Mét sè gi¶i ph¸p cho häc sinh khi lµm bµi tËp TNKQ
phÇn «n t¹p ch­¬ng III SGK h×nh häc 10 ban c¬ b¶n.




I. Lêi nãi ®Çu :

HiÖn nay viÖc gi¶i bµi tËp TNKQ ®èi víi häc sinh THPT lµ mét vÊn ®Ò khã kh¨n. §Æc biÖt lµ ®èi víi häc sinh khèi 10.
B¶n th©n khi ®uîc nhËn d¹y líp 10A13 t«i nhËn thÊy nh÷ng giê «n tËp, luyÖn tËp TNKQ, häc sinh th­êng long tong hoÆc gi¶i rÊt l©u, thËm chÝ cã nh÷ng häc sinh chän ®¸p ¸n mét c¸ch tuú ý.
Trong khi ®ã xu h­íng cña gi¸o dôc hiÖn nay sÏ thi TNKQ ®èi víi nhiÒu m«n häc. V× vËy thiÕt nghÜ nhiÖm vô cña mçi gi¸o viªn khi d¹y cÇn gióp häc sinh lµm bµi tËp TNKQ ®óng vµ nhanh nhÊt. §ã lµ c¶ mét vÊn ®Ò khã, t«i m¹nh d¹n ®­a ra ý kiÕn nhá víi ®Ò tµi : Mét sè gi¶i ph¸p cho häc sinh khi lµm bµi tËp TNKQ (phÇn «n tËp ch­¬ng III h×nh häc 10 ban c¬ b¶n).
PhÇn I : §Æt vÊn ®Ò.
PhÇn II : Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò.
PhÇn III : KÕt luËn.
PhÇn IV : Tµi liÖu tham kh¶o.
Dï cè g¾ng nh­ng kh«ng thÓ tr¸nh ®­îc nh÷ng thiÕu xãt. T«i xin nhËn ®­îc sù gãp ý cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó lÇn sau lµm tèt h¬n.



I - §Æt vÊn ®Ò :

1 – Lý do chän ®Ò tµi :
+ Ch­¬ng tr×nh líp 10 c¶i c¸ch SGK ®É ®­a phÇn mÆt ph¼ng to¹ ®é vµo, häc sinh lÇn ®Çu tiÕp cËn víi nh÷ng kh¸i niÖm míi nªn rÊt dÔ nhÇm lÉn.
+ Trong ®ã bµi tËp TNKQ lµ d¹ng míi ®èi víi häc sinh vµ ngay ca gi¸o viªn còng g¹p kh«ng Ýt nh÷ng khã kh¨n khi h­íng dÉn häc sinh gi¶i to¸n d¹ng nµy.
+ Häc sinh ch­a ®­îc rÌn luyÖn nhiÒu víi thêi gian Ýt áië trªn líp , häc sinh chØ ®ù¬c tiÕp cËn víi vµi c©u TNKQ trong qu¸ tr×nh d¹y lý thuyÕt vµ lµm bµi tËp «n tËp cuèi ch­¬ng.
+ §a sè häc sinh kh«ng hiÓu b¶n chÊt c©u hái mµ chän ®¸p ¸n mét c¸ch ngÉu nhiªn.
+ KiÕn thøc ë d¹ng bµi tËp TNKQ lµ bao qu¸t hÇu hÕt ch­¬ng tr×nh häc nªn khi gi¶I bµi tËp TNKQ häc sinh th­êng kh«ng høng thó l¾m. VËy lµm thÕ nµo ®Ó häc sinh c¶m thÊy kh«ng cßn “sî” khi häc bµi tËp TNKQ.
Víi suy nghÜ tr¨n trë ®ã t«I quyÕt ®Þnh chän ®Ò tµi Mét sè gi¶i ph¸p cho häc sinh khi lµm bµi tËp TNKQ (phÇn «n tËp ch­¬ng III h×nh häc 10 ban c¬ b¶n).
Gãp phÇn vµo viÖc d¹y vµ häc d¹ng bµi tËp TNKQ ®¹t kÕt qu¶ cao h¬n.

2- ph¹m vi nghiªn cøu
Trong khu«ng khæ bµi viÕt nµy t«i khai th¸c tri thøc to¸n häc trong viÖc gi¶i bµi tËp TNKQ phÇn «n tËp ch­¬ng III – SGK h×nh häc 10 – ban c¬ b¶n.

