Tên đề tài :
MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH
CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP
TRONG MỘT ĐƯỜNG TRÒN


I) đặt vấn đề :
Đại đa số học sinh cấp hai không thích học môn hình học , chính vì vậy chất lượng môn hình học thấp kéo theo chất lượng môn toán không cao .Đối với học sinh lớp 9 kỹ năng chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn là rất quan trọng , phần nào giải quyết được những bài tập ôn luyện để tốt nghiệp cấp 2
lý do khách quan :
Trong phân phối chương trình số tiết hình học ở kỳ một lớp 9 là một tiết / tuần ,kỳ hai là hai tiết .Riêng phần tứ giác nội tiếp được hai tiết ( 1 tiết lý thuyết và một tiết bài tập ) chính vì vậy mà giáo viên không có thời gian để luyện tập nhiều
Lý do chủ quan :
Môn hình học thường gây ấn tượng sợ đối với học sinh từ khá trở xuống yếu, kém ,nên thường nắm lý thuyết không vững và vận dụng vào bài tập chứng minh yếu .
Khả năng phán đoán ,định hướng không tới đích .
Không năng động trong khi chứng minh và vẽ hình .Chính vì vậy hướng dẫn cho học sinh nắm chắc về khái niệm để vận dụng vào chứng minh là điều quan trọng .
Đối tượng và cơ sở nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu:
-Học sinh của lớp:9A12 năm học 2002-2003.
-Học sinh của lớp:9A9 năm học 2003-2004.
-Học sinh của lớp:9A9 năm học 2004-2005.
Số lượng nghiên cứu là :136 em .
Cơ sở� và phương pháp nghiên cứu:
Thông qua giờ dạy trên lớp và bài tập về nhà của học sinh .
Thông qua bài kiểm tra của học sinh .
Ý kiến của đồng nghiệp khi dự giờ.
Nội dung:
A/ .Chuẩn bị :
Phần trọng tâm của lý thuyết,điều cần ghi nhớ.
Phân loại các bài tập để vận dụng chứng minh từng phần ghi nhớ.
B/ .Phần lý thuyết:
1)Định nghĩa: Nếu qua bốn đỉnh của một tứ giác có một đường tròn thì tứ giác đó gọi là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác.



2) Định lý : Trong một tứ giác nội tiếp một đường tròn tổng các góc đối diện nhau bằng hai góc vuông .
Đảo lại :Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện nhau bằng hai góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn .

ABCD nội tiếp ( (


Chú ý:
a)Hình chữ nhật ,hình vuông và hình thang cân luôn luôn nội tiếp được trong một đường tròn vì các tứ giác này đều có tổng hai góc đối bù nhau


b) Một tứ giác sẽ là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn nếu có một trong các điều kiện sau :
+) Bốn đỉnh cùng cách đều một điểm nào đó ( đ/n)
+) Tổng các góc đối diện bằng 2v( định lý đảo)
+) Từ hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh ứng với hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng mhau ABCD ta có :
ABCD nội tiếp


+) Hai đỉnh cùng nhìn xuống một cạnh dưới một góc vuông
Tứ giác ABCD có:
ABCD nội tiếp
+) Góc ngoài bằng với góc đối diện của góc trong.
Tứ giác ABCD có:
ABCD nội tiếp





C/. Vận dụng tứ giác nội tiếp vào bài tập chứng minh
*) Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
2)Ví dụ :
Cho đường tròn đường kính AOB ,lấy cung CD (C ở trên cung AD) ối AD và BC chúng cắt nhau ở E .Hạ HE vuông góc với AB và keó dài cắt AC kéo dài ở P .Chứng minh 3 điểm P,D,B thẳng hàng.
GT (O;
);
((O)
AD ( BC =E, EH ( AB
AC ( HE = P
KL P,D.B thẳng hàng


Chứng minh :
Ta có
(Cùng phụ
)

(Cùng chắn
)

hay

Suy ra 4 điểm C,P,D,E cùng nằm trên một đường tròn

Ta lại có :



(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))


(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (I))
Vậy

Hay 3 điểm P,D,B thẳng hàng.
*)Chứng minh các góc bằng nhau:
Ví dụ 1:
Gọi H là giao điểm các đường cao A
,B
,C
.Chứng minh các đường cao của tam giác ABC là phân giác các góc của tam giác
.
GT

H là trực tâm.

