Mục lục
Trang:
A. Mở đầu 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 1
3. Nhiệm vụ đề tài 1
5. Đối tượng nghiên cứu 2
6. Phương pháp tiến hành 2
4. Phạm vi đề tài 2
7. Dự kiến kết quả đề tài 2
B. Nội dung 3
Phần 1: Bài toán cực trị và phương pháp giải trong đại số 3
I. Kiến thức cơ bản 3
1. Định nghĩa bài toán cực trị 3
2. Các bước cơ bản tiến hành giải toán cực trị 3
!!. Phương pháp cơ bản và ví dụ 3
1. Phương pháp dùng bất đẳng thức 3
2. Phương pháp dựa vào tính chất lũy thừa bậc chẵn 8
3. Phương pháp miền giá trị 10
4. phương pháp đồ thị hàm số 12
Phần II. Bài toán cực trị trong hình học 17
I. Kiến thức cơ bản 17
II. Một số dạng toán thường gặp 19
C. Thực nghiệm sư phạm ......................................................................... 29
D. Kết quả thực hiện 35
E. Tài liệu tham khảo 36

``




a. mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
- Hai yếu tố đã góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy nói chung và phương pháp giảng dạy mon toán cấp THCS nói riêng, muốn thực hiện được điều đó thì vi trò của người thầy hết sức quan trọng. Để góp phần vào công cuộc đổi mới phương pháp giảng dạy thì bản thân tôi đã trăn trở rất nhiều về việc truyền thụ kiến thức cho học sinh, không chỉ những kiến thức trong SGK mà còn phải làm sao đó từ những kiến thức cơ bản ấy phát triển và tìm ra những kiến thức mới giúp HS lĩnh hội một cách chủ động và có hệ thống.
- Trong chương trình toán phổ thông cấp THCS nhiều mảng kiến thức trong SGK đề cập đến rất ít nhưng trong quá trình học lại gặp rất nhiều, ngay những em HS nắm rất vững kiến thức SGK nhưng khi gặp dạng toán này cũng lúng túng vì vậy với phạm vi đề tài này tôi muốn đề cập đến một vấn đề mà không ít chúng ta - những người thầy đang trăn trở và băn khoăn, đó là dạng toán “ Tìm cực trị “ . Thật vậy trong chương trình toán phổ thông dạng kiến thức về ‘’cực trị’’là một trong những mảng kiến thức khó mà ứng dụng của nó lai khá rộng rãi nó không những có mặt trong phân môn đại số mà còn đóng góp một vai trò quan trọng trong phân môn hình học, nó không chỉ dừng ở chương trình THCS mà còn là một phần quan trọng trong chương trình THPT. Vì vậy dạng toán’’cực trị’’là phần gây cho HS ngay cả HS giỏi nhiều bối rối tuy nhiên đây cũng là phần quyến rũ HS say mê môn toán và học giỏi toán vì nó đòi hỏi phải tư duy, tìm tòi sáng tạo.
- Để giải được một bài toán cực trị cấp THCS yêu cầu phải nắm vững được các kiến thức cơ bản phổ thông phải biến đổi thành thạo các biểu thức đại số và sử dụng khá nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp và điều đặc biệt là thông qua các bài tập cực trị hHS có thể vận dụng linh hoạt vào các loại toán khác như giải phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức, chứng minh một yếu tố hình học ...
Tóm lại: Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức , đọc nhiều tài liệu và qua những năm dạy toán ở trường THCS , tôi đã rút ra được vài kinh nghiệm . tôi mạnh dạn lấy đề tài nghiên cứu tựa đề là: “ Một số phương pháp tìm cực trị trong trường phổ thông cấp THCS “. Nếu có thể chúng ta cùng nghiên cứu và bổ sung cho hoàn chỉnh hơn.
2. Mục đích nghiên cứu
- Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập môn Toán nói chung và việc giải toán cực trị nói riêng được tháo gỡ phần nào những khó khăn. Trang bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản nhằm nâng cao rèn luyện khả năng tư duy và học tập bộ môn một cách chủ động.
- Tạo thêm hứng thú cho học sinh trong học tập môn Toán cũng như kích thích sự đam mê tự học và tự tìm tòi nghiên cứu.
- Giúp bản thân những tri thức và kinh nghiệm phục vụ cho quá trình giảng dạy góp phần nâng cao chất lượng dạy và học của nền giáo dục nước nhà.
3. Nhiệm vụ đề tài
- Đề tài đưa ra một số kiến thức cơ bản về bài toán’’cực trị’’phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS.
- Thông qua đề tài trang bị cho học sinh những phương pháp cơ bản giải bài toán cực trị để học sinh vận dụng làm bài tập.
- Chọn lọc hệ thống những bài tập mang tính tiêu biểu phù hợp với từng nội dung phương pháp.
4. Phạm vi đề tài
Phát triển năng lực tư duy của HS thông qua giải toán tìm cực trị trong hình học và trong đại số đối với HS lớp 7, 8, 9
5. Đối tượng nghiên cứu
- Đề tài áp dụng phần nhiều cho HS lớp 8, 9 tuy nhiên có một số bài cho H
lớp 7 và trong các bài luyện tập, ôn tập cuối năm, cuối kì, luyện HS giỏi, luyện thi tuyển THPT
6. Phương pháp tiến hành:
Giáo viên trang bị kiến thức cơ bản, học sinh phân tích vận dụng định hướng giải bài tập. Sau đó kiểm tra đánh giá và thảo luận tập thể.
7. Dự kiến kết quả đề tài
áp dụng đề tài sẽ tháo gỡ cho học sinh nhiều khó khăn trong việc giải toán cực trị. Tạo cho học sinh có cơ sở và niềm tin trong giải toán cực trị.
B- Nội dung
phần ! : Bài toán cực trị Phần đại số
A . Yêu cầu

