Violet
Giaoan

Tin tức thư viện

Khắc phục hiện tượng không xuất hiện menu Bộ công cụ Violet trên PowerPoint và Word

12099162 Kính chào các thầy, cô. Khi cài đặt phần mềm , trên PowerPoint và Word sẽ mặc định xuất hiện menu Bộ công cụ Violet để thầy, cô có thể sử dụng các tính năng đặc biệt của phần mềm ngay trên PowerPoint và Word. Tuy nhiên sau khi cài đặt phần mềm , với nhiều máy tính sẽ...
Xem tiếp

Quảng cáo

Hỗ trợ kĩ thuật

Liên hệ quảng cáo

  • (024) 66 745 632
  • 096 181 2005
  • contact@bachkim.vn

Tìm kiếm Giáo án

sangkienkinhnghiemmontoan

Wait
  • Begin_button
  • Prev_button
  • Play_button
  • Stop_button
  • Next_button
  • End_button
  • 0 / 0
  • Loading_status
Nhấn vào đây để tải về
Báo tài liệu có sai sót
Nhắn tin cho tác giả
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn: tu lam
Người gửi: Nguyễn Hương Thảo
Ngày gửi: 09h:00' 22-05-2008
Dung lượng: 631.5 KB
Số lượt tải: 674
Số lượt thích: 0 người
I. Đặt vấn đề
1. Lý do chọn đề tài:
a. Để rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải toán cho học sinh ngoài việc trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản, người thầy giáo cần giúp các em tổng hợp phân loại các phương pháp giải và các dạng thường gặp để các em dễ nhớ, dễ vận dụng.
b. Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó và rộng của bộ môn Toán nhưng nhờ các bài tập về bất đẳng thức mà học sinh có thể hiểu kĩ hơn, sâu hơn về giải và biện luận phương trình, bất phương trình; Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức, về mối liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác và trong quá trình giải toán khả năng tư duy sáng tạo của người học được phát triển mạnh. Thực tế khi giải các bài tập về bất đẳng thức học sinh thường gặp nhiều khó khăn vì cách giải chúng không hoàn toàn có một mẫu quy tắc nào như ở một số mảng kiến thức khác.
Qua nhiều năm giảng dạy toán ở trường phổ thông, là người thầy, tôi thường trăn trở suy nghĩ, thu thập tài liệu, cố gắng sắp xếp hợp lý một số phương pháp và bài tập về chứng minh bất đẳng thức với mong muốn giúp học sinh tự tin hơn khi đứng trước một số bài toán về bất đẳng thức cụ thể là các bài toán chứng minh bất đẳng thức.
c. Phạm vi và giới hạn bài viết.
Khuôn khổ bài viết có hạn nên tôi muốn tổng hợp phân loại các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và các ví dụ áp dụng dành cho học sinh THCS đặc biệt là học sinh khá giỏi lớp 8; 9.
Để bài viết không quá dài, phần giải các ví dụ tôi không trình bày chi tiết.
2. Kiến thức cần nắm vững


2.1. Định nghĩa bất đẳng thức:
Với hai số a, b bất kỳ ta nói rằng a  b a -b  0
a  b a -b  0
2.2. Tính chất:
1. a > b ; b >c  a > c
2. a >b  a + c > b + c
3. a > b ; c > 0  ac > bc
a > b ; c < 0  ac < bc
5. a > b ; c > d  a + c > b + d
a > b ; c < d  a - c < b - d
6. a > b  0  ac > bd
7 a > b > 0 ; 0 < c < d  > 
8. a > b > 0  an > bn
a > b  an > bn (n lẻ)
  an > bn ( n chẵn )
9. Nếu m > n >0 thì a >1 am > an
a =1 am = an
0 < a < 1  am = an
10. a > b , ab > 0  < 
2.3. Các hằng bất đẳng thức:
1. a2  0 với mọi a. Dấu bằng xẩy ra  a = 0
2.  0 với mọi a. Dấu bằng xẩy ra  a = 0
3.  a với mọi a. Dấu bằng xẩy ra  a  0
4.   +  với mọi a,b. Dấu bằng xẩy ra  ab  0
5.   -  với mọi a,b. Dấu bằng xẩy ra  ab > 0 và  