II – Gi¶I quyÕt vÊn ®Ò
Víi c¬ së häc sinh ®· ®­îc «n tËp cñng cè l¹i phÇn lý thuyÕt tr­íc ®ã, gi¸o viªn dÆn häc sinh xem l¹i vµ ghi nhí c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n sau :
+ VÐct¬ chØ ph­¬ng cña ®­êng th¼ng, ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng th¼ng. Mèi liªn hÖ gi÷a vÐct¬ chØ ph­¬ng vµ ph­¬ng tr×nh tham sè cña mét ®­êng th¼ng.
+ VÐct¬ ph¸p tuyÕn (vtpt) vµ ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t (pttq) cña ®­êng th¼ng. Mèi liªn hÖ gi÷a vtpt vµ pttq cña ®­êng th¼ng.
+Mèi quan hÖ gi÷a vtpt vµ vtcp cña mét ®­êng th¼ng.
+ Mét ®­êng trßn ®­îc x¸c ®Þnh khi biÕt mÊy yÕu tè, d¹ng pt cña ®­êng trßn, ®iÒu kiÖn ®Ó mét ®­êng trßn tån t¹i.
+ Pttt cña ®­êng trßn.
+ Pt ®­êng elps. C¸c yÕu tè liªn quan ®Õn elÝp. (Trôc lín, trôc bÐ, tiªu cù, t©m sai, c¸c to¹ ®é ®Ønh cña elÝp).
2 – TiÕn hµnh t×m lêi gi¶i c¸c bµi tËp TNKQ (PhÇn ¤n tËp ch­¬ng III – SGK h×nh häc 10 – ban c¬ b¶n).
* Tr­íc hÕt gi¸o viªn ®Æt vÊn ®Ò cÇn gi¶i quyÕt. Ch¼ng hÆn ë c©u 1 ( SGK – tr94)
Cho tam gi¸c ABC cã to¹ ®é ®Ønh lµ A(1;2), B(3;1) vµ C(5;4). Ph­¬ng tr×nh nµo d­íi ®©y lµ ph­¬ng tr×nh ®­êng cao cña tam gi¸c vÏ tõ ®Ønh A?
A. 2x + 3y – 8 = 0 B. 3x – 2y -5 = 0
C. 5x – 6y + 7 = 0 D. 3x – 2y + 5 = 0
Khi gÆp bµi to¸n nµy thùc tÕ ë líp 10A13 t«i d¹y (®a sè häc sinh cã häc lùc trung b×nh ) phÇn ®a c¸c em lóng tóng, loay hoay t×m c¸ch viÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng cao AH (T×m vtpt, viÕt pt ®­êng th¼ng biÕt vtpt vµ mét ®iÓm trªn ®­êng th¼ng ®ã). Lµm nh­ vËy mÊt rÊt nhiÒu thêi gian. Nguyªn nh©n lµ c¸c em ch­a n¾m v÷ng mèi quan hÖ gi÷a vtpt vµ pttq cña mét ®­êng th¼ng, vµ c¸ch v¹n dông kiÕn thøc ®ã vµo bµi häc.
Lóc nµy gi¸o viªn cÇn tËp cho häc sinh lµm quen víi lèi t­ duy logic, ph©n tÝch d÷ liÖu sau :
Pttq cña ®­êng th¼ng cã d¹ng : ax + by + c =0, Khi ®ã vtpt cña ®­êng th¼ng ®ã lµ
= (a; b). Ng­îc lai nÕu mét ®­êng th¼ng cã vtpt lµ :
= (a;b) th× pttq cña ®­êng th¼ng ®ã lµ : ax + by + c =0.
VËy häc sinh x¸c ®Þnh :
+ Vtpt cña ®­êng cao AH ?
+ ViÕt d¹ng pttq cña ®­êng cao AH ?
Tõ ®ã suy ra ph­¬ng ¸n ®óng.
Häc sinh tr¶ lêi : Vtpt cña ®­êng cao AH lµ vÐct¬


=
= (2;3)
Pt ®­êng cao AH cã d¹ng :
2x + 3y + c = 0
A lµ ph­¬ng ¸n ®óng.
Bµi tËp nµy yªu cÇu häc sinh ph¶I n¾m ®­îc mèi quan hÖ gi÷a vtpt vµ pttq cña ®­êng th¼ng.
Tr­íc ®©y c¸c bµi to¸n chØ ®¬n thuÇn lµ nh÷ng bµi to¸n tù luËn yªu cÇu häc sinh thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh. Nay tiÕp xóc víi nhiÒu d¹ng c©u hái TNKQ häc sinh th­êng long tong, ch­a ®Þnh h×nh ®­îc nªn chän ph­¬ng ¸n nµo vµ b¾t ®Çu tõ ®©u. §Ó kh¾c phôc ®­îc t×nh tr¹ng nµy c¸c em cÇn ®äc ®Ò bµi sau ®ã ph©n tÝch tèt gi¶ thiÕt cña bµi to¸n, tõ ®ã biÕt vËn dông nh÷ng kiÕn thøc ®· häc vµo bµi tËp. Liªn hÖ gi÷a kiÕn thøc cña bµi tËp tr­íc víi bµi tËp sau, xem kÕt qu¶ cña bµi tËp tr­íc cã phôc vô co bµi sau hay kh«ng?
Ch¼ng hÆn c©u 3 (Tr94 – SGK)
Cho pt tham sè cña ®­êng th¼ng (d) :

