SKKN-Mở rộng hình học phẳng vào không gian
- 0 / 0
-
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn:
Người gửi: Nguyễn Thế Vận
Ngày gửi: 10h:29' 20-04-2008
Dung lượng: 88.0 KB
Số lượt tải: 311
Nguồn:
Người gửi: Nguyễn Thế Vận
Ngày gửi: 10h:29' 20-04-2008
Dung lượng: 88.0 KB
Số lượt tải: 311
Số lượt thích:
0 người
Mở đầu
I. Lý do chọn đề tài.
Hình học nói chung và hình học không gian nói riêng là môn học lý thú, giúp cho sự phát triển tư duy của học sinh, đặc biệt là tư duy trừu tượng. Tuy nhiên khi nhắc đến không gian cũng như khi hỏi một học sinh nào đó về một bài toán hình không gian thì các em thường lắc đầu và la khó.
Vì sao có hiện tượng đó? sở dĩ có hiện tượng đó là do nó xuất phát từ đặc tính riêng của hình không gian. Khi ta mới tiếp cận với hình không gian ta cảm thấy nó là một môn học cực khó. Vì khi giải toán ta không chỉ phải có cái nhìn trừu tượng có sự tưởng tượng ra hình thể của nó, mà đôi khi còn phải tưởng tượng ra kết cấu không gian của nó như thế nào, hoặc đôi khi ta còn phải liên hệ với các vật thể trong thực tế. Cái khó là ở chỗ đó. Song nếu chỉ vì cái khó đó mà ta không có cái nhìn mới hoặc đầu tư vào môn hình học không gian thì hình không gian mãi mãi là môn học khó nhất. Tuy nhiên nếu ta tập trung, say mê hình học không gian thì ta mới thấy được hình không gian là môn học lý thú, nó không hề khó như ta thường nghĩ.
Riêng tôi hình học không gian là một môn học mà tôi yêu thích, vì vạy tôi quyết định chọn đề tài này để nghiên cứu.
Nếu tam giác là một hình cơ sở của các hình trong hình học phẳng thì tứ diện được xem là cơ sở cuả các hình trong không gian. Cũng như trong hình học phẳng nếu ta không hiểu sâu, không nắm vững các tính chất cơ bản của tứ diện thì việc giải các bài toán không gian sẽ gặp rất nhiều khó khăn và việc học hình học không gian đã khó lại càng khó hơn.
Từ những lý do trên, tôi quyết định nghiên cứu về hình học không gian và tôi chọn đề tài "Mở rộng một số tính chất của tam giác trong hình học phẳng cho tứ diện trong không gian", với mong muốn, một mặt tự bản thân được hiểu sâu hơn về hình học không gian, mặt khác tôi chỉ mong sao đề tài nghiên cứu của mình giúp ích cho học sinh học hình học không gian tốt hơn.
II. Nội dung:
Nội dung đề tài gồm hai phần:
Phần I: Nhắc lại một số tính chất của tam giác trong hình học phẳng.
Phần II: Phát biểu mở rộng một số tính chất của tam giác trong hình học phẳng cho tứ diện trong không gian.
III. Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu cơ sở sưu tầm các tài liệu thông qua quá trình phân tích, tổng hợp, lựa chọn. Kết hợp giải và tham khảo các tài liệu sắp xếp các tính chất, các bài toán sao cho nó đảm bảo tính hệ thống, tính khoa học của đề tài.
IV. Giới hạn đề tài:
Dù có tham vọng nghiên cứu sâu hơn song tôi chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu một số tính chất một soó bài toán cơ bản, thông dụng.
Để hoàn thành được đề tài này tôi đã phải hết sức nỗ lực, song sự nỗ lực của tôi sẽ không đạt được kết quả cao nếu không có sự giúp đỡ tận tình của các thành viên trong tổ khoa học tự nhiên của nhà trường. Tôi xin chân thành cảm ơn vì sự giúp đỡ đó./.