II. Nội dung:
1. Phương pháp sử dụng định nghĩa:
1.1. Phương pháp giải: Muốn chứng minh A > B hãy xét hiện A - B. Nếu hiện A - B dương thì khẳng định được A > B là bất đẳng thức cần chứng minh.
1.2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Cho a,b,c > 0. chứng minh rằng (a + b + c) ( + + )  9
Giải: Xét hiệu H = (a + b + c) ( + + ) - 9
= ( +  - 2) + ( +  - 2) + ( +  - 2)
= 
Do a,b,c > 0  H  0 Theo định nghĩa bất đẳng thức:
 (a + b + c) ( + + ) 9
Dấu = xẩy ra  H = 0 a = b = c
Ví dụ2: Cho a > 0, b > 0. chứng minh rằng: 
Giải: Xét hiệu: A = 
Bỏ ngoặc, phân tích thành nhân tử ta được: A =  (a + b) (a - b)2 Vì a > 0 , b > 0  a + b > 0 mà (a - b)2 0  A 0
Theo định nghĩa    
Dấu bằng xẩy ra  a = b
1.3. Bài tập tương tự:
Bài 1: Chứng minh:  +   2 với ab > 0
Bài 2: Chứng minh: x2 + y2 + z2  2xy + 2yz - 2x
Bài 3: Cho a,b,c > 0 chứng minh:
 + +    + + 
2. Phương pháp sử dụng tính chất
2.1. Phương pháp giải: Sử dụng một hay nhiều tính chất đã nêu ở 2.2 để biến đổi. Từ đó khẳng định bất đẳng thức cần chứng minh
2.2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Cho a, b > 2. Chứng minh ab > a + b
Giải: Ta có: a > 2 , b > 0 ab > 2b (1) (Tính chất 3)
b > 2 , a > 0  ab > 2a (2) (Tính chất 3)
Từ (1) và (2)  2ab > 2 (a + b) (Tính chất 4)
 ab > a + b (Tính chất 3)
Ví dụ 2: Cho x  0, y  0, z  0. Chứng minh rằng:
(x + y) (y + z) (z + x)  8xyz
Giải: Ta có: (x-y)2  x2 - 2xy +y2 0
 x2 + 2xy +y2  4xy (Tính chất 2)
 (x+y)2  4xy (1)
Tương tự ta có: (y+z)2  4yz (2)
(x+z)2  4xz (3)
Nhân từng vế (1),(2),(3) [(x+y)(y+z)(x+z)]2  (8xyz )2 (Tính chất 6)
 (x+y)(y+z)(x+z)  8xyz (Tính chất 8)
2.3. Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho a + b > 1. Chứng minh rằng a4 +b4 > 
Bài 2: Chứng minh rằng:  +  +    +  + 
Bài 3: Cho x + y = 2. Chứng minh : x4 + y4  2
3. Phương pháp phân tích: ( Biến đổi tương đương)
3.1. Phương pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức cần chứng minh ta biến đổi nó tương đương với một bất đẳng thức khác mà ta đã biết là đúng từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng.
3.2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b)2  2 (a2 + b2) với mọi a , b.
Giải: (a + b)2  2(a2 + b2) (1)
a2 +2ab +b2 - 2a2 - 2b2  0
-(a2 - 2ab + b2)  0
-( a - b)2  0 (2)
Bất đẳng thức (2) luôn đúng  bất đẳng thức (1) đúng (đpcm)
Ví dụ 2: Cho 2 số a, b thoả mãn: a + b = 1
Chứng minh: a3 + b3 +ab   (1)
Giải: (1)  a3 + b3 +ab -   0
(a + b) (a2- ab + b2) +ab -   0
 a2- ab + b2 + ab -  0 (vì a + b = 1)
 a2 + b2 -  0
 2a2 + 2b2 - 1 0
 2a2 + 2(1 - a)2 - 1 0 ( vì b = 1 - a)
 4 (a -  (2)
Bất đẳng thức (2) luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương
 đúng
Dấu bằng xảy ra  a =  = b
3.3. Bài tập tương tự
Bài 1: Với mọi a, b chứng minh a4 + b4  a3b + ab3
Bài 2: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh 
Bài 3: Chứng minh x4 + y4  với x 
4. Phương pháp tổng hợp
4.1. Phương pháp giải: Từ một bất đẳng thức đã biết là đúng, dùng các phép biến đổi tương đương biến đổi bất đẳng thức đó về bất đẳng thức cần chứng minh.
Phương pháp giải này làm cho học sinh thấy khó ở chỗ là không biết nên bắt đầu từ bất đẳng thức nào nhưng nếu biết phương pháp giải này ngược với phương pháp phân tích thì cũng rất dễ tìm ra bất đẳng thức xuất phát.
4.2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Cho a, b  0. Chứng minh  (Bất đẳng thức Côsi)
Giải: Theo giả thiết a, b  0  ab  0   xác định.
Ta có: ( a - b)2  0
a2 - 2ab +b2  0
a2 + 2ab +b2  4ab
 ( a - b)2  4ab
a + b  2 (vì a + b  0 )
  (đpcm)
Dấu “ =” xảy ra  a = b.