Trong c¸c ph­¬ng tr×nh sau, ph­¬ng tr×nh nµo lµ pttq cña (d) :
A. 2x + y – 1 = 0 B. 2x + 3y + 1 = 0
C. x + 2y +2 = 0 D. x + 2y – 2 = 0
- GV cã thÓ gîi ý :
C1 : + Tõ ptts cña ®­êng th¼ng (d). HS t×m ®­îc vtcp cña ®­êng th¼ng (d). Tõ ®ã suy ra vtpt cña ®­êng th¼ng (d).
+ ¸p dông BT1 rót ra ®¸p ¸n ®óng.
- HS tr¶ lêi :
Tõ ptts cña ®­êng th¼ng (d) ta cã vtcp
= (1; - 2)

= (2; 1).

pttq cña ®­êng th¼ng (d) lµ : 2x + y +c = 0.
VËy A lµ ®¸p ¸n ®óng.
C2 : Rót t tõ ptts suy ra pttq cña ®t (d) . T­¬ng tù bµi tËp 4 (Tr94 – SGK) ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm M(1; 0) vµ song song víi ®­êng th¼ng (d) :
4x + 2y + 1 = 0 cã pttq lµ :
A. 4x + 2y + 3 = 0 B. 2x + y + 4 = 0
C. 2x + y – 2 = 0 D. x – 2y + 3 = 0.
NÕu häc sinh kh«ng ph©n tÝch tèt d÷ liÖu bµi to¸n vµ kh«ng biÕt c¸ch vËn dông mèi liªn hÖ vÒ vtpt cña hai ®­êng th¼ng song song th× häc sinh ph¶i ®i t×m vtpt cña ®­êng th¼ng d
pttq cña ®­êng th¼ng d’ ®i qua M(1;0) vµ song song víi ®­êng th¼ng d.
C¸ch nµy kh«ng sai nh­ng mÊt nhiÒu thêi gian. GV nªu h­íng dÉn cho häc sinh c¸ch lµm nhanh h¬n.
VTPT cña ®­êng th¼ng d lµ
= (4;2)

®­êng th¼ng (d’) song song víi ®­êng th¼ng d cã vtpt :
= (4;2)

PTTQ cña ®­êng th¼ng d’ cã d¹ng :
4x + 2y + c = 0
A lµ ®¸p ¸n ®óng.
Hay ë bµi tËp 5 (Tr95 – SGK). Cho ®­êng th¼ng d cã pttq :
3x + 5y + 2006 = 0. T×m mÖnh ®Ò sai trong c¸c mÖnh ®Ò :
(d) cã vtpt
= (3;5)
(d) cã vtcp
= (5; -3).
(d) cã hÖ sè gãc k =

(d) song song víi d­êng th¼ng : 3x + 5y = 0
Häc sinh t­ duy logic : VËn dông kÕt qu¶ cña bµi tËp 3 vµ bµi tËp 4 ®Ó t×m ra ph­¬ng ¸n tr¶ lêi nhanh nhÊt .
+ Tõ pttq cña ®­êng th¼ng d suy ra :
= (3;5)


= (5; - 3)
k =


§¸p ¸n C sai.
§­êng th¼ng d’ song song víi ®­êng th¼ng d nªn vtpt cña ®­êng th¼ng d lµ :
= (3;5). VËy C lµ ®¸p ¸n sai.

* PhÇn ®­êng trßn vµ elip.
Muèn lµm ®­îc bµi tËp phÇn ®­êng trßn tr­íc hÕt häc sinh ph¶i biÕt ®ùoc ph­¬ng tr×nh nµo lµ ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn hay nãi c¸ch kh¸c ®iÒu kiÖn ®Ó mét ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn tån t¹i.
Ch¼ng h¹n BT 11 (Tr96 – SGK)
Ph­ong tr×nh nµo sau ®©y lµ ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn :
A. x2 + 2y2 – 4x – 8y + 1 = 0 B. 4x2 + y2 – 10x – 6y – 2 = 0
C. x2 + y2 – 2x – 8y +20 = 0 D. x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0