Người viết đề tài
Giáo viên: Mai Thanh Huệ
Phần I:
Nhắc lại một số tính chất của tam giác
trong hình học phẳng
1. Tính chất của phân giác.
Cho ( ABC, AD là đường phân giác thì
=
2. Tính chất về trung tuyến:
Trong tam giác, 3 đường trung tuyến cắt nhau tại một điểm, điểm này chia trung tuyến thành hai phần theo tỷ số 1: 3 tính từ đáy.
3. Tính chất của trung trực:
Trong mọi tam giác, 3 đường trung trực cắt nhau tại một điểm, điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.
4. Tính chất đường trung bình.
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh đáy và bằng 1/2 độ dài cạnh đáy.
5. Tính chất ba đường cao:
Trong một tam giác bất kỳ 3 đường cao đồng quy tại một điểm, điểm này gọi là trực tâm của tam giác.
Phần II:
Phát biểu mở rộng một số
tính chất của tam giác trong hình học phẳng
cho tứ diện trong không gian
1. Tính chất của phân giác:
Ta nêu tính chất của mặt phẳng phân giác qua bài toán.
Bài toán 1: Cho tứ diện ABCD, có 6 mặt phẳng phân giác của 6 nhị diện các cạnh của tứ diện cắt nhau tại một điểm, điểm này cách đều 4 mặt của tứ diện (điểm này gọi là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện). Gọi (P) là phân giác nhị diện AB (P) cắt CD tại M. Gọi S1, S2 là diện tích ( ABC và (ABD.
Khi đó: =
Bài giải:
Cho tứ diện ABCD. Gọi (1, (2, (3, (4, (5, (6 lần lượt là 6 mặt phẳng phân giác nhị diện cạnh AB; AC; AD; BC; BD và CD.
Khi đó đặt: d1= ((1) ( ((2) và I = d1 (((3)
Ta có: I ( d1 ( I (((1) và I (((2); I ( ((3)
Mặt khác: ((1) là phân giác nhị diện cạnh AB
( d(I;(ABC)) = d(I;(ABD)
((2) là phân giác nhị diện cạnh CD
( d(I;(ACD)) = d(I;(BCD)
((3) là phân giác nhị diện cạnh AC
( d(I;(ABC)) = d(I;(ACD)
( d(I;(ABC)) = d(I;(ACD) = d(I; (BCD)) = d(I;(ABD))
( I (((1) ( ((2) ( ((3) là duy nhất do đó giao điểm của ((1); ((2); ((3); ((4); ((5); ((6) là duy nhất.
Giả sử (P) là mặt phẳng phân giác của nhị điện cạnh AB và (P)(CD=M
Khi đó:
Mặt khác do (P) là phân giác của nhị diện cạnh AB và M((P)
( d(M; (ABC)) = d(M;(ABD))
(
2. Tính chất về trung tuyến.
Ta phát biểu mở rộng tính chất trung tuyến trong tam giác cho tứ diện qua bài toán.
Bài toán 2:
Chứng minh rằng trong tứ diện ABCD các đường nối từ đỉnh đến trọng tâm các mặt đối diện của tứ diện đồng quy tại một điểm (gọi là trọng tâm của tứ diện). Điểm này chia đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trọng tâm mặt đối diện thành hai đoạn có độ dài tương ứng theo tỷ số 1:3.
Bài giải:
Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3, G4 tương ứng là trọng tâm của tam giác đối diện với đỉnh A, B, C và D tương ứng. Gọi M là trung điểm của CD. Khi đó AM và BM là trung tuyến của ( ADC và ( BCD ( G1(BM, G2(BM ( G1, G2 ((ABM) ( AG1 và BG2 cắt nhau tại G.
Ta có: G1, G2 là trọng tâm của (BCD và (ACD
( G1G2 //AB
Do AG1(BG2 = G ( =
Do G1 cố định ( G( AG1 cố định
Chứng minh tương tự ( DG4 và CD3 đi qua G và ta có:
* Chú ý: Các đường AG1, BG2, CG3, DG4 được gọi là trụng tuyến của tứ diện.
Sau đây ta xét thêm tính chất của trọng tâm của tứ diện qua bài toán sau.
Bài toán 3: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng đường nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện của tứ diện cắt nhau tại trọng tâm của tứ diện.
Bài giải:
Trước hết ta chứng minh các đường nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện của tứ diện đồng quy.
