2x = x(y + 2) và -5y – 10 = -5(y + 2)
Cả hai hướng đều cho ta kết quả:
G = (x – 5)(y + 2)
G = (y + 2)(x – 5)
Việc chia nhóm phải đạt được mục đích là: Sau đó xuất hiện nhân tử chung của các nhóm
Ví dụ 8: Phân tích đa thức thành nhân tử
H = x2 + 2x + 1 – y2
Ta nhận thấy: x2 + 2x = x(x + 2)
Nhưng 1 – y2 = (1 + y)(1 – y). Giữa hai nhóm không có nhân tử chung và ta nhận thấy: x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
Khi đó: H = (x + 1)2 – y2 là hiệu hai bình phương nên: H = (x + 1 + y)(x + 1 – y)

Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử
I = 81x2 – 6yz – 9y2 - z2
Ta có: -6yz – 9y2 = -3y(2z + 3y) và
81x2 – z2 = (9x + z)(9x – z)
Hai nhóm này không có nhân tử chung.
Tương tự: -6yz – z2 = -z(6y + z)
81x2 – 9y2 = (9 + 3y)(9 –3y)
cũng không có nhân tử chung. Ta nhận thấy:
-(9y2 + 6yz + z2) = - (3y + z)2 nên:
I = 81x2 – (9y2 + 6yz + z2) =
= 81x2 - (3y + z)2 = (9x + 3y + z)(9x – 3y –z)
4- Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử:
Khi các phương pháp đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức và kể cả việc nhóm các hạng tử không cho ta kết quả thì ta có thể tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để xuất hiện nhân tử chung giữa các nhóm hạng tử hoặc hằng đẳng thức.
Thông thường ta tách hạng tử chứa đa số các thừa số còn lại để xuất hiện các nhóm có nhân tử chung hoặc tách hạng tử tự do để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
Ví dụ 10: Phân tích đa thức thành nhân tử
K = x2 + 5x + 6
Vì K có 3 hạng tử nên việc nhóm hai hạng tử để xuất hiện nhân tử chung là không thể được. Ta tách:
5x = 3x + 2x Khi đó: K = x2 + 3x +2x + 6
K = (x2 + 3x) + (2x + 6) = x(x + 3) + 2(x + 3) =
= (x + 3)(x + 2)
Hoặc K = (x2 + 2x) + (3x + 6) = x(x + 2) + 3(x + 2) =
= (x + 2)(x + 3)
Ví dụ 11: Phân tích đa thức thành nhân tử
L = x2 – x - 6
L = x2 – 3x + 2x – 6 = x(x – 3) + 2(x + 3)
L = (x + 2)(x + 3)
Hoặc: L = x2 – x – 2 – 4 = (x2 – 4) – (x + 2)
L = (x – 2)(x + 2) – (x + 2) = (x + 2)(xx – 3)
5- Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử:
Đa thức có dạng tổng các bình phương ta sẽ thêm, bớt cùng một hạng tử sao cho xuất hiện bình phương của một tổng hay một hiệu ( hoặc lập phương của một tổng hay một hiệu)
Ví dụ 12: Phân tích đa thức thành nhân tử
M = x4 + 4
Rõ ràng đây là tổng các bình phương, chứ không phải là một hiệu các bình phương, nên không thể sử dụng công thức hiệu các bình phương. Ta nhận thấy:
x4 = (x2)2 và 4 = 22 nên:
M = (x2)2 +4x2 + 22 –4x2
M = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + 2x + 2)(x2 – 2x + 2)
Chú ý: x2 + 2x + 2 = x2 + 2x + 1 + 1 = (x + 1)2 + 1

x2 – 2x + 2 = x2 – 2x + 1 + 1 = (x – 1)2 + 1

Đều không thể phân tích được nữa
Ví dụ 13: Giải phương trình:
5x2 – 4(x2 – 2x + 1) - 5 = 0
Cách 1:
5x2 – 4(x2 – 2x + 1) - 5 = 0

5(x2 – 1) – 4(x – 1)2 = 0

(x – 1)(5(x + 1) – 4(x – 1)( =0

(x – 1)(5x + 5 – 4x + 4) = 0

(x – 1)(x + 9) = 0



ở đây ta áp dụng phương pháp nhóm các hạng tử để phân tích vế trái thành tích.
Cách 2:
5x2 – 4(x2 – 2x + 1) - 5 = 0

5x2 – 4x2 + 8x – 4 – 5 = 0

x2 + 8x – 9 = 0

x2 + 9x – x – 9 = 0

x(x + 9) – (x +