GV h­íng dÉn : + D¹ng khai triÓn cña ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn :
(x – a)2 + (y – b)2 = R2 lµ g× ?
+ T×m c¸c hÖ sè a, b, c. §iÒu kiÖn ®Ó ®­êng trßn tån t¹i lµ g×?
HS tr¶ lêi : A. Kh«ng ph¶i d¹ng : x2 + y2 – 2ax - 2by + c = 0.
B. Kh«ng ph¶i d¹ng : x2 + y2 – 2ax - 2by + c = 0.
C. a = 1, b = 4, c = 20
®k : R2 = a2 + b2 – c > 0
1 + 16 – 20 < 0 nªn C kh«ng ph¶i lµ ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn.
VËy ®¸p ¸n D lµ ®¸p ¸n ®óng.

Lµm bµi tËp ®Ó häc sinh vËn dông kÕt qu¶ bµi tËp tr­íc nh»m ph¸t triÓn t­ duy logic cho häc sinh.
Bµi tËp 16 (Tr96 – SGK).
Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh sau ®©y lµ ph­¬ng tr×nh cña ®­êng trßn : x2 + y2 – 2(m + 2)x + 4my + 19m – 6 = 0 ?
A. 1 < m < 2 B. – 2
m
1
C. m < 1 hoÆc m > 2 D. m < - 2 hoÆc m> 1.
HS vËn dông kÕt qu¶ cña BT 11 ë trªn.
§iÒu kiÖn ®Ó mét ph­¬ng tr×nh lµ ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn tr­íc hÕt ph¶i cã d¹ng : x2 + y2 – 2ax - 2by + c = 0.
Trong bµi tËp nµy ta x¸c ®Þnh :
A = m + 2 ; b = - 2m ; c = 19m – 6
§K : a2 + b2 – c > 0

(m + 2)2 + ( - 2m)2 – (19m – 6) > 0

m <1 hoÆc m > 2
VËy C lµ ®¸p ¸n ®óng.

Trong bµi tËp TNKQ cã nh÷ng bµi tËp liªn hÖ kiÕn thøc c¶ ch­¬ng. Yªu cÇu HS vËn dông toµn bé kiÕn thøc ®· häc .
Ch¼ng h¹n : Bµi tËp 13 (Tr96 – SGK)
Ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm M(3;4) víi ®­êng trßn (C) :
x2 + y2 – 2x – 4y – 3 = 3 lµ :
A. x + y – 7 = 0 B. x + y + 7 = 0
C. x – y – 7 = 0 D. x + y – 3 = 0
GV h­íng dÉn :
+ X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m I cña ®­êng trßn (C)
+ T×m vtpt cña tiÕp tuyÕn
+ ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®­êng trßn (C)
HS tr¶ lêi :
T©m I cña ®­êng trßn (C) cã to¹ ®é I(1;2)

= (-2; -2) lµ vtpt cña tiÕp tuyÕn.

pttq cña tiÕp tuyÕn lµ : - 2(x – 3) – 2(y – 4) = 0

x – 3 + y – 4 = 0
x + y – 7 = 0.
VËy A lµ ®¸p ¸n ®óng.

Cñng nh­ bµi tËp 13, bµi tËp 14(Tr96 – SGK) còng yªu cÇu häc sinh biÕt vËn dông kiÕn thøc ®· häc ë ch­¬ng 3.
Cho ®­êng trßn (C) : x2 + y2 – 4x – 2y = 0 vµ ®­êng th¼ng d :
x + 2y + 1 = 0. T×m mÖnh ®Ò ®óng trong c¸c mÖnh ®Ò sau :
A. d ®I qua t©m cña (C) B. d c¾t (C) t¹i hai ®iÓm
C. d tiÕp xóc víi (C) D. d kh«ng cã ®iÓm chung víi (C).
GV h­íng dÉn : + Yªu cÇu HS t×m t©m I vµ b¸n kinh R cña (C).
+ TÝnh kho¶ng c¸ch tõ I tíi ®­êng th¼ng d
+ Rót ra kh¼ng ®Þnh ®óng.
HS tr¶ lêi : + T©m I = (2;1)
d ; R2 = 5
R =
.
+ d(I;d) =

d(I;d) = R.
Nªn ®­êng th¼ng d tiÕp xóc víi (C)
VËy C lµ ®¸p ¸n ®óng.

GV yªu cÇu HS rót ra ®k ®Ó mét ®­êng th¼ng tiÕp xóc víi mét ®­êng trßn.
Tõ ®ã gäi mét HS lµm BT17( Tr96 – SGK).

* PhÇn bµi tËp elÝp.
§èi víi bµi tËp vÒ elÝp trong khu«n khæ nµy t«i yªu cÇu HS biÕt c¸