KL
là phân giác các góc
của tam giác

Xét tứ giác
có




nội tiếp đường tròn đường kính BH .


(cùng chắn cung H
) (1)

Xét tứ giác
co�:



cùng nhìn xuống cạnh AB dưới một góc vuông .
Suy ra
nội tiếp đường tròn đường kính AB.
Do đó :
(cùng chắn cung A
) (2)
Từ (1) và (2) suy ra :

Do đó
là phân giác của góc

Chứng minh tương tự :
là phân giác của góc


là phân giác của góc


Vậy các đường cao của tam giác ABC là phân giác của các góc tam giác

Ví dụ2 :
Cho tam giác ABC, 3 đường cao AD,BE,CF đồng qui tại H .chứng minh các tam giác ABC , AFE;DEC;và BFD đồng dạng

GT
ABC ; AD (BC ;BE (AC ;CF (AB ; H là trực tâm

KL
ABC

AFE

DEC

BFD
Chứng minh :
ta có tứ giác AFHE nội tiếp ( vì
)

tứ giác AFHE nội tiếp ( vì
)

tứ giác CEHD nội tiếp( vì
)

tứ giác AEDB nội tiếp (vì E,D cùng nhìn AB dưới một góc vuông )
AFDC nội tiếp (vì F,D cùng nhìn AC dưới một góc vuông )
BFEC nội tiếp (vì F,E cùng nhìn BC dưới một góc vuông )
Xét tam giác ABC và tam giác AEF có :


chung (1)
Tứ giác BFEC nội tiếp
Suy ra
(cùng bù
) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
ABC

AFE (g-g)

ABC

DBF (g-g)

ABC

DEC (g-g)

Do đó:
ABC

AFE

DEC

BFD


Ví dụ 3:
Cho 3 điểm A,B ,C trên một đường tròn .Chứng minh rằng chân đường vuông góc hạ từ một điểm M bất kỳ trên đường tròn xuống các đường thẳng AB,BC,CA cùng nằm trên một đường thẳng .
GT


KL I,H,K thẳng hàng



Chứng minh :
Ta có tứ giác BHMI nội tiếp
( vì
)

(1)
Tứ giác MHKC nội tiếp (vì H và K cùng nhìn MC dưới một góc vuông )

(2)
Ta có
(
BIM vuông tại I)

(
MKC vuông tại K)
Mà
(ABMC nội tiếp )
Suy ra
( 3)
Từ ( 1), (2) và (3) suy ra

Mà
( B,H,C thẳng hàng )

( Do đó I , H ,K thẳng hàng )
IV Kết luận :
Trên đây là một số ví dụ minh hoạ cho phần chứng minh tứ giác nội tiếp mà tôi đã cho học sinh làm ,tôi thấy ro� rệt qua bài kiểm tra
V kết quả� :
Đề kiểm tra thử về chương trình tứ giác nội tiếp
Cho tam giác ABC vuông tại A và AC > AB . Kẻ đường cao AH trên đoạn HC lấy điểm D sao cho BH = HD .từ C kẻ CE vuông góc AD . CE kéo dài cắt AH tại K
chứng minh tứ giác AHEC ;AHDI nội tiếp được trong đường tròn ( I là chân đường vuông góc với AC kẻ từ D )
chứng minh AB //DK
tứ giác ABKD là hình thoi
chứng minh EA là phân giác của góc

( thời gian 45 phút không kể chép đề )
Sau khi chấm điểm tôi nhận thấy điểm dưới 5 chỉ còn lại 5 em .Kết quả cho thấy nếu từng phần rèn kỹ năng chứng minh bằng cách phân loại bài tập phù hợp với lý thuyết thật tốt thì khi làm bài tập tổng hợp cho cả phần hình học 9 chất lượng môn hình sẽ nâng lên rõ rệt ,học sinh rất hứng thú học môn hình học .


Qui Nhơn ngày 25-3-2005

Người viết :

Nguyễn thị thu Hồng