SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH
( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (






SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM



TIẾPTỤC VỚI PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP















Giáo viên thực hiện : NGÔ TỴ
Tổ TOÁN TIN
( ( ( ( ( (( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (





ĐIỆN BÀN THÁNG 5 – NĂM 2007


PHẦN I
LỜI MỞ ĐẦU
Phương pháp qui nạp là công cụ đắc lực trong chứng minh toán học . Nó thường được sử dụng để chứng minh một mệnh đề nào đó đúng với mọi số tự nhiên n (hay n ( n0 nào đó ) . Có nhiều sách tham khảo viết đầy đủ - chuyên sâu về phương pháp qui nạp . Tuy vậy tôi cố gắng tìm kiếm vài điều là lạ trong lĩnh vực này để chia sẻ cùng các thầy cô và các bạn đồng nghiệp thông qua các bài viết hay các câu chuyện nhỏ dưới đây .



PHẦN II
CÁC CÂU CHUYỆN
Chuyện thứ nhất :
TIẾP TỤC VỚI PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP
Trong khi cố gắng vận dụng phương pháp qui nạp có thể chúng ta sẽ vấp phải những khó khăn không dễ vượt qua .
Bài toán : Chứng minh với mọi n ( 1 , n ( N ta có :
S n

Gỉa sử với n = k ( k > 1) ta có : Sk < 3/4 , khi đó : Sk+1 =
= Sk +
+

= Sk +

Rõ ràng không thể có : Sk+1 <
. Phương pháp qui nạp trở nên bế tắc .
Hướng giải quyết thứ nhất : Thử làm chặt hơn bất đẳng thức cần chứng minh sao cho vế phải của bất đẳng thức là một biểu thức theo n để có thể vận dụng phương pháp qui nạp .
Thử xác định dãy số dương (an) sao cho :
S n
- a n
Giả sử S k (
. Khi đó : Sk+1 = Sk +

Ta muốn
(
(
(

Từ đánh giá :
(
, ta định :

Vậy để chứng minh bất đẳng thức ban đầu ta chứng minh bất đẳng thức chặt hơn :
“Chứng minh với mọi n ( 1 , n ( N ta có :

”
trên cơ sở phương pháp qui nạp .
Hướng giải quyết thứ hai : Biến đổi bài toán để có bất đẳng thức mới tương đương mà ở đó có thể sử dụng phương pháp qui nạp . Ta có :
S n
( n – S n > n -

(
(()
Có thể chứng minh (() dễ dàng bằng phương pháp qui nạp
*Bài toán đề nghị : chứng minh với mọi n ( 1 , n ( N ta có :
a/

b/ 1+

Chuyện thứ hai :
TỪ MỘT CÁCH LÀM HAY
( Một cách chứng minh bất đẳng thức Cô si với 3 số không âm .

Trên cơ sở bất đẳng thức Cô si với 2 số không âm :
ta chứng minh được bất đẳng thức Cô si với 4 số không âm:
(()
Nếu các số a , b , c đều khác 0 thì với d =
, từ (() suy ra
(

Nếu ít nhất một trong các số a , b , c bằng 0 thì hiển nhiên ta có :
(

Bất đẳng thức Cô si với 3 số không âm được chứng minh .

( Áp dụng :
Bài toán : Chứng minh: với a1 , a2, …, a n ( 0 , ta có :
(1+a1 ) (1+a2 )…(1+a n ) (
(1)
Nếu thực hành chứng minh qui nạp như thường làm thì từ sự đúng đắn của bất đẳng thức (1) khi n = k ta không dễ chứng minh (1) đúng với n = k +1 .Tôi chợt nhớ đến cách chứng minh bất đẳng thức Cô si với 3 số không âm như trên và thử áp dụng nó trong quá trình chứng minh qui nạp .
Dễ chứng minh (1) đúng khi n = 2
Giả sử (1) đúng khi n = k ( k ( 2)
Trường hợp k lẻ : k lẻ ( k+1 chẵn . Đặt k+1 = 2m .
Từ giả thiết qui nạp , vì m < k ta có :
(1+a1 ) (1+a2 )… (1+a m ) (

(1+a m+1 ) (1+a m+2)… (1+a 2m )