Gọi M, N, P, Q, R và S lần lượt là trung điểm của AB; CD; BC; AD; AC và BD.
Khi đó:
( MR//= NS( MRNS là hình bình hành ( MN và RS cắt nhau tại trung điểm G` của MN và RS.
Chứng minh tương tự ( MQNP là hình bình hành
( QP đi qua trung điểm G` của MN.
( MN, PQ, RS đồng quy tại G`.
Ta gọi: G` = MN( PQ( RS. Ta chứng minh G` (G là trọng tâm của tứ diện
Gọi G1 là trọng tâm của (BCD (mp (ABN) ( mp(APD) = AG1.
Mặt khác:
(AG1 = (ABN) ((APD)
Hay A, G`, G1 thẳng hàng.
Gọi G2 là trọng tâm (ABC. Chứng minh tương tự ta cũng có G` (BG2 ( G` = AG1(BG2 (G` (G là trọng tâm của tứ diện ABCD.
(Điều phải chứng minh)
3. Tính chất của trung trực:
Ta phải biến mở rộng tính chất của trung trực của tam giác cho tứ diện qua bài toán.
Bài toán 4: Cho tứ giác ABCD, khi đó 6 mặt phẳng trung trực của 6 cạnh cắt nhau tại 1 điểm, điểm này cách đều các đỉnh của tứ diện (Điểm này gọi là tâm mặt cầu giao tiếp tứ diện).
Bài giải:
Cho tứ diện ABCD gọi P1, P2, P3, P4, P5 và P6 là 6 mặt phẳng trung trực của 6 cạnh: AB; CD; DA;BC; BD và AC của tứ diện.
Gọi M, N, P là các trung điểm của BC; CD và BD. Khi đó gọi O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp (BCD ( O1B = O1C và O1M (BC; O1N(CD; O1P(BD.
Từ O1 dựng đường thẳng d ( mp (BCD)
( d = P2(P4(P5. Thật vậy ta có d((BCD)
( d (BC; d (CD; d (BD.
Mặt khác O1M(BC; O1N(CD; O1P(BD.
( (d;M)(BC; (d;N)(CD; (d;P)(BD
Do M,N là trung điểm của BC; CD và DB.
((d;M) là mặt phẳng trung trực của BC.
(d;N) là mặt phẳng trung trực của CD.
(d;P) là mặt phẳng trung trực của BD.
( (d;M) (P4; (d;N) (P2; (d;P) (P5.
( p2(P4(P5 = d
Gọi O = d(P6 ((P6) là mặt phẳng trung trực của AC).
( O(d ( OB = OC = OD.
O(P6 ( OA = OC (4.1)
( O` ((P1)((P2) ((P3) ((P4) ((P5) ((P6)
( O` (d ( P1 ( O` (O
( Giao điểm O của P1, P2, P3, P4, P5, P6 là duy nhất.
( (P) cắt d tại O, ta có O = (P1)((P2) ... ((P6).
Thật vậy ta có O((P) mặt phẳng trung trực của AD (OA = OD.
Vậy O( đường trung trực của AB; CD; AD; BD; AC và BC.
Do đó: O = (P1)((P2)... ((P6)
Theo (4.1) ( O cách đều các đỉnh của tứ diện.
( O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
4. Tính chất đường trung bình:
Ta mở rộng tính chất của đường trung bình của tam giác cho tứ diện qua bài toán.
Bài toán 5: Cho tứ diện ABCD. D`, B`, C` lần lượt là trung điểm của AD, AB và AC thì (D`B`C`)//(DBC) và SD`B`C` = SDBC.
Bài giải:
Cho tứ diện ABCD, gọi B`, C`, D` là trung điểm của AB; AC và AD. Khi đó B`C`; C`D` và D`B` lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC; ACD và ADB.
Do đó:
; ;
( (B`C`D`) //(BCD) và (BCD (B`C`D` theo tỷ lệ số
(
(Mặt phẳng (D`B`C`) được gọi là mặt phẳng trung bình của tứ diện).
5. Tính chất ba đường cao:
Ta mở rộng tính chất trực tâm của tam giác qua bài toán.