1 / với giáo viên :
Xây dựng cơ sở lí thuyết để giải các bài toán cực trị và phương pháp giải cho từng dạng toán .
phân loại các bài tập từ dễ đến khó .
Rèn luyên nâng cao khả năng tư duy sáng tạo qua việc tìm tòi chọn lọc tham khảo kiến thức trong khi nghiên cứu .
Trong quá trình giảng dạy, phải chú ý tìm ra nhũng vướng mắc , sai sót mà HS haymắc phải khi làm bài tập .
2 / Với học sinh :
Hiểu được bản chất các loại toán .
Nhận dạng được từng loại bài tập , vận dụng phương pháp hợp lý của từng dạng vào giải toán .
Phát huy khả năng tư duy sáng tạo trong khi giải toán , biết suy luận từ bài dễ đên bài khó với cách giải hay hơn .
B . một số Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa Cho biểu thức f(x) xác định trên D
a) Ta nói rằng M = const là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu hai điều kiện sau đồng thời được thoả mãn
1o. f(x) ( M với ( x ( D
2o. Tồn tại x0 ( D sao cho f(x0) = M. kí hiệu là max f(x) = M
b) Ta nói rằng m = const là giá trị nhỏ nhất của f(x) rtên D nếu thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:
1o. f(x) ( m với ( x ( D
2o. Tồn tại x0 ( D sao cho f(x0) = m.
2. Các bước cơ bản tiến hành giải toán cực trị
- Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức:
f(x) ( m (hoặc f(x) ( M) với ( x ( D.
- Bước 2: Chỉ ra giá trị x0 ( D để:
f(x0) = m f(x0) = M)
- Bước 3 Kết luận: Với giá trị x0 ( D thì f(x) đạt:



Chú ý :
1 / Nếu chỉ chứng minh được f (x) ( m hoặc f(x) ( M thì chưa đủ để kết luận về GTLN hoặc GTLN
Ví dụ : Tìm GTNN của biểu thức A = (x - 1)2 +(x-3)2
Giải : Ta có (x-1)2 ( 0 (x (1)
( x - 3 )2 ( 0 (2)
( A ( 0 (x nhưng không thể kết luận được Min A = 0 vì không xảy ra đồng thời hai BĐT (1) và (2).
Ta có: f(x) = x2 - 2x + 1 + x2 -6x + 9 = 2 ( x2 - 4x + 2 ) = 2 ( x - 2 )2 + 2 ( 2
Vậy Min A = 2 ( x - 2 = 0 ( x = 2
2/ Một biểu thức có thể có GTNN, GTLN hoặc chỉ có một trong hai giá trị trên

C . Phương pháp cơ bản và ví dụ
Phương pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức
1.1. Nội dung phương pháp
+ Dùng bất đẳng thức đã biết vào chứng minh
f(x) ( m (hoặc f(x) ( M) với ( x ( D
+ Chỉ ra sự tồn tại x0 ( D để "bất đẳng thức" trở thành "đẳng thức" (dấu "=" xảy ra).
1.2. Kiến thức bổ sung
a) Bất đẳng thức cô si
+ Với a,b > 0, a,b ( D thì

Dấu = xảy ra khi a= b
+ Tổng quá: Với n số dương a1, a2, ..., an ( D
thì:

Dấu bằng xảy ra khi a1 = a2 = ... = an.
b) Bất đẳng thức Bunhiacopski
+ Nếu a1, a2, ..., an và b1, b2, ..., bn là 2n số tuỳ ý thì:


Dấu "=" xảy ra (
.
(Quy ước nếu ai = 0 thì bi = 0 i = 0, 1, 2, 3, ... n)
c) Bất đẳng thức trị tuyệt đối
*.
( a ( D dấu bằng xảy ra ( a = 0
*
với a,b ( D dấu bằng xảy ra ( a.b ( 0.
Tổng quát : a1, a2, ..., an ( D thì

Dấu bằng xảy ra khi đôi một cùng dấu.
*.
dấu bằng xảy ra khi a.b ( 0
d) Với a ( b > 0 thì
dấu bằng xảy ra khi a = b.
e)
( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b.
1.3. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x,y,z) = x4 + y4 + z 4 xét trên miền D ={(x,y,z) : xy +yz +zx = 4}
Tìm xem vận dụng BĐT nào cho bài toán này là điều khó khăn nhất đói với học sinh . Tuy nhiên có thể thấy rằng có thể vận dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy số x,y,z và y,z ,x ta có
( x2 + y2 + z2) ≥ ( xy + yz + zx ) 2
Từ đó ta suy ra nếu ( x, y, z )
D Thì ( x2 + y2 + z2) ≥ 16
Lại áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy số x2,y2,z2 và 1,1 ,1 ta có
3 ( x4 + y4 +z4) ≥ ( x2 + y2 + z2 ) 2 (2)
Từ (1) và (2)
f(x,y,z) > 16/3
(x,.y,z)
D
Mặt khác f (
) =
và (
)
D
Vậy Min f (x,y,z) = 16/3
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B =
với x ( 1,y ≥ 2 , z ≥ 3
A =



áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm 1 và x - 1 ta có:


Tương tự :




A ≤


A ≤


Dấu "=" xảy ra


Max A =


Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) D =

b) Cho x1, x2 , ... , x2004 thoả mãn



Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
E =

Giải: a) áp dụng bất đẳng thức
dấu "=" xảy ra khi a.b ( 0
Ta có D =

Dấu "=" xảy ra khi va