Ví dụ 2: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:

Giải:
Ta có: (ad - bd)2  0
a2d2 - 2adbc + b2c2  0
a2d2 - 2adbc + b2c2 + a2c2 + b2d2  a2c2 + b2d2
a2d2 - 2adbc + b2c2 + a2c2 + b2d2  a2c2 + 2acbd + b2d2
a2(c2 + d2) + b2(c2 + d2)  (ac + bd)2
 ac + bd ( vì ac + bd > 0)
a2 + b2 + 2 + c2 + d2  2ac + 2bd + a2 + b2 + c2 +d2
()2  (a + c)2 + (b + d)2
 (đpcm)
Dấu “=” xảy ra 
Chú ý: với a, b, c, d >0 thì các phép biến đổi trong cách giải trên là tương đương.
4.3. Bài tập tương tự: Chứng minh các bất đẳng thức
Bài 1: a2 + b2 + c2  ab + bc + ca với mọi a, b
Bài 2: (x-y)2+ (y -z)2 + (z -x)2  3(x2 + y2+z2) với mọi x, y, z
Bài 3: với a > 0 , b > 0
5. Phương pháp phản chứng:
5.1. Phương pháp giải: Nếu bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A  B ( hoặc A < B) thì ta giả sử A < B (hoặc A  B). Từ điều mà ta vừa giả sử cùng với giả thiết của bài toán ta suy ra một điều mâu thuẫn với giả thiết với các kiến thức đã học. Cuối cùng ta khẳng định kết luận của bài toán A  B
( hoặc A < B) là đúng.
Giải như vậy gọi là phương pháp phản chứng.
5.2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Cho a2 + b2  2 . Chứng minh: a + b  2
Giải: Giả sử: a + b > 2
 a2 + 2ab + b2 > 4 (1)
Ta có: (a - b)2 0  a2 - 2ab + b2 0
 2ab  a2 + b2
 a2 + b2 + 2ab  2(a2 + b2)
Mặt khác theo giả thiết ta có: a2 + b2  2
 2(a2 + b2)  4
Suy ra: a2 + b2 + 2ab  4 (2) mâu thuẫn với (1). Vậy phải có a + b  2
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
Nếu a + b + c > 0; abc >0 , ab + bc + ac > 0 thì a > 0, b > 0, c > 0.
Giải: giả sử a  0
Nếu a = 0 thì abc = 0 trái với giả thiết abc > 0
Nếu a < 0 : do a + b + c > 0 nên b + c > 0
Do abc > 0 nên bc < 0
 a(b + c) + bc < 0
Hay ab + ac + bc < 0 trái với giả thiết ab + ac + bc > 0
Vậy a > 0. Tương tự ta chứng minh được b > 0, c > 0
5.3. Bài tập tương tự:
Bài 1: cho các số a, b, c , m, n, p thoả mãn: ap - 2bn + cm = 0 và ac - b2 = 0
chứng minh mp - n2  0
Bài 2: chứng minh rằng: Nếu a 3; b  3; a2 + b2  25 thì a + b  7
Bài 3: Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh a + b  2
6. Phương pháp quy nạp toán học
6.1. Phương pháp giải: Nếu cả 2 vế của bất đẳng thức phải chứng minh đều phụ thuộc vào đối số tự nhiên n thì có thể dùng phương pháp quy nạp toán học. Khi đó đòi hỏi phải chứng minh:
+ Bất đẳng thức đúng với n = 1 (hoặc đúng với n = n0 là giá trị tự nhiên bé nhất thừa nhận được của n theo yêu cầu của đề bài)
+ Thừa nhận bất đẳng thức đúng với n = k (k > 1 hoặc k > n0) rồi chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
6.2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n  3 thì 2n > 2n + 1 (1)
Giải:
Với n= 3 ta có 23 = 8,; 2n + 1 = 7
 2n > 2n + 1 đúng với n = 3
Giả sử (1) đúng với n = k (k )
Tức là 2k > 2k + 1. Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1
hay 2k+1 > 2(k+1) +1
hay 2k+1 > 2k+3 (2)
Thật vậy: hay 2k+1 =2.2k mà 2k > 2k +1
 2k+1 > 2. (2k +1) = (2k+3)+(2k-1) > 2k+3 (vì 2k -1>0)
 (2) đúng với  3
Vậy 2n > 2n + 1 với mọi n nguyên dương và n  3.
Ví dụ 2: chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 thì
(n+1)(n+2)(n+3)….2n > 2n (1)
Giải: Với n = 2 thì (1) đúng với
No_avatar
 
 
Gửi ý kiến