Bài toán 6: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để 4 đường cao của tứ diện đồng quy là ABCD là tứ diện trực tâm.
Định nghĩa 1: (Tứ diện trực tâm là tứ diện có các cặp cạnh đôi một
I. Lý do chọn đề tài.
Hình học nói chung và hình học không gian nói riêng là môn học lý thú, giúp cho sự phát triển tư duy của học sinh, đặc biệt là tư duy trừu tượng. Tuy nhiên khi nhắc đến không gian cũng như khi hỏi một học sinh nào đó về một bài toán hình không gian thì các em thường lắc đầu và la khó.
Vì sao có hiện tượng đó? sở dĩ có hiện tượng đó là do nó xuất phát từ đặc tính riêng của hình không gian. Khi ta mới tiếp cận với hình không gian ta cảm thấy nó là một môn học cực khó. Vì khi giải toán ta không chỉ phải có cái nhìn trừu tượng có sự tưởng tượng ra hình thể của nó, mà đôi khi còn phải tưởng tượng ra kết cấu không gian của nó như thế nào, hoặc đôi khi ta còn phải liên hệ với các vật thể trong thực tế. Cái khó là ở chỗ đó. Song nếu chỉ vì cái khó đó mà ta không có cái nhìn mới hoặc đầu tư vào môn hình học không gian thì hình không gian mãi mãi là môn học khó nhất. Tuy nhiên nếu ta tập trung, say mê hình học không gian thì ta mới thấy được hình không gian là môn học lý thú, nó không hề khó như ta thường nghĩ.
Riêng tôi hình học không gian là một môn học mà tôi yêu thích, vì vạy tôi quyết định chọn đề tài này để nghiên cứu.
Nếu tam giác là một hình cơ sở của các hình trong hình học phẳng thì tứ diện được xem là cơ sở cuả các hình trong không gian. Cũng như trong hình học phẳng nếu ta không hiểu sâu, không nắm vững các tính chất cơ bản của tứ diện thì việc giải các bài toán không gian sẽ gặp rất nhiều khó khăn và việc học hình học không gian đã khó lại càng khó hơn.
Từ những lý do trên, tôi quyết định nghiên cứu về hình học không gian và tôi chọn đề tài "Mở rộng một số tính chất của tam giác trong hình học phẳng cho tứ diện trong không gian", với mong muốn, một mặt tự bản thân được hiểu sâu hơn về hình học không gian, mặt khác tôi chỉ mong sao đề tài nghiên cứu của mình giúp ích cho học sinh học hình học không gian tốt hơn.
II. Nội dung:
Nội dung đề tài gồm hai phần:
Phần I: Nhắc lại một số tính chất của tam giác trong hình học phẳng.
Phần II: Phát biểu mở rộng một số tính chất của tam giác trong hình học phẳng cho tứ diện trong không gian.
III. Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu cơ sở sưu tầm các tài liệu thông qua quá trình phân tích, tổng hợp, lựa chọn. Kết hợp giải và tham khảo các tài liệu sắp xếp các tính chất, các bài toán sao cho nó đảm bảo tính hệ thống, tính khoa học của đề tài.
IV. Giới hạn đề tài:
Dù có tham vọng nghiên cứu sâu hơn song tôi chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu một số tính chất một soó bài toán cơ bản, thông dụng.
Để hoàn thành được đề tài này tôi đã phải hết sức nỗ lực, song sự nỗ lực của tôi sẽ không đạt được kết quả cao nếu không có sự giúp đỡ tận tình của các thành viên trong tổ khoa học tự nhiên của nhà trường. Tôi xin chân thành cảm ơn vì sự giúp đỡ đó./.
Người viết đề tài
Giáo viên: Mai Thanh Huệ
Phần I:
Nhắc lại một số tính chất của tam giác
trong hình học phẳng
1. Tính chất của phân giác.
Cho ( ABC, AD là đường phân giác thì
=
2. Tính chất về trung tuyến:
Trong tam giác, 3 đường trung tuyến cắt nhau tại một điểm, điểm này chia trung tuyến thành hai phần theo tỷ số 1: 3 tính từ đáy.
