Phương pháp vận dụng một số phép toán vào việc giải các bài tập sinh học.
Thạc sỹ Lê Ngọc Hùng.

Trong nghiên cứu và giảng dạy bộ môn Sinh học nói chung, đặc biệt là phần Cơ sở di truyền học nói riêng, sự tham gia của toán học ngày càng sâu sắc và quan trọng. Người đặt nền móng cho cơ sở di truyền học là G. MenĐen (1809-1882) cũng đã dùng toán học như một bí quyết thành công giúp ông tìm ra các quy luật di truyền.
Thực trạng của vấn đề : Các tài liệu dùng cho việc dạy và học môn Sinh học đã đề cập các loại bài tập rất đầy đủ. Tuy nhiên, việc hướng dẫn cho học sinh sử dụng từng phép toán phù hợp vào các dạng bài tập cụ thể thì còn rời rạc và chủ yếu là công nhận công thức. Một số dạng bài tập chưa được nêu rõ phương pháp giải, học sinh chưa tự vận dụng được những phép toán cần thiết vào đúng chỗ của nó.
Vì vậy việc tìm tòi, phân tích về mối quan hệ giữa Sinh học và Toán học nhằm xác định được các phép toán phù hợp có thể vận dụng để giải bài tập Sinh học là một việc rất cần thiết, góp phần nâng cao chất lượng dạy học Sinh học và bồi dưỡng Học sinh giỏi (HSG).
Chúng tôi xin đưa ra cách xây dựng một số công thức Toán - Sinh và vận dụng các công thức đó vào việc giải một số dạng bài tập Sinh học.

I . Vận dụng cấp số cộng:

A) Tìm hiểu cấp số cộng.
+ Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng đều là tổng của số hạnh đứng ngay trước nó với một số không đổi
+ Gọi d là công sai, ta có : Un+1 = Un + d ; (n = 1,2,3...)
Un = U1 + (n -1).d
Tổng n số hạng của cấp số cộng:
Sn =
(U1 + Un) =
(2U1 + (n - 1)d)

B) Các dạng bài tập vận dụng:
Dạng 1: Tính tổng số a.a trong các chuỗi pôlipéptít tại một thời điểm nhất định trong quá trình giải mã của các Ribôxôm trên một phân tử mARN.
a. Phân tích:
-Vì số Ribôxôm tham gia giải mã có từ 5 -20 (theo SGK) , khoảng cách giữa các Ribôxôm thường đều nhau, nên số a.a của các chuỗi pôlipéptít sắp xếp thành cấp số cộng hữu hạn. Số a.a chênh lệch nhau giữa 2 chuỗi pôlipéptít do 2 Ribôxôm kề nhau giải mã chính là công sai (d).
- Vì chuỗi pôlipéptít do Ribôxôm thứ nhất trong nhóm polixôm giải mã được là nhiều nhất, tức số hạng đầu tiên (U1) của cấp số cộng. Cấp số cộng này có công sai là số nguyên âm (d < 0).
- Tuy vậy, công thức về cấp số cộng vẫn được áp dụng bình thường.
b. Ví dụ:
Trên một phân tử mARN có L = 5100A0 , trên đó có 10 Ribôxôm cùng tham gia giải mã một lần, với vận tốc trượt đều nhau là 51 A0/s khoảng cách giữa các Ribôxôm đều nhau đều bằng 61,2A0 .
Hãy tính tổng số a.a cần cung cấp để tạo nên các chuỗi pôlipéptít tại thời điểm sau 60s, kể từ khi Ribôxôm thứ nhất tiếp xúc với mARN.
c. Bài giải:
+ Sau 60s Ribôxôm thứ nhất đã trượt một khoảng là:
60s x 51A0/s = 3060 A0
Ribôxôm thứ mười đã trượt một khoảng là:
3060 – 9 x 61,2 = 2509,2 A0
=> Số a.a của chuỗi polipéptít thứ nhất là p1 = 23060: 10,2 = 300 (a.a)
- Số a.a chênh lệch nhau giữa các chuỗi Pôlipeptít của các Ribôxôm kề nhau (tức công sai) là: 61,2: 10,2 = 6 (a.a).
Gọi Pt = số a.a/1 Pôlipeptít
=> Ta có:

a.a = Pt1 + Pt2 + ... + Pt10
= 300 + (300 - 6 ) + (300 - 12) + (300 - 18) + ....+ (300 - 9 x 6)
=
(300 + 246) = 5x 546 = 2730 (a.a)

Dạng 2: Tính tổng số liên kết Peptít được hình thành hay số phân tử nước được giải phóng tại một thời điểm trong quá trình giải mã của x Ribôxôm.
Dạng này cũng được vận dụng cấp số cộng với phương pháp tương tự như dạng1 đã nêu ở trên .

II. Vận dụng cấp số nhân:
A. Tìm hiểu cấp số nhân.
Cấp số nhân là một dãy số hữu hạn hay vô hạn, trong đó kể từ số hạng thứ 2 (U2), mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi gọi là công bội.
Công thức: Un+1 = Un . q (q là công bội, n = 1,2,3...).
Un= U1 . qn – 1. Tổng các số hạng Sn= U1 .


B. Các dạng bài tập vận dụng cấp số nhân:
Dạng 3: Bài tập liên quan đến số tế bào qua các thế hệ tế bào trong nguyên phân
a. Ví dụ: Có 5 tế bào sinh dưỡng tiến hành nguyên phân với tốc độ đều nhau, tổng số tế bào trong tất cả các thế hệ tế bào là 315. Hãy xác định số đợt nguyên phân của mỗi tế bào trên.
b. Cách giải:
+ Cứ qua một đợt nguyên phân, số tế bào lại tăng gấp đôi. Như vậy số tế bào thuộc mỗi thế hệ tế bào chính là một số hạng của cấp số nhân với công bội là 2.
+ Như vậy theo giả thiết ta có:
5 + 5x2 + 5x22 + .....+5x2k = 315. (k: số đợt nguyên phân )
=> Tổng số tế bào được sinh ra qua các đợt nguyên phân là:
5x2 + 5x22 + ....+5x2k = 310 (*) (không kể các tế bào ban đầu)
+ Theo công thức:Sn =U1
Ta có:10 x
=310=>2k = 32 => k = 5
Hoặc từ (*) chia 2 vế cho 5 ta có:
2 + 4 + .....+ 2k = 62
2 x
= 62 ( 2k - 1 = 31 ( k = 5
* Lưu ý: Phải biến đổi cấp số nhân để có: Số hạng thứ nhất (U1) tương đương với số tế bào sau đợt nguyên phân thứ nhất, số hạng cuối (Uk) tương đương số tế bào ở thế hệ k.

Dạng 4: Bài tập liên quan đến số thoi tơ vô sắc được hình thành trong quá trình nguyên phân .
a. Ví dụ: Từ 1 tế bào hợp tử, trong một giai đoạn phát triển phôi đã hình thành tất cả là 31 thoi tơ vô sắc. Biết rằng thế hệ tế bào cuối cùng đang ở pha G1 của chu kỳ nguyên phân. Hãy xác định số đợt nguyên phân của hợp tử.
b. Cách giải:
+ Theo giả thiết, ta thấy số thoi tơ xuất hiện ở mỗi đợt phân bào đúng bằng số tế bào ở mỗi thế hệ tế bào, trong đó thế hệ tế bào cuối cùng chưa hình thành thoi tơ.
+ Vậy ta có: 1 + 21 + 22 + ..... + 2k-1 = 31
=> 21 + 22 + ..... + 2k-1 = 30
+ Theo công thức: Sn = U1

Ta có: 30 = 2 x
= 2k - 2 => 2k = 32 => k = 5
c. Cũng bài toán trên, nếu các tế bào sinh ra cuối cùng đã qua pha S thì số đợt nguyên phân được tính như sau :
1 + 2 + 4 + 8 +....+ 2k = 31 => 2 + 4 + 8 +.....+ 2k = 30
=> 30 = 2.
=> 2k - 1 = 15 => k = 4