3. Tính chất của trung trực:
Trong mọi tam giác, 3 đường trung trực cắt nhau tại một điểm, điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.
4. Tính chất đường trung bình.
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh đáy và bằng 1/2 độ dài cạnh đáy.
5. Tính chất ba đường cao:
Trong một tam giác bất kỳ 3 đường cao đồng quy tại một điểm, điểm này gọi là trực tâm của tam giác.
Phần II:
Phát biểu mở rộng một số
tính chất của tam giác trong hình học phẳng
cho tứ diện trong không gian
1. Tính chất của phân giác:
Ta nêu tính chất của mặt phẳng phân giác qua bài toán.
Bài toán 1: Cho tứ diện ABCD, có 6 mặt phẳng phân giác của 6 nhị diện các cạnh của tứ diện cắt nhau tại một điểm, điểm này cách đều 4 mặt của tứ diện (điểm này gọi là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện). Gọi (P) là phân giác nhị diện AB (P) cắt CD tại M. Gọi S1, S2 là diện tích ( ABC và (ABD.
Khi đó: =
Bài giải:
Cho tứ diện ABCD. Gọi (1, (2, (3, (4, (5, (6 lần lượt là 6 mặt phẳng phân giác nhị diện cạnh AB; AC; AD; BC; BD và CD.
Khi đó đặt: d1= ((1) ( ((2) và I = d1 (((3)
Ta có: I ( d1 ( I (((1) và I (((2); I ( ((3)
Mặt khác: ((1) là phân giác nhị diện cạnh AB
( d(I;(ABC)) = d(I;(ABD)
((2) là phân giác nhị diện cạnh CD
( d(I;(ACD)) = d(I;(BCD)
((3) là phân giác nhị diện cạnh AC
( d(I;(ABC)) = d(I;(ACD)
( d(I;(ABC)) = d(I;(ACD) = d(I; (BCD)) = d(I;(ABD))
( I (((1) ( ((2) ( ((3) là duy nhất do đó giao điểm của ((1); ((2); ((3); ((4); ((5); ((6) là duy nhất.
Giả sử (P) là mặt phẳng phân giác của nhị điện cạnh AB và (P)(CD=M
Khi đó:
Mặt khác do (P) là phân giác của nhị diện cạnh AB và M((P)
( d(M; (ABC)) = d(M;(ABD))
(
2. Tính chất về trung tuyến.
Ta phát biểu mở rộng tính chất trung tuyến trong tam giác cho tứ diện qua bài toán.
Bài toán 2:
Chứng minh rằng trong tứ diện ABCD các đường nối từ đỉnh đến trọng tâm các mặt đối diện của tứ diện đồng quy tại một điểm (gọi là trọng tâm của tứ diện). Điểm này chia đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trọng tâm mặt đối diện thành hai đoạn có độ dài tương ứng theo tỷ số 1:3.
Bài giải:
Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3, G4 tương ứng là trọng tâm của tam giác đối diện với đỉnh A, B, C và D tương ứng. Gọi M là trung điểm của CD. Khi đó AM và BM là trung tuyến của ( ADC và ( BCD ( G1(BM, G2(BM ( G1, G2 ((ABM) ( AG1 và BG2 cắt nhau tại G.
Ta có: G1, G2 là trọng tâm của (BCD và (ACD
( G1G2 //AB
Do AG1(BG2 = G ( =
Do G1 cố định ( G( AG1 cố định
Chứng minh tương tự ( DG4 và CD3 đi qua G và ta có:
* Chú ý: Các đường AG1, BG2, CG3, DG4 được gọi là trụng tuyến của tứ diện.
Sau đây ta xét thêm tính chất của trọng tâm của tứ diện qua bài toán sau.
Bài toán 3: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng đường nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện của tứ diện cắt nhau tại trọng tâm của tứ diện.
Bài giải:
Trước hết ta chứng minh các đường nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện của tứ diện đồng quy.
Gọi M, N, P, Q, R và S lần lượt là trung điểm của AB; CD; BC; AD; AC và BD.
Khi đó:
( MR//= NS( MRNS là hình bình hành ( MN và RS cắt nhau tại trung điểm G` của MN và RS.
Chứng minh tương tự ( MQNP là hình bình hành
( QP đi qua trung điểm G` của MN.
( MN, PQ, RS đồng quy tại G`.
Ta gọi: G` = MN( PQ( RS. Ta chứng minh G` (G là trọng tâm của tứ diện
Gọi G1 là trọng tâm của (BCD (mp (ABN) ( mp(APD) = AG1.
Mặt khác:
(AG1 = (ABN) ((APD)
Hay A, G`, G1 thẳng hàng.
Gọi G2 là trọng tâm (ABC. Chứng minh tương tự ta cũng có G` (BG2 ( G` = AG1(BG2 (G` (G là trọng tâm của tứ diện ABCD.
(Điều phải chứng minh)
3. Tính chất của trung trực:
Ta phải biến mở rộng tính chất của trung trực của tam giác cho tứ diện qua bài toán.
Bài toán 4: Cho tứ giác ABCD, khi đó 6 mặt phẳng trung trực của 6 cạnh cắt nhau tại 1 điểm, điểm này cách đều các đỉnh của tứ diện (Điểm này gọi là tâm mặt cầu giao tiếp tứ diện).
Bài giải:
Cho tứ diện ABCD gọi P1, P2, P3, P4, P5 và P6 là 6 mặt phẳng trung trực của 6 cạnh: AB; CD; DA;BC; BD và AC của tứ diện.
Gọi M, N, P là các trung điểm của BC; CD và BD. Khi đó gọi O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp (BCD ( O1B = O1C và O1M (BC; O1N(CD; O1P(BD.
Từ O1 dựng đường thẳng d ( mp (BCD)
( d = P2(P4(P5. Thật vậy ta có d((BCD)
( d (BC; d (CD; d (BD.
Mặt khác O1M(BC; O1N(CD; O1P(BD.
( (d;M)(BC; (d;N)(CD; (d;P)(BD
Do M,N là trung điểm của BC; CD và DB.
((d;M) là mặt phẳng trung trực của BC.
(d;N) là mặt phẳng trung trực của CD.
(d;P) là mặt phẳng trung trực của BD.
( (d;M) (P4; (d;N) (P2; (d;P) (P5.
( p2(P4(P5 = d
Gọi O = d(P6 ((P6) là mặt phẳng trung trực của AC).
( O(d ( OB = OC = OD.
O(P6 ( OA = OC (4.1)
( O` ((P1)((P2) ((P3) ((P4) ((P5) ((P6)
( O` (d ( P1 ( O` (O
( Giao điểm O của P1, P2, P3, P4, P5, P6 là duy nhất.
( (P) cắt d tại O, ta có O = (P1)((P2) ... ((P6).
Thật vậy ta có O((P) mặt phẳng trung trực của AD (OA = OD.
Vậy O( đường trung trực của AB; CD; AD; BD; AC và BC.
Do đó: O = (P1)((P2)... ((P6)
Theo (4.1) ( O cách đều các đỉnh của tứ diện.
( O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
4. Tính chất đường trung bình:
Ta mở rộng tính chất của đường trung bình của tam giác cho tứ diện qua bài toán.
Bài toán 5: Cho tứ diện ABCD. D`, B`, C` lần lượt là trung điểm của AD, AB và AC thì (D`B`C`)//(DBC) và SD`B`C` = SDBC.
Bài giải:
Cho tứ diện ABCD, gọi B`, C`, D` là trung điểm của AB; AC và AD. Khi đó B`C`; C`D` và D`B` lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC; ACD và ADB.
Do đó:
; ;
( (B`C`D`) //(BCD) và (BCD (B`C`D` theo tỷ lệ số
(
(Mặt phẳng (D`B`C`) được gọi là mặt phẳng trung bình của tứ diện).
5. Tính chất ba đường cao:
Ta mở rộng tính chất trực tâm của tam giác qua bài toán.
Bài toán 6: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để 4 đường cao của tứ diện đồng quy là ABCD là tứ diện trực tâm.
Định nghĩa 1: (Tứ diện trực tâm là tứ diện có các cặp cạnh đôi một
Các ý kiến mới nhất