Dạng 5: Bài tập về sự tăng trưởng của quần thể sinh vật trong môi trường không giới hạn.
a. Phân tích: Sự sinh sản của mỗi loài sinh vật tuân theo chu kỳ nhất định. Số cá thể của 1 quần thể (không giới hạn) qua các thế hệ sắp xếp thành dãy số cấp số nhân trong
đó chỉ số sinh sản (số con/lứa hay số con/năm) chính là công bội của cấp số nhân.
Công thức: Nt+1 = Nt..R <=> Nt = N0 .Rt
Nt : số lượng cá thể của quần thể vào thời điểm t
N0: số lượng cá thể của quần thể vào thời điểm khởi đầu)
R: Chỉ số sinh sản hay tỷ lệ sinh sản
T: Thời gian: (năm, tháng, ngày , giờ ....)
b. Ví dụ: (câu 4 - đề 100 - bộ đề thi )
Để phục hồi quần thể sóc ở một vườn quốc gia, người ta thả vào vườn 25 con đực và 25 con cái. Cho biết tuổi đẻ của sóc là 1 năm, mỗi con cái đẻ mỗi năm được 2 con (trung bình 1 đực: 1 cái); các điều kiện sinh thái thuận lợi.
- Số lượng cá thể sóc sau 1 năm; 2 năm, 5 năm là bao nhiêu ?
- Sau mấy năm thì đạt 6400 con ?
c. Hướng dẫn giải:
+ Theo giả thiết và công thức ta thấy:
N0= 50 ; R = 2; T = 1; 2; 5.
Vậy có thể nhanh chóng xác định được số lượng cá thể sóc sau các năm.
* Sau 1 năm: N1 = 50 . 21 = 100 con
* Sau 2 năm : N2 = 50 . 22 = 200 con
* Sau 5 năm: N5 = 50 . 25 = 1.600 con
+ Năm thứ mấy đạt số lượng 6.400 con ?
Theo công thức ta có: Rt =
=> 2t =
= 128 = 27 => t = 7 => sau 7 năm quần thể đạt 6400 con.
Lưu ý : Tuỳ từng bài, trước khi áp dụng công thức phải xác định đúng chỉ số sinh sản của quần thể qua các thế hệ .

III . Vận dụng phép toán tổ hợp.

A. Công thức tổ hợp:
=

Các tổ hợp m phần tử được thành lập từ n phần tử nhất định, khác nhau về thành phần các phần tử gọi là các tổ hợp chập m của n phần tử .


B. Các dạng bài tập :

Dạng 6: Tính số kiểu gen của thể lưỡng bội đối với 1 gen gồm nhiều alen.
a. Ví dụ:
ở người, gen quy định nhóm máu hệ ABO gồm 5 alen:
,
,
, IB, I0. Hãy xác định số kiểu gen qui định nhóm máu có trong loài người.
b. Cách vận dụng:
+ Với 5 alen sẽ có 5 kiểu gen đồng hợp tử (chứa 2 alen giống nhau):


,

,

,....
+ Các kiểu gen dị hợp đều gồm 2 alen khác nhau, như vậy là đúng với
(tổ hợp chập 2 của 5)

=> Tổng số kiểu gen có thể là: 5 +
= 5 +


= 5 +
= 5 + 10 = 15 (kiểu gen)
c. Khái quát:
Với 1 gen có n alen, thì số loại kiểu gen (ở thể lưỡng bội) là: n +

Dạng7: Tính số loại giao tử chứa m NST có nguồn gốc từ bố (hay từ mẹ) trong số n NST của bộ đơn bội (m ( n; m và n nguyên, dương )
a. Phân tích: Đây cũng là bài toán tổ hợp điển hình, nên số loại tổ hợp cần tìm là:
(Vì các giao tử chỉ phân biệt về tổ hợp gen chứ không phân biệt nhau về trật tự gen trong tập hợp)
b. Ví dụ